2024-2025学年北京四十四中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京四十四中九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列二次根式中，最简二次根式是(

)A.3 B.a2 C.2.以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是(

)A.2，2，3 B.4，5，7 C.5，12，13 D.10，10，103.下列命题是真命题的是(

)A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.四个角都相等的四边形是矩形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4.在平面直角坐标系xOy中，点A(2,y1)，B(3,y2)A.y1>y2 B.y1=5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形对角线的长为(

)A.4

B.8

C.43

6.奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”，在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示.设甲、乙的平均分依次为x甲−，x乙−，方差依次为S甲2，SA.x甲−>x乙−，S甲2>S乙2 B.x7.在直角坐标系中，点P在直线x+y−6=0上，O为原点，则OP的最小值为(

)A.−2 B.22 C.108.如图，在正方形ABCD中，P为边BC上一点(点P不与点B，C重合)，AH⊥DP于G，并交CD于点H，CF⊥AH交AH延长线于点F.给出下面三个结论：

①PC+AD=AH；

②FD<2PC；

③3FA−FD>FB．A.仅有② B.仅有③ C.②③ D.①②③二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.要使式子x−3有意义，则x的取值范围是______．10.方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m11.如果一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过(0,−1)，且y随x的增大而增大，那么这个一次函数的解析式可以是

(写出一个即可)．12.菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD的长为6cm，则AC的长为

cm．13.如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是______米.14.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=4，∠BAD=60°，则EF的最小值为

．15.如图，正比例函数y1=ax与一次函数y2=12x+b的图象交于点P.下面四个结论：

①a>0；

②b<0；

③不等式ax>12x+b的解集是x>−2；

④16.如图，在平面直角坐标系xOy中.四边形OABC为正方形，点A的坐标为(3,0).若直线l1：y=−x+b1和直线l2：y=−x+b2(b1≠三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

(1)(12−12)+(2−318.(本小题5分)

如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．

已知：矩形ABCD．

求作：▱AGHD，使∠GAD=30°．

作法：如图，

①分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；

②作直线EF；

③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；

④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．

则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．

根据小明设计的尺规作图过程，填空：

(1)∠BAG的大小为______；

(2)判定四边形AGHD是平行四边形的依据是______；

(3)用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S219.(本小题5分)

一个一次函数的图象经过(0,2)和(4,−2)两点．

(1)求该一次函数的表达式；

(2)作出该一次函数的图象；

(3)结合图象回答：当y<0时，x的取值范围是______．20.(本小题5分)

数学课上老师提出一个命题：如果四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD也是平行四边形．

下面是某同学根据自己画出的图形给出的证明过程．

证明：因为ABCD是平行四边形，

所以AD=BC，AB=CD．

又因为BEFC也是平行四边形，

所以BC=EF，BE=CF．

所以AD=EF，AB+BE=DC+CF．

即AE=DF．

所以四边形AEFD是平行四边形．

讨论后大家发现这个证明过程存在问题．

(1)请说明该同学证明中出现的问题；

(2)给出正确的证明．21.(本小题5分)

关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于1，求m的取值范围．22.(本小题5分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx与y=6−x的图象交于点A．

(1)若点A的横坐标为2，求k的值；

(2)若关于x的不等式kx<6−x有且只有2个正整数解，直接写出k的取值范围．23.(本小题6分)

如图，△ABC中，AB=BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO=25，DE=4，求CE的长．

24.(本小题6分)

某校举办了一场游泳比赛，9年级初选出10名学生代表.将10名学生代表200米自由泳所用时间数据整理如下：

a.10名学生代表200米自由泳所用时间(单位：秒)：

260，255，255，250，248，246，246，246，220，205

b.10名学生代表200米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数(单位：秒)；平均数中位数众数243mn(1)写出表中m，n的值；

(2)部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若5次日常训练的平均用时低于10名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．

①甲乙两位同学5次日常训练的用时如表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是______(填“甲”或“乙”)；第一次第二次第三次第四次第五次甲同学日常训练用时246255227266236乙同学日常训练用时246255239240250②丙同学前4次训练的用时为270，255，249，240，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，则第5次训练的用时t的要求为：______．25.(本小题6分)

我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题：已知：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和x⋯012345⋯y⋯30−10m8⋯(1)可求得m的值为______；

(2)求出这个二次函数的解析式；

(3)画出函数图象；

(4)当−1<x<3时，则y的取值范围为______．26.(本小题6分)

