第12讲 二次函数的图象与性质测试题

第12讲二次函数的图象与性质(时间60分钟满分110分)A卷一、选择题(每小题3分,共21分)1．(2018·长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4顶点坐标是(A)A．(3,4)B．(－3,4)C．(3,－4)D．(2,4)2．(2018·陕西)已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′,若点M′在这条抛物线上,则点M的坐标为(C)A．(1,－5)B．(3,－13)C．(2,－8)D．(4,－20)3．(2018·玉林)对于函数y＝－2(x－m)2的图象,下列说法不正确的是(D)A．开口向下B．对称轴是x＝mC．最大值为0D．与y轴不相交4．(2018·连云港)已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2,y1)、B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是(C)A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞05．(2018·乐山)已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数),当－1≤x≤2时,函数值y的最小值为－2,则m的值是(D)A.eq\f(3,2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)或eq\r(2)D．－eq\f(3,2)或eq\r(2)6．(2016·毕节)一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D)7．(2018·烟台)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x＝1,下列结论:①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是(C)A．①④B．②④C．①②③D．①②③④二、填空题(每小题3分,共21分)8．(2018·上海)已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,－1),那么这个二次函数的解析式可以是_y＝2x2－1_.(只需写一个)9．(2018·兰州)如图,若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x＝1对称,则Q点的坐标为_(－2,0)_．第9题图第10题图10．(2018·牡丹江)若将图中的抛物线y＝x2－2x＋c向上平移,使它经过点(2,0),则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是_0＜x＜2_.11．某超市销售某种玩具,进货价为20元．根据市场调查:在一段时间内,销售单价是30元时,销售量是400件,而销售单价每上涨1元,就会少售出10件玩具,超市要完成不少于300件的销售任务,又要获得最大利润,则销售单价应定为_40_元．12．(2018·武汉)已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0)．若2＜m＜3,则a的取值范围是_eq\f(1,3)＜a＜eq\f(1,2)或－3＜a＜－2_.13．(2018·咸宁)如图,直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是_x＜－1或x＞4_.第13题图第14题图14．(2018·贺州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc＜0；②2a＋b＜0；③b2－4ac＝0；④8a＋c＜0；⑤a∶b∶c＝－1∶2∶3,其中正确的结论有_①④⑤_.(导学号58824141)三、解答题(本大题3小题,共31分)15．(10分)(2018·达州)宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系:y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7.5x（0≤x≤4），,5x＋10（4＜x≤14）.))(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x天生产的产品成本为P元/件,P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数关系式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少？解:(1)根据题意,若7.5x＝70,得:x＝eq\f(28,3)＞4,不符合题意；∴5x＋10＝70,解得:x＝12.答:工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)由函数图象知,当0≤x≤4时,P＝40,当4＜x≤14时,设P＝kx＋b,已知(4,40)、(14,50),∴P＝x＋36；①当0≤x≤4时,W＝(60－40)·7.5x＝150x,∵W随x的增大而增大,∴当x＝4时,W最大＝600元；②当4＜x≤14时,W＝(60－x－36)(5x＋10)＝－5x2＋110x＋240＝－5(x－11)2＋845,∴当x＝11时,W最大＝845,∵845＞600,∴当x＝11时,W取得最大值845元．答:第11天时,利润最大,最大利润是845元．16．(10分)(2018·本溪模拟)我市是世界有机蔬菜基地,数10种蔬菜在国际市场上颇具竞争力．某种有机蔬菜上市时,某经销商按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克某种蔬菜存放入冷库中．据预测,该种蔬菜的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计340元,而且这种蔬菜在冷库中最多保存110天,同时,平均每天将会有6千克的蔬菜损坏不能出售．(1)若存放x天后,将这批蔬菜一次性出售,设这批蔬菜的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式；(2)经销商想获得利润22500元,需将这批蔬菜存放多少天后出售？(利润＝销售总金额－收购成本－各种费用)(3)经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？(导学号58824142)解:(1)由题意得y与x之间的函数关系式为y＝(10＋0.5x)(2000－6x)＝－3x2＋940x＋20000(1≤x≤110)；(2)由题意得:－3x2＋940x＋20000－10×2000－340x＝22500,解方程得:x1＝50,x2＝150(不合题意,舍去)经销商想获得利润22500元需将这批蔬菜存放50天后出售；(3)设最大利润为W,由题意得W＝－3x2＋940x＋20000－10×2000－340x＝－3(x－100)2＋30000,∴当x＝100时,W最大＝30000.