考研数学二模拟392

考研数学二模拟392一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.

设g(x)可微，f(x)=ln2(1+g(x))+2ln(1+g(x))，f'(1)=1，则g(1)=

A．1.

B．0.

C．2.

D．正确答案：B[解析]按题设

令

即

．选B．

方程x=ln(1+x)有唯一解x=0.

2.

设[0，4]区间上y=f(x)的导函数的图形如图，则f(x)

A.在(0，2)单调上升且为凸的，在(2，4)单调下降且为凹的．B.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凹的，在(2，4)是凸的．C.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凸的，在(2，4)是凹的．D.在(0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的．正确答案：B[解析]当x∈(0，1)或x∈(3，4)时，在(0，1)，(3，4)单调下降；当x∈(1，3)时，在(1，3)单调上升．又f'(x)在(0，2)单调上升在(0，2)是凹的；f'(x)在(2，4)单调下降在(2，4)是凸的．因此，应选B．

3.

A．π．

B．

C．

D．正确答案：B[解析一]令

[解析二]

[解析三]令

4.

下列命题中正确的是A.设(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，则x=x0不是f(x)的极值点．B.设x=x0是f(x)的极小值点，f(x)在x=x0二阶可导，则f'(x0)=0，f"(x0)＞0.C.f(x)在(a，b)只有一个驻点x0，且x0是f(x)的极小值点，则f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值．D.若f'-(b)＜0，则f(b)不是f(x)在[a，b]的最大值．正确答案：D[解析一]由举例易知A、B、C不正确．

如图1所示，(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点且x=x0是f(x)的极小值点．A是错的．

极小值点x0处可以有f"(x0)=0.如f(x)=(x-x0)4，x=x0是f(x)的极小值点，f"(x0)=0.B是错误的．

若f(x)不连续，命题C不正确，如图2.

f(x)在(a，b)有唯一驻点x0，是f(x)的极小值点，但f(x0)不是f(x)在(a，b)的最小值．因此，选D．

图1

图1

[解析二]由最值点处导数性质可知D正确．因为，若f(b)是f(x)在[a，b]的最大值且f'-(b)存在，则

于是当f'-(b)＜0时，f(b)不可能是f(x)在[a，b]的最大值．选D．

①设f(x)在(a，b)可导，若(x0，f(x0))是f(x)的拐点，则x=x0一定不是f(x)的极值点．

因为此时若x=x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=0，由于f'(x)在x=x0两侧升降性相反，那么f'(x)在x=x0两侧不变号，这与x=x0是f(x)的极值点矛盾了，因此x=x0不可能是f(x)的极值点．

②若f(x)在(a，b)连续，x=x0是f(x)在(a，b)的唯一极值点，则x=x0一定是f(x)在(a，b)的相应的最值点．

5.

A.可导的奇函数．B.连续，但在x=0不可导的奇函数．C.可导的偶函数．D.连续，但在x=0不可导的偶函数．正确答案：A[解析]因为改变有限个点的函数值，则不改变函数的可积性与积分值，所以

ex2+x2是偶函数且处处连续，由变限积分函数的性质知是奇函数且处处可导．

因此选A．

不是f(x)在含x=0区间上的原函数．事实上，x=0是f(x)的第一类间断点(可去间断点)，它在含x=0的区间上不存在原函数．

6.

设常数0＜a＜1，区域D由x轴，y轴，直线x+y=a以及x+y=1围成．

记则I，J，K的大小关系是A.J＜K＜I．B.J＜I＜K．C.I＜J＜K．D.I＜K＜J．正确答案：B[解析]在区域D上有0＜x+y≤1，于是

ln3(x+y)≤0≤sin2(x+y)≤(x+y)2≤(x+y)，且它们互不恒等，连续，因此，它们在D上的积分值满足

应选B．

7.

已知A是3阶矩阵且则A.16.B.-16.C.256.D.-256.正确答案：D[解析]由(kA)*=kn-1A*知(2A)*=22A*=4A*，又

有以及A*=|A|A-1得

8.

