2024-2025学年陕西省西安工业大学附属中学高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安工业大学附属中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=1,2,3,4,5,9,B=xxA.1,4,9 B.3,4,9 C.1,2,3 D.2,3,52.已知函数f(x)=−x2−2ax−a,x<0ex+ln (x+1),x⩾0A.(−∞,0] B.[−1,0] C.[−1,1] D.[0,+∞)3.若向量a=(2,3)，b=(−1,1)，则b在a上的投影向量的坐标是(

)A.

(213,−313) B.(4.已知cosαcosα−sinαA.23+1 B.23−15.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A=“出现的点数为奇数”，B=“出现的点数不大于3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是(

)A.A与B互为对立事件 B.PA∪B=PA+PB

6.一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率依次为12，13，14，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为A.124 B.1124 C.17247.下列说法不正确的是(

)A.8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是6111

B.用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2

C.一组数据4，3，2，6，5，860%分位数为6

D.若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为2，则数据2x1−1，28.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1A.7:5 B.5:7 C.3:2 D.4:7二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列是基本事实的是(

)A.过三个点有且只有一个平面

B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线10.已知函数f(x)=sin(2x−π3)，A.f(x)与g(x)的图象有相同的对称中心

B.f(x)与g(x)的图象关于x轴对称

C.f(x)与g(x)的图象关于y轴对称

D.f(x)≥g(x)的解集为[11.在▵ABC中，AB=AC=5，BC=6，P为▵ABC内的一点，设AP=xAB+yACA.若P为▵ABC的重心，则2x+y=1

B.若P为▵ABC的外心，则PB⋅BC=18

C.若P为▵ABC的垂心，则x+y=716

D.若12.在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=120°，将△ABD沿对角线BD折起，使点A至点P(P在平面ABCD外)的位置，则(

)A.在折叠过程中，总有BD⊥PC

B.存在点P，使得PC=2

C.当PC=1时，三棱锥P−BCD的外接球的表面积为3π2

D.当三棱锥P−BCD的体积最大时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知虚数z，其实部为1，且z+2z=mm∈R，则实数m为14.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生30人，女生20入、按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1：女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为

．15.已知锐角▵ABC中，a2−b2c2=216.设x,y∈R，满足x−15+2x+sinx−1=3y−15四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如下：(1)请将表格补充完整，若该地区共有教师30000人，用频率估计概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数；(2)先按照比例分配的分层随机抽样从“反对”的人中抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率．赞成反对合计教师120学生40合计28012018.(本小题12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+(1)求A；(2)若a=2，2bsin C=c19.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，CD=4，PA=AB=BC=AD=2，Q为棱PC上的一点，且PQ=13(Ⅰ)证明：平面QBD⊥平面ABCD；(Ⅱ)求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．20.(本小题12分)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率113购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率p1q(1)当p=14时，求(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围．21.(本小题12分)如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=4，A1

(1)证明：BB1⊥(2)求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值．22.(本小题12分)已知函数f(x)=(cosx+sin(1)求实数a的值；(2)若向量m,n满足|m|=|4f(x)|，|n|=a，m⋅n=|2f(x)+1|参考答案1.D

2.B

3.B

4.B

5.C

6.B

7.C

8.A

9.BCD

10.ABD

11.ACD

12.AC

13.2

14.6.8

15.1,416.2

17.(1)表格补充如下：赞成反对合计教师12080200学生16040200合计28012040030000×80即可估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为12000人；(2)6×80120=4，6×40120=2，即这记这2名学生为a,b，4名教师记为1，2，3，4，则随机选出3人进行深入调研，不同选法有：a,b,1,a,1,4b,2,3,b,2,4,恰有1名学生的选法有a,1,2,b,1,2,b,1,3,故深入调研中恰有一名学生的概率P=12

18.解：(1)sin⁡A+3cos⁡A=2⇒sin⁡(A+π3)=1，

∴A+π3=2kπ+π2(k∈Z)，

又A∈(0,π)，∴A=π6

(2)由正弦定理可知bc=sinBsinC

19.(Ⅰ)连结AC，BD，交于点O，则由▵ABO∽▵CDO，得AO=1∵PQ=13PC∵PA⊥平面ABCD，∴QO⊥平面ABCD，又QO⊂平面QBD，∴平面QBD⊥平面ABCD．(Ⅱ)过D作平面PBC的垂线，垂足为H，则∠DQH即为直线QD与平面PBC所成角，设为θ，设DH=ℎ，∵V∴1即13解得ℎ=4∵QD∴直线QD与平面PBC所成角的正弦值sinθ=

20.解：(1)∵“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，

∴p+13+q=1.又p=14，∴q=512．

(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，

则C=AB∪AB∪AB，且A，B相互独立．

由题意可知P(A)=12，P(B)=p．

∴P(C)=P(AB)+P(A21.解：(1)证明：∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,

∵A1A⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1A⊥AB,A1A⊥AC,

∴AB,AC,AA1两两垂直，

以A为坐标原点，以AB，根据题意可得A0,0,0，B4,0,0，C0,4,0，B12,0,2∴BB1=−2,0,2设平面AB1C则n⋅AC=4e=0n⋅AB1=2d+2f=0,∴BB1∴BB1⊥(2)由(1)知BC=−4,4,0，设平面BCD的法向量为m=则m⋅BC=−4x+4y=0m⋅CD=−y+z=0,

令由(1)知，AB=4,0,0，设平面ABD的法向量为e=则e⋅AB=4a=0e⋅AD=3b+c=0,

令设平面BCD与平面ABD的夹角为θ，则cos θ=|∴平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值为30

22.解：(1)f(x)=co=−2si=−2(令t=sinx,t∈[−1,1]，则当−a2<