∵100天＜110天．∴存放100天后出售这批蔬菜可获得最大利润30000元．17．(11分)(2018·大连)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上,且经过点A(0,eq\f(3,2))．(1)若此抛物线经过点B(2,－eq\f(1,2)),且与x轴相交于点E,F.①填空:b＝_－2a－1_(用含a的代数式表示)；②当EF2的值最小时,求抛物线的解析式；(2)若a＝eq\f(1,2),当0＜x＜1,抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时,求b的值．解:(1)②由①可得抛物线解析式为y＝ax2－(2a＋1)x＋eq\f(3,2),令y＝0可得ax2－(2a＋1)x＋eq\f(3,2)＝0,∵b2－4ac＝(2a＋1)2－4a×eq\f(3,2)＝4a2－2a＋1＝4(a－eq\f(1,4))2＋eq\f(3,4)＞0,∴方程有两个不相等的实数根,设为x1、x2,∴x1＋x2＝eq\f(2a＋1,a),x1x2＝eq\f(3,2a),∴EF2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\f(4a2－2a＋1,a2)＝(eq\f(1,a)－1)2＋3,∴当a＝1时,EF2有最小值,即EF有最小值,∴抛物线解析式为y＝x2－3x＋eq\f(3,2)；(2)当a＝eq\f(1,2)时,抛物线解析式为y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋eq\f(3,2),∴抛物线对称轴为x＝－b,∴只有当x＝0、x＝1或x＝－b时,抛物线上的点才有可能离x轴最远,当x＝0时,y＝eq\f(3,2)；当x＝1时,y＝eq\f(1,2)＋b＋eq\f(3,2)＝2＋b；当x＝－b时,y＝eq\f(1,2)(－b)2＋b(－b)＋eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)b2＋eq\f(3,2),①当|2＋b|＝3时,b＝1或b＝－5,且顶点不在0＜x＜1范围内,满足条件；②当|－eq\f(1,2)b2＋eq\f(3,2)|＝3时,b＝±3,对称轴为直线x＝±3,不在0＜x＜1范围内,故不符合题意,综上可知b的值为1或－5.B卷1．(3分)(2018·天津)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M′落在x轴上,点B平移后的对应点B′落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为(A)A．y＝x2＋2x＋1B．y＝x2＋2x－1C．y＝x2－2x＋1D．y＝x2－2x－12．(3分)(2016·陕西)已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC,则tan∠CAB的值为(D)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5)D．2(导学号58824143)3．(3分)(2018·盘锦模拟)如图,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x＝2,且OA＝OC,则下列结论:①abc＞0；②9a＋3b＋c＜0；③c＞－1；④关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为－eq\f(1,a).其中正确的结论个数有_①③④_(填序号)4．(3分)(2018·铁岭模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以点A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x＝－2,点C在抛物线上,且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为_a＋4_(用含a的式子表示)．第4题图第5题图5．(3分)如图,Rt△OAB的顶点A(－2,4)在抛物线y＝ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为_(eq\r(2),2)_．6．(11分)(2018·扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)6004503001500(1)请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a的值．(日获利＝日销售利润－日支出费用)(导学号58824144)解:(1)p＝－30x＋1500,检验:当x＝35,p＝450；当x＝45,p＝150；当x＝50,p＝0,符合一次函数解析式,∴所求的函数表达式为p＝－30x＋1500；(2)设日销售利润w＝p(x－30)＝(－30x＋1500)(x－30),即w＝－30x2＋2400x－45000,∴当x＝－eq\f(2400,2×（－30）)＝40时,w有最大值3000元,故这批农产品的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大；(3)日获利w＝p(x－30－a)＝(－30x＋1500)(x－30－a),即w＝－30x2＋(2400＋30a)x－(1500a＋45000),对称轴为x＝－eq\f(2400＋30a,2×（－30）)＝40＋eq\f(1,2)a,①若a＞10,则当x＝45时,w有最大值,即w＝2250－150a＜2430(不合题意)；②若a＜10,则当x＝40＋a时,w有最大值,将x＝40＋a代入,可得w＝30(a2－10a＋100),当w＝2430时,2430＝30(eq\f(1,4)a2－10a＋100),解得a1＝2,a2＝38(舍去),综上所述,a的值为2.7．(11分)(2018·临沂)如图,抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2,－3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D在y轴上,且∠BDO＝∠BAC,求点D的坐标；(3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．解:(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；(2)如解图①,连接AC,作BF⊥AC交AC的延长线于点F,∵A(2,－3),C(0,－3),∴AF∥x轴,∴F(－1,－3),∴BF＝3,AF＝3,∴∠BAC＝45°,设D(0,m),则OD＝|m|,∵∠BDO＝∠BAC,∴∠BDO＝45°,∴OD＝O