18高中数学新教材课堂导学案（直线与圆锥曲线关系）及答案

课堂导学（直线与圆锥曲线的关系）【知识点】1.直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2.直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．3.直线与抛物线的位置关系将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．4.抛物线的焦点弦问题已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：①焦点弦长②③，其中|AF|叫做焦半径，④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。5.相交弦长：直线直线与二元曲线交于，，则或6.中点弦：点差法.【典例】例1．（2022·江苏·高二）已知直线：与双曲线：相交于两点.（1）求线段的中点的坐标；（2）求线段的长.【答案】(1)(2)【解析】【分析】联立直线与双曲线的方程消元得到关于的一元二次方程，求得两根之和与两根之积，代弦长公式即可求解【详解】设直线与双曲线交于，两点由所以，所以即直线被双曲线截得的弦长为例2．已知双曲线：，点.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率取值集合.A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【答案】A【解析】【分析】利用双曲线渐近线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为.①直线与双曲线只有一个公共点；②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；③设过的切线方程为与双曲线联立，可得，由，即，解得，直线的条数为1.综上可得，直线的条数为4.故选：A,.例3．已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，求线段AB的长．【答案】【解析】【分析】首先判断直线的斜率存在，设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据，求出参数，再根据焦点弦公式计算可得；【详解】解：依题意显然直线的斜率存在，设直线为，，，由，消去整理得当时，显然不成立．当时，，又得，解得，当时直线，又焦点满足直线．所以，又，．故答案为：【作业】1．过抛物线SKIPIF1<0的焦点的直线垂直于轴交抛物线于两点，则（）A．B．5C．SKIPIF1<0D．102.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．3.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于,两点，则（C）（A）（B）（C）（D）4．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由直线与双曲线无公共点可得，然后即可求出的范围【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，故有，即，，所以，所以.所以的范围为故选：A5．（2022·江苏·高二）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（

）A． B． C．5 D．【答案】B【解析】【分析】设，根据，可得，又，即可求得的面积【详解】双曲线的渐近线方程，不妨设A在上，则，根据可得，且，解得，所以的面积为．故选：B6．（多选题）（2022·浙江浙江·高二期中）若双曲线的方程为，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦点坐标为C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线有两个交点【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可判断选项A，B，C，将直线方程与双曲线的方程联立可判断选项D.【详解】在双曲线的方程为中，，则则双曲线的离心率为，焦点坐标为由可得，即双曲线的渐近线方程为故选项A,C正确，选项B不正确.由可得，所以直线与双曲线有两个交点，故选项D正确.故选：ACD7．过点的抛物线的切线有条.8．（2022·江苏·高二）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数的值组成集合_______.【答案】【解析】【分析】联立，消，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论，结合根的判别式从而可得出答案.【详解】解：联立，消得，当时，，解得，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；当时，则，解得，综上所述或，所以满足条件的实数的值组成集合为.故答案为：.9．（2022·江苏·高二课时练习）若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为______.【答案】4【解析】【分析】求得双曲线的，，，可得焦点坐标，直线的方程，代入双曲线方程求得交点坐标，可得弦长．【详解】解：双曲线的，，，可得一个焦点为，直线，代入双曲线的方程可得，解得，则，故答案为：4．11．（2022·江苏·高二）已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】8【解析】【分析】根据双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，再根据双曲线的定义以及勾股定理求得，即可得到四边形的面积．【详解】由题意得，，由双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，所以，解得，所以四边形的面积为．故答案为：．12．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为_____________．【答案】．【解析】【分析】由题可得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.【详解】设椭圆的半焦距为，由，，可得，，解得，，则，即有椭圆的方程为，联立直线和椭圆，可得，设被椭圆截得的