考研数学二分类模拟题93

考研数学二分类模拟题93一、填空题1.

正确答案：．[解析]

2.

正确答案：2(e2+1)．[解析]

3.

正确答案：π．[解析]

4.

正确答案：．[解析]令，原式=

一般地(作t=1-x的换元)，于是直接有．对于这种积分按照这样计算是最简单的．

5.

正确答案：2．[解析]原式=

其中为奇函数．

6.

函数在区间上的平均值为______．正确答案：．[解析]函数y=f(x)在区间[a，b]上的平均值是指，

故所求的平均值为．

令x=sinθ，则上式等于

7.

正确答案：．[解析]这是对称区间上的定积分．一般都可利用积分性质而化简计算，所以

8.

正确答案：1．[解析]

9.

正确答案：．[解析]

10.

正确答案：．[解析]

11.

正确答案：．[解析]令，则x=t2+2，dx=2tdt．当x=2时，t=0；当x→+∞，t→+∞．所以

原式=

12.

正确答案：．[解析]若令x=sect，则dx=sect·tantdt，于是

也可令，于是

13.

正确答案：．[解析]令x=sint，dx=costdt，则有

14.

反常积分正确答案：．[解析]

15.

已知，则k=______．正确答案：-2．[解析]因为

又因为极限存在，所以k＜0，，因此k=-2．

16.

设函数则正确答案：．[解析]

二、选择题1.

已知函数则f(x)的一个原函数是

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]解法1

则C1=-1+C2，令C1=C，则C2=1+C，

令C=0，则

故应选D．

解法2

利用变限积分函数表示一个原函数．记．

当x＜x时，

当x≥1时，

故

故应选D．

(1)本题考查的是分段函数的原函数，关键是分段点的处理，由于原函数一定是连续函数，故排除选项A，C；

(2)解法2较解法1简单，读者应学会利用变限积分函数来表示一个具体的原函数，即∫f(x)dx=，对于分段函数f(x)，a往往取分段点更简单．

2.

设m，n均是正整数，则反常积分的敛散性A.仅与m的取值有关．B.仅与n的取值有关．C.与m，n的取值都有关．D.与m，n的取值都无关．正确答案：D[解析]

当x→0+时，，由于对任意正整数m，n都有．故积分收敛；

当x→1-时，同敛散，且当x→1-时，．，则当x→1-时，．特殊地，取，当x→1-时，成立，此时收敛，则收敛，进而收敛．于是选D．

3.

设函数若反常积分收敛，则A.α＜-2．B.α＞2．C.-2＜α＜0．D.0＜α＜2．正确答案：D[解析]考虑积分，当α-1≤0，即α≤1时，为普通定积分，积分自然存在；当α-1＞0时，为无界函数的反常积分，且当α-1＜1，即α＜2时收敛，当α-1≥1，即α≥2时发散．

无穷区间上的反常积分

当α＞0时，此反常积分收敛，当α≤0时，发散．

由以上分析知，若反常积分收敛，则有0＜α＜2，故选D．

4.

下列反常积分中收敛的是

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]解法1

排除法．易知A，B，C三个反常积分是发散的．因为

解法2

直接考查D．

因此D是收敛的．

5.

反常积分的敛散性为A.①收敛，②收敛．B.①收敛，②发散．C.①发散，②收敛．D.①发散，②发散．正确答案：B[解析]，收敛；

，发散．

B．

三、解答题1.

计算定积分．正确答案：解

令x=sint，有

2.

已知，f'(2)=0及．正确答案：解

设t=2x，则

被积函数中出现导数f'(x)，f"(x)等时，往往要使用分部积分法．

3.

计算正确答案：解

令，则x=t2，dx=2tdt，于是有

原式=

4.

设函数f(x)在(-∞，+∞)上满足f(x)=f(x-π)+sinx，且f(x)=x，x∈[0，π)，计算．正确答案：解法1

解法2

x在[π，3π]中有

5.

求．正确答案：解

原式

对于定积分，开平方在不确定正负的情况下，要加绝对值，本题中

6.

设正确答案：解

令x-2=t，则原式=

也可以先求出f(x-2)的表达式，然后再去作积分，但不如上面的方法简单．

7.

求正确答案：解

原式=

8.

计算．正确答案：解

令x2=sint，则x=0时，t=0；x=1时，．

9.

设．正确答案：解

本题是属于含变限积分的定积分的问题，处理这类定积分时有两种方法：一是可以采用分部积分法(取变限积分函数作为分部积分中的u，如上解答)，二是可以化累次积分为二重积分，然后交换积分次序进行计算，具体表述为

10.

计算正确答案：解法1

原式

解法2

令e-x=sint，则，

原式=

11.

设函数f(x)，g(x)满足f'(x)=g(x)，g'(x)=2ex-f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求正确答案：解

由f'(x)=g(x)得f"(x)=g'(x)=2ex-f(x)，于是有

解之得f(x)=sinx-cosx+ex．

故

12.

如图所示，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

正确答案：解

被积函数中有函数的导数，考虑使用分部积分法，并结合导数的几何意义及拐点的必要条件等确定出相关数值．

13.

求．正确