2024-2025学年湖南省益阳市高三（上）第一次质检数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省益阳市高三（上）第一次质检数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x|−2<x<2}，B={x|log2x<1}，M=A∩B.则M是A.{x|x<2} B.{x|−2<x<2} C.{x|0<x<1} D.{x|0<x<2}2.已知复数z满足|z−i|=2，则复数z在复平面上对应的点的轨迹是(

)A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线3.已知等比数列{an}中，a1+a3A.26 B.32 C.512 D.10244.已知f(x)=−x−1(x<0)sinA.−32 B.0 C.15.已知椭圆E：x26+y2=1与双曲线A.52 B.32 C.56.在平行四边形ABCD中，BE=12BC，AF=13A.13 B.12 C.567.已知抛物线C1：y2=4x，C2：y2=8x的焦点分别为F1、F2，若P、Q分别为C1、A.当|PQ|=12时，△F1PQ是直角三角形

B.当|PQ|=43时，△F2PQ是等腰三角形8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ex(x+2)，则下列说法正确的是A.函数f(x)有两个零点

B.当x>0时，f(x)=−ex(−x+2)

C.f(x)>0的解集是(−2,0)∪(2,+∞)

D.∀x二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2sin(2x+π6)，则下列结论成立的是A.f(x)的最小正周期为π B.曲线y=f(x)关于直线x=π2对称

C.点(−π12,0)是曲线y=f(x)的对称中心 10.已知函数f(x)=ex−x，对于任意实数a，b，下列结论成立的有A.f(x)min=1

B.函数f(x)=ex−x在定义域上单调递增

C.曲线f(x)=ex−x在点11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1上一点，且B1P=2PBA.若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条长为22的线段

B.不存在点Q，便得D1Q⊥平面A1PD

C.三棱锥Q−A1PD的最大体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若sinα=13，则cos2α=______．13.在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为______．14.已知{an}是各项均为正整数的无穷递增数列，对于k∈N∗，定义集合Bk={i∈N∗|al<k}，设bk为集合Bk中元素的个数，若Bk=⌀时，规定bk=0．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinC−ccosA−c=0．

(1)求A；

(2)若a=4，则△ABC面积为2316.(本小题15分)

某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2：3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意．满意不满意总计男游客35__________女游客_____15_____合计__________100(1)完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关？

(2)从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为X.求出X的分布列及数学期望．

参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)α0.100.050.0100.005x2.7063.8416.6357.87917.(本小题15分)

如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD，EF/​/AD，AD=4，AB=2，BC=EF=2，AF=11，FB⊥平面ABCD，M为AD上一点，且FM⊥AD，连接BD、BE、BM．

(1)证明：BC⊥平面BFM；

(2)求平面ABF与平面18.(本小题17分)

已知两点A(−2,0)，B(2,0)及一动点P，直线PA，PB的斜率满足kPA⋅kPB=−14，动点P的轨迹记为C.过点(1,0)的直线l与C交于M，N两点，直线AM，BN交于点Q．

(1)求C的方程；

(2)求△AMN19.(本小题17分)

若函数f(x)=lnx−a2x2．

(1)若a=4，且曲线y=f(x)的切线l过点(0,2e2)，求直线l的方程；

(2)证明：若f(x1)=f(x2参考答案1.D

2.B

3.D

4.D

5.A

6.B

7.C

8.C

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.7913.0.33

14.2

1275

15.解：(1)由正弦定理得a=2RsinA，c=2RsinC，

又3asinC−ccosA−c=0，

所以3sinAsinC−sinCcosA−sinC=0，

因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，

所以3sinA−cosA−1=0，

即2sin(A−π6)=1，

因为A∈(0,π)，

所以A=π3；

(2)因为△ABC面积为23，

所以23=12bcsinA=12bcsinπ3=16.解：(1)因为调查的男游客人数为：22+3×100=40，

所以调查的女游客人数为100−40=60，

于是可完成2×2满意不满意总计男游客35540女游客451560合计8020100零假设为H0：游客对公园新措施满意与否与性别无关．根据列联表中的数据，

可得：χ2=100×(35×15−45×5)280×20×40×60=7532<3<3.841=x0.05，

根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关；

(2)由(1)可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知X的可能取值为0，1，2，

X012P163E(X)=0×11017.解：(1)证明：因为FB⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，

所以FB⊥AD，又FM⊥AD，且FB∩FM=F，

所以AD⊥平面BFM，

因为BC/​/AD，

所以BC⊥平面BFM．

(2)作EN⊥AD，垂足为N，

则FM//EN，又EF/​/AD，

所以四边形FMNE是平行四边形，

又EN⊥AD，所以四边形FMNE是矩形，

又四边形ADEF为等腰梯形，且AD=4，EF=2，

所以AM=1，

由(1)知AD⊥平面BFM，

所以BM⊥AD，又AB=2，

所以BM=1，

在Rt△AFM中，

FM=AF2−AM2=10，

在Rt△FMB中，

所以FB=FM2−BM2=3，

由上可知，以BM，BC，BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则A(−1,−1,0)，B(0,0,0)，F(0,0,3)，D(−1,3,0)，E(0,2,3)，

所以AB=(1,1,0)，BF=(0,0,3)，BD=(−1,3,0)，BE=(0,2,3)，

设平面ABF的法向量为m−=(x1,y1,z1)，

则m18.解：(1)设动点P(x,y)，因为直线PA，PB的斜率满足kPA⋅kPB=−14，

∴yx+2⋅yx−2=−14(x≠±2)，化简整理得x24+y2=1(x≠±2)，

所以轨迹C的方程为x24+y2=1(x≠±2)；

(2)设过点(1,0)的直线l的方程为：x=ty+1(t∈R)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

由x=ty+1x24+y2=1，得(t2+4)y2+2ty−3=0，显然Δ>0，

则y1+y2=−2tt2+4,y1y2=−3t2+4，

S△AMN=12×|−2−1|×|y1−y2|=32×(2t)2−4⋅(−3)⋅(t2+4)t2+4=6t2+3t19.解：(1)易知f′(x)=1x−ax=1−ax2x(x>0)，

设所求切线的切点为(x0,y0)，

此时直线l的方程为y−y0=f′(x0)(x−x0)，

即y−y0=1−4x02x0(x−x0)，

又y0=lnx0−42x02=lnx0−2x02，

所以2e2−(lnx0−2x02)=1−4x02x0(0−x0)，

即lnx0+2x02−