4-2-1三角恒等变换题型战法-备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练新高考专用

第四章三角函数与解三角形4.2.1三角恒等变换（题型战法）知识梳理一和与差公式两角和与差的余弦：Cα+β：；Cα-β：.2.两角和与差的正弦Sα+β：；Sα-β：.3.两角和与差的正切Tα+β：；Tα-β：.二倍角与半角公式1.倍角公式：需要注意的是，因为，所以也可以改写为：2．半角公式：三降幂升角公式；；.四辅助角公式；.题型战法题型战法一和与差公式的应用典例1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用两角差的余弦公式化简，然后再化弦为切即可得解.【详解】解：由得，,所以,解得.故选：A.变式1-1．若，则=（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出，再利用差角的正弦公式求解.【详解】解：因为，，所以，所以＝.故选：D．变式1-2．（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据正弦的和角公式即可求解.【详解】故选:C变式1-3．若，是方程两个实数根，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由根与系数关系得到两根之和，两根之积，代入正切的和角公式即可.【详解】由韦达定理得：，，所以故选：A变式1-4．若，则（

）A． B．0 C． D．【答案】D【解析】【分析】由正切两角差的公式直接求解.【详解】.故选:D题型战法二和与差公式的逆用典例2．（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用和角正弦公式即可得出结果.【详解】根据和角正弦公式，，故选：C.变式2-1．（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据两角差的余弦公式可求出结果.【详解】.故选：A变式2-2．=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】逆用两角差的正弦公式化简，然后再计算．【详解】．故选：B．变式2-3．（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式及和角正弦公式即可求值.【详解】.故选：C变式2-4．化简的结果为（

）A．x B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据两角和的余弦公式计算可得；【详解】解：故选：B题型战法三巧变角典例3．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先利用同角三角函数关系求得的值，再利用组配角即可求得的值.【详解】因为，所以．又，所以，故．故选：A变式3-1．已知、为锐角，且，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】凑角法，利用正弦的差角公式进行求解.【详解】因为、为锐角，所以，因为，所以，因为，所以，故故选：A变式3-2．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出，，由凑角法，利用正弦的差角公式进行求解.【详解】因为、为锐角，所以，因为，所以，因为，所以，故故选：A.变式3-3．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用两角和与差的三角函数，由求解.【详解】解：因为，所以，又，所以，所以，，，故选：A变式3-4．若，，且，，则的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】根据，进而根据两角和的余弦公式展开，然后结合同角三角函数的基本关系求得答案.【详解】，又∵，∴.又∵，∴，于是，易得，则.故选：B.题型战法四倍角公式的应用典例4．已知，且是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简求解.【详解】由题意得，则．故选：B变式4-1．若，则（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式以及弦化切可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】由已知，则，因为，解得.故选：B.变式4-2．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式得到，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为，所以，即，因为，所以、，即，又，解得或（舍去）；故选：A变式4-3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依题意可得利用诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为，所以故选：B变式4-4．已知，且，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由可求sinθ，由可求tanθ，再由正切二倍角公式可求tan2θ.【详解】∵，且，∴，∴，∴．故选：B．题型战法五降幂升角公式的应用典例5．（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】结合倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果.【详解】，故选：A.变式5-1．=A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用降次公式求得所求表达式的值.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查降次公式，属于基础题.变式5-2．函数的最小正周期为A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】利用二倍角降幂公式，化简函数的解析式，用最小正周期公式求出最小正周期.【详解】，最小正周期，故选B.【点睛】本题考查了二倍角的降幂公式、最小正周期公式，考查了运算能力，逆用公式的能力.变式5-3．若，则A． B． C． D．0【答案】C【解析】【分析】直接利用降幂公式和诱导公式化简求值.【详解】.故答案为C.【点睛】（1）本题主要考查降幂公式和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)降幂公式：，这两个公式要记准，不要记错了.变式5-4．已知，则=（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用半角公式和诱导公式进行求解.【详解】∵，∴．故选：B．题型战法六辅助角公式的应用典例6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】化简，再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】，因为向左平移个单位长度得到故选：C变式6-1．已知，则等于（）A．－ B．± C．－1 D．1【答案】D【解析】【分析】根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解.【详解】，故选：D变式6-2．函数的最小正周期和最大值分别是（

）A．和2 B．和 C．和 D．和2【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式，可得，再根据正弦函数的性质，即可求出结果.【详解】因为，所以函数的最小正周期为；又，所以所以函数的最大值为.故选：C.变式6-3．函数在上的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】应用辅助角公式可得，应用余弦函数的性质求减区间，结合题设确定正确选项即可.【详解】由题设，，令，可得，，∴在上的单调递减区间是.故选：C.变式6-4．已知函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据辅助角公式化简函数解析式，再由整体法代入计算函数的对称轴，从而得，进而可求解.【详解】因为，又直线是函数的对称轴，所以，．又，所以，所以故选：B．题型战法七化简求值典例7．化简：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由倍角公式结合诱导公式求解即可.【详解】故选：A变式7-1．化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用诱导公式将角变小，再利用倍角公式化简即可.【详解】故选：D.变式7-2．化简

的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用给定角的范围确定出与的正负，再利用二倍角的余弦公式化简变形即得.【详解】因，则，且，即有，所以.故选：A变式7-3．化简（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式，代入题干中的分式，并在分子分母中提取公式，进行化简可得出结果．【详解】.故选B．变式7-4．化简所得的结果是（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】先切化弦并整理得，再结合展开整理即可得答案.【详解】解：.故选：B【点睛】本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于先根据切化弦的方法整理得，再根据化简整理即可求解.题型战法八三角恒等变换与三角函数的综合应用典例8．设函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数在上的最大值与最小值及相应的x的值.【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，；(2)时函数取得最小值，时函数取得最大值；【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；(1)解：因为，即，所以函数的最小正周期，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，；(2)解：因为，所以，所以当，即时函数取得最小值，即，当，即时函数取得最大值，即；变式8-1．已知函数.(1)求求函数的最小正周期及对称中心.(2)求函数在值域.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）由三角恒等变换可得正弦型三角函数，据此求周期、对称中心即可；（2）利用整体代换法求正弦函数的值域即可.(1)所以函数的最小正周期为，令，解得∴的对称中心是(2)令由，则，则，所以的值域是.变式8-2．设函数.(1)求函数的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时的值；(2)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，写出表达式和单调递增区间.【答案】(1)最小正周期为，最大值为，(2)，单调增区间为【解析】【分析】(1)将函数化为的形式，再求函数的最小正周期和最大值，及此时取得最大值时的值即可；(2)根据图象变换求出的解析式，再求其单调递增区间即可.(1)所以周期；当，即时，.(2)由题意知，，由，得，所以函数的单调增区间为.变式8-3．已知函数．(1)当时，求的取值范围；(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再根据的取值范围，求出的取值范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得，再由（1）及正弦函数的性质计算可得；(1)解：因为．即∵，∴，∴，∴，故的取值范围为．(2)解：∵，∴．由（1）知，∵有两个不同的实数根，因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，由正弦函