2024-2025学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，是正比例函数的是(

)A.y=4x−1 B.y=5x2 C.y=202.抛物线y=−(x+4)2−3的对称轴是A.直线x=−4 B.直线x=4 C.直线x=3 D.直线x=−33.一次函数y=kx+b如图，则下列结论正确的是(

)A.k>0，b>0

B.k>0，b<0

C.k<0，b>0

D.k<0，b<04.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是(

)A.AC⊥BD

B.AC=BD

C.OB=OD

D.∠ABC=∠BAC5.从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成续都是90分，方差分别是S甲2=3，S乙2=2.6，SA.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.关于x的方程2x2−mx−1=0的根的情况是A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根

C.无实数根 D.由于不知道m的值，无法确定7.用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是(

)A.(x+4)4=23 B.(x+4)2=98.受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是(

)A.100(1+2x)=144 B.100(1+x)2=144

C.100(1+9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB=6cm，BC=8cm.则EF的长是(

)A.2.2cm B.2.3cm C.2.4cm D.2.5cm10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(−4,0)两点，下列说法正确的是(

)A.c<0

B.抛物线的对称轴是直线x=−2

C.当x>−1时，y的值随x值的增大而减小

D.4a−2b+c<0二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.若代数式x−2有意义，则实数x的取值范围是______．12.若m，n是方程x2+2x−1=0的两根，则m+n=______．13.将一次函数y=5x−1的图象向上平移3个单位长度，所得直线表达式为______．14.某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为______．15.如图，二次函数y=x2−x−6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC16.以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度ℎ(单位m)与飞行时间t(单位s)之间具有函数关系：ℎ=20t−5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是______．三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：8+(π−202418.(本小题8分)

先化简，再求值a−3a−2÷(a+2−5a−219.(本小题8分)

如图，已知一次函数的图象经过A(3,5)，B(0,−1)两点．

(1)求一次函数的表达式；

(2)若C为y轴上一点，且△ABC的面积为6，求C点的坐标．20.(本小题8分)

如图，矩形AEBO的对角线AB、OE交于点F，延长AO到点C，使OC=OA，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD、DC、BC．

(1)求证：四边形ABCD是菱形．

(2)若OE=20，∠BCD=60°，则菱形ABCD的面积为______．21.(本小题8分)

奥运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款纪念币，进货价和销售价如表：

(注：利润=销售价−进货价)类别价格A款纪念币B款纪念币进货价(元/枚)1520销售价(元/枚)2532(1)网店第一次用580元购进A、B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的件数；

(2)第一次购进的A、B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于1350元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？22.(本小题8分)

定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且<4，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=−10，x2=−3，因为−10<−3<0，

，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．

请阅读以上材料，回答下列问题：

(1)判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；

(2)若关于x的一元二次方程2x23.(本小题8分)

如图，已知抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A，B(1,0)(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0,3)，顶点为D．

(1)求出该抛物线的表达式；

(2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M

参考答案1.D

2.A

3.D

4.C

5.C

6.A

7.B

8.B

9.D

10.C

11.x≥2

12.−2

13.y=5x+2

14.1.64×1015.15

16.4s

17.解：8+(π−2024)0−(12)−1−|18.解：原式=a−3a−2÷(a2−4a−2−5a−2)

=a−3a−2÷19.解(1)设一次函数的解析式为y=kx+b，

把点A(3,5)，B(0,−1)分别代入得

3k+b=5b=−1，

解得k=2b=−1，

∴一次函数的解析式为y=2x−1；

(2)设C点坐标为(0,m)，

∵△ABC的面积为6，

∴12×3×|m−(−1)|=6，

即|m+1|=4

解得m=3或m=−5，

20.(1)证明：∵CO=AO，DO=BO，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵四边形AEBO是矩形，

∴∠AOB=90°，

∴BD⊥AC，

∴四边形ABCD是菱形；

(2)解：∵四边形AEBO是矩形，

∴AB=BC=OE=20，

∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=60°，

∴∠BCO=30°，∠AOB=90°，

∴OB=12BC=12×20=10，

在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC=BC2−OB2=202−102=103，

∴BD=2OB=2×10=20，AC=2OC=2×103=203，

∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×20×203=2003．

21.解：(1)设分别购进A款纪念币、B款纪念币x，y枚，

由题意得：x+y=3215x+20y=580，

解得：x=12y=20，

∴购进A款纪念币12枚，购进B款纪念币20枚；

(2)设再次购进A款纪念币m枚，则购进B款纪念币(80−m)22.解：(1)此方程为“限根方程”，理由如下：

(x+2)(x+7)=0，

解得x1=−7，x2=−2，

∵，

∴此方程为“限根方程”；

(2)由根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，

∵x1+x2+x1x2=−1，

∴+=−1，

∴k=2或−1；

①当k=2时，x1=，x2=−1，

∴<4，

∴k=2符合题意；

②当k=−1时，x1=−2，x2=−1，

∴=2，

∴k=−1(不合题意，舍去)．

∴k的值为2；

(3)解此方程得：x=−1或m，

∵此方程为“限根方程”，

∴Δ>0，且m<0，即(1−m)2+4m>0，

∴(m+1)2>0，

∴m<0且m≠−1；

①当−1<m<0时，x1=−1，x2=m，

∵<4，

∴，

∴23.解：(1)将点B(1,0)，C(0,3)代入抛物线y=ax2−2x+c，

得a−2+c=0c=3，

解得a=−1c=3，

∴该抛物线的表达式