在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE．

(1)如图1，当点P在线段CB上时(不与端点B，C重合)．

①求证：∠BCF=∠BAP；

②求证：EA=EC+2EB；

(2)如图2，当点P在线段CB的延长线上时(BP<BA)，依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系．27.(本小题7分)

已知点M和图形W，Q为图形W上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点(P,Q不重合)，则称点P为图形W关于点M的倍点．

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−1,1)，B(−1,−1)，C(1,−1)，D(1,1)．

(1)若点M的坐标为(2,0)，则在P1(3,0)，P2(4,2)，P3(5,1)中，是正方形ABCD关于点M的倍点的是______；

(2)点N的坐标为(2,t)，若在直线y=x上存在正方形ABCD关于点N的倍点，直接写出t的取值范围；

(3)点G为正方形ABCD边上一动点，直线y=x+b与x轴交于点E，与y轴交于点F，若线段EF上的所有点均可成为正方形ABCD关于点G参考答案1.A

2.C

3.C

4.A

5.B

6.B

7.D

8.C

9.x≥3

10.2

11.y=x−1(答案不唯一)

12.8

13.5

14.315.④

16.b117.解：(1)原式=23−22+2−3

=3+22．

(2)原式=[(25)2−42]÷8

=4×24

=2．18.解：

(1)连接BG，

由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，

∴AG=BG，

∵AB=AG，

∴AB=AG=BG，

∴△ABG是等边三角形，

∴∠BAG=60°；

故答案为：60°；

(2)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∵EF⊥AB，

∴GH//AD，

∵GH=AD，

∴四边形AGHD是平行四边形，

故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(3)设EF与AB交于M，

∵S2=AD⋅AB，S1=HG⋅AM=AD⋅19.解：(1)设一次函数解析式为y=kx+b，

把(0,2)和(4,−2)分别代入得b=24k+b=−2，

解得k=−1b=2，

所以一次函数解析式为y=−x+2；

(2)如图，

(3)x>2．20.(1)解：∵题中没有指明A、B、E三点共线，C、D、F三点共线，

∴由AB+BE=DC+CF，不能得到AE=DF；

(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD//BC，

∵四边形BEFC也是平行四边形，

∴BC=EF，BC//EF，

∴AD=EF，AD//EF，

∴四边形AEFD是平行四边形．

21.(1)证明：∵a=1，b=−m，c=2m−4，

∴△=b2−4ac

=(−m)2−4(2m−4)

=m2−8m+16

=(m−4)2≥0，

∴此方程总有两个实数根．

(2)解：∵△=(m−4)2≥0，

∴x=−b±b22.解：(1)当x=2时，y=6−2=4，

∴A(2,4)，

∵函数y=kx经过A，

∴2k=4，

∴k=2；

(2)设A(a,6−a)，

由图象得：kx<6−x的解集为x<a，且x有2个正整数解，

∴2<a≤3，

∴当A(2,4)时，k=2，

当A(3,3)时，k=1，

∴k的取值范围为：1≤k<2．

23.(1)证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∵AD//BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB

∴AB=AD，

∵AB=BC，

∴AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形．

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BO=DO，

∵DE⊥BC，

∴OE=12BD=25，

∴BD=45，

∴BE=BD2−DE2=(45)2−42=8，

设CE=x24.(1)m=248+2462=247，n=246．

(2)①乙．

②设丙同学第5次训练的用时为t．

根据题意，得270+255+249+240+t5<248，即1014+t5<248，解得t<226．

25.(1)3．

(2)由题意，设抛物线解析式为y=a(x−1)(x−3)，

把(0,3)代入得3=a×(0−1)×(0−3)，

解得a=1，

∴y=(x−1)(x−3)．

∴抛物线解析式为y=x2−4x+3．

(3)由(2)的关系式y=x2−4x+3，可以作图如下，

(4)−1≤y<8．

26.(1)证明：①∵AP⊥CE，

∴∠CEP=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠CEP，

∵∠CPE=∠APB，

∴∠BCF=∠BAP；

②如图1，过点B作BM⊥BE于B，

∴∠EBM=∠ABP=90°，

∴∠ABM=∠CBE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

由(1)知：∠BAM=∠BCE，

∴△ABM≌△CBE(ASA)，

∴BM=BE，AM=CE，

∵∠EBM=90°，BE=BM，

∴EM=2BE，

∵AE=AM+EM，

∴AE=EC+2BE；

(2)解：线段EA，EC，EB之间的数量关系为：CE=AE+2BE，理由如下：

如图2，过点B作BM⊥BE于B，

∴∠EBM=∠ABP