已知α=(1，-3，2)T，β=(0，1，-1)T，矩阵A=2βαT+7E，则矩阵A的最小特征值的特征向量是A.α．B.β．C.α+β．D.α-β．正确答案：B[解析]B=βαT，则秩r(B)=1.

由αTβ=-5，知矩阵B的特征值是-5，0，0.

那么矩阵A=2B+7E的特征值是-3，7，7.

矩阵B关于λ=-5的特征向量就是矩阵A关于λ=-3的特征向量．

而Bβ=(βαT)β=β(αTβ)=-5β，

所以应选B．

二、填空题1.

设an＞0(n=1，2，3，…)且则正确答案：1[解析]记

其中

2.

已知则f(x)的连续性区间是______．正确答案：(0，+∞)[解析]当0＜x≤e时

当x＞e时

显然，x∈(0，+∞)，x≠e时f(x)连续，又f(x)在x=e左连续且右连续，f(x)也在x=e连续．

因此f(x)的连续区间是(0，+∞)．

3.

已知f(x)(x∈[0，+∞))为非负连续函数，且满足则f(x)=______．正确答案：[解析]注意

于是原方程改写成

先求由及Φ(0)=0，

积分得

最后得

4.

设u=u(x，y)满足且u(0，y)=y2+1，则u(x，y)=______．正确答案：[解析]将y看作常量，这是以x为自变量，函数u=u(x，y)的一阶线性微分方程

改写成

两边乘e-xy得

对x积分得

由

因此

5.

设φ(z)有连续导数，1-yφ'(z)≠0，z=z(x，y)由方程x=x+yφ(z)确定，则dz=______．正确答案：[解析一]将方程z=x+yφ(z)两边求全微分

dz=dx+d(yφ(z))

dz=dx+φ(z)dy+yφ'(z)dz

移项并解出

[解析二]先求出

方程两边分别对x求偏导数并注意x，y为自变量，z=z(x，y)，于是由复合函数求导法得

解出

同理，方程两边对y求偏导数得

因此

6.

已知A是3阶非零矩阵，且矩阵A中各行元素之和均为0，又知AB=O，其中B=，则齐次方程组Ax=0的通解是______．正确答案：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2为任意常数[解析]矩阵A各行元素之和均为0，即

故(1，1，1)T是齐次方程组Ax=0的一个解．

由AB=O，知，故(1，-1，1)T也是Ax=0的一个解．

从而Ax=0至少有2个线性无关的解，即n-r(A)≥2，亦即r(A)≤1，又因A是非零矩阵，又有r(A)≥1.

故必有r(A)=1，那么齐次方程组Ax=0的基础解系由n-r(A)=2个线性无关的解向量构成，所以其通解为：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2为任意常数．

三、解答题15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

已知曲线在直角坐标系中的参数方程给出：

(Ⅰ)证明x=tlnt(t∈[1，+∞))存在连续的反函数t=t(x)(x∈[0，+∞))且该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[0，+∞)；

(Ⅱ)求y(x)的单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点．正确答案：[证明]先证x=tlnt单调，必存在反函数，于是确定y=y(x)．再用参数求导法求出然后求出单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点．

(Ⅰ)因为在[1，+∞)单调上升，值域是[0，+∞)x=tlnt反函数，记为t=t(x)，它在[0，+∞)连续，t(x)≥1(单调连续函数的反函数连续)．再由连续函数的复合函数的连续性在[0，+∞)上连续．

(Ⅱ)现知y(x)在[0，+∞)连续，再由参数式求导法有

因此y(x)的单调增区间为x∈[0，e]，单调减区间为[e，+∞)，x=e为极大值点

因此为y(x)的凸区间，为凹区间，拐点的横坐标是[解析]于是

因此y=y(x)有渐近线y=0.

抛物线y=x2上任意点(a，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引一切线L2，L2与L1垂直．2.

求L1与L2的交点横坐标x1；正确答案：[解]抛物线y=x2在点(a，a2)处的切线方程为

L1：y=a2+2a(x-a)即y=2ax-a2．

另一点(b，b2)处的切线方程为

L2：y=b2+2b(x-b)即y=2bx-b2．

由L1与L2垂直即

L1与L2的交点(x1，y1)满足

代入得

3.

证明：L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积正确答案：[解]L1，L2与y=x2所围图形的面积

由x1的表达式知

4.

问a＞0取何值时S(a)取最小值．正确答案：[解]求导解最值问题

设函数y=y(x)在(-∞，+∞)有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．5.

试将x=x(y)满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；正确答案：[解]这实质上是求反函数x=x(y)的一、二阶导数问题，由反函数求导公式知，

再由复合函数求导法知，

代入原方程得

即

6.

求满足y(0)=0，y'(0)=1的y=y(x)．正确答案：[解]求y=y(x)就是求解满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1的可降阶微分方程(1)．看作不显含因变量y的类型，令得

这是可分离变量的方程，分离变量解得

p=1(p=0不合题意)

或

由p=1得，再由初值得y=x．

由(2)式积分得

即

由初值得C=0，仍然只求得y=x．

因此求得y(x)=x．[解析]①这也是不显含x的一类可降阶的二阶微分方程

令并以y为自变量，由

方程(3)化为一阶微分方程

对于原方程(1)，我们得

(P=0不合题意)，于是分离变量得

积分得

ln|P-1|=y+C1，P-1=Cey

由y=0时，P=1得C=0，因此再由y(0)=1得y=x．

②这也是伯努利方程(大纲中不要求，若熟悉)，P=0不合题意，P≠0时改写成

两边乘e-x得

积分并注意到P(0)=1得

由及y(0)=0得

y=x．

7.

求不定积分正确答案：[解]方法一

而

因此

方法二

8.

求极坐标系中曲线的弧长l．正确答案：[解]先求

按弧长计算公式得

9.

设f(u，v)有二阶连续偏导数，且满足又求正确答案：[解]由复合函数求导法得

现将①，②式相加得

其中由条件知f"11+f"22=1.

10.

求二重积分其中D由直线x=a，x=0，y=a，y=-a及曲线x2+y2=ax，(a＞0)所围成．正确答案：[解法一]将D1看成正方形区域与半圆形区域的差集，在半圆形区域上用极坐标变换．于是

于是

如果积分区域关于x轴(或y轴)对称，考察被积函数关于y(或x)的奇偶性，往往会简化计算．

[解法二]在直角坐标系下计算

而

或

因此于是

[解法三]被积函数x对x是奇函数，但积分区域D1关于y轴不对称，但关于对称．作平移变换：则D1变为

关于v轴对称，于是

[解析]J的积分区域如图阴影部分，设D1为由x=a，x=0，y=a，所围．

由于D关于x轴对称，故

11.

设P(x)=x3+ax2+bx+c，a，b，c，为常数，方程P(x)=0有三个相异实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，又求证：

(Ⅰ)F(x)在(-∞，x3)恰有两个零点；

(Ⅱ)F(x)在(x3，+∞)恰有一个零点．正确答案：[证明]对常数a，b，c均有

进一步按题设应有

P(x)＜0(x＜x1)，P(x)＞0(x∈(x1，x2))

P(x)＜0(x∈(x2，x3))，P(x)＞0(x＞x3)

P(x)在(-∞，+∞)连续．

(Ⅰ)当x＜x1时时

在(-∞，x1)无零点．F(x1)=0.

当x∈(x1，x2)时时

在(x1，x2]无零点．

因F(x)在[x2，x3]连续，又即F(x)在(x2，x3)有零点．又因

F'(x)=P(x)＜0(x∈(x2，x3))

在在(x2，x3)有唯一零点．

因此F(x)在(-∞，x3)恰有两个零点(x1与ξ)．

(Ⅱ)由当x＞x*时

又因F'(x)=P(x)＞0

(x＞x3)

在在(x3，+∞)恰有一个零点．

已知矩阵与矩阵等价．12.

求a的值；正