第二章 一元二次方程 讲义 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程1、关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是()A．－6 B．－3 C．3 D．62、若关于x的一元二次方程x2－2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1B．k≤1C．k＞－1D．k＞13、下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2+3=0 B．（x+1）2=0 C．x2+2x=0 D．（x+3）（x﹣1）=04、下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2+3=0 B．（x+1）2=0 C．x2+2x=0 D．（x+3）（x﹣1）=05、已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握一元二次方程的解法。理解一元二次方程韦达定理3、掌握有关一元二次方程判别式。4、掌握有关一元二次方程有关题目的解法。一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a0，b、c为常数）2、根的判别式.当△=b²当△=b²当△=b²3.一元二次方程的解法直接开平方法（2）配方法（3）公式法（4）因式分解法4、一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)如果的两个根是、,那么1.一元二次方程的定义【例1】下列方程中是一元二次方程的序号是．③练习1.已知，关于x的方程是一元二次方程，则练习2.当时，方程不是关于x的一元二次方程．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或02.一元二次方程根的情况【例1】若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是．练习1.已知：当时，方程有两个实数根．练习2.关于x的方程的根的情况是___________．【例2】不解方程，判别方程的根的情况：练习3.练习4.【例3】已知关于x的一元二次方程x2＋2（m＋1）x＋m2－1=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1－x2）2=16－x1x2，求实数m的值．练5、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2－（2m－1）x＋4（m－1）=0的两根，则m的值是（）A．4B．－1C．4或－1D．－4或16、若x＝EQ\R(,3)是关于x的方程x2－4EQ\R(,3)x＋m＝0的一个根，则方程的另一个根是（）A.9B.4C.4EQ\R(,3)D.3EQ\R(,3)3.一元二次方程的解法①直接开平方法【例1】解方程．练1.解方程．练2.解方程．②配方法【例2】用配方法解方程．练3．x2＋8x－2＝0练4.2x2-x=6③分解因式法【例3】解方程．练5．(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)练6．4x2-20x+25=7分解因式：x2－4x＋4＝__________．分解因式：________．④公式法x2－4x＋4＝04x2-20x+25=7已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．104、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）例1、若方程x2＋x－1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）A．α＋β=－1B．αβ=－1C．α2＋β2=3D．＋=－1关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是()A．－6 B．－3 C．3 D．6练1、若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c=0的两个实数根分别为x1=－2，x2=4，则b＋c的值是（）A．－10B．10C．－6D．－1【例2】设，是方程2x2＋4x－1=0的两个根，不解方程求下列各式的值：（1）＋；（2）＋；（3）（－2）（－2）．练2、已知方程的两个根为,求下列各式的值: 练3、方程x2－（m＋6）＋m2=0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2=x1x2，则m的值是（）A．－2或3B．3C．－2D．－3或2练4、关于x的一元二次方程x2＋2（m－1）x＋m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）A．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1D．m＜1且m≠0【例3】已知方程的一个根是,求另一个根及的值.练5、已知关于x的方程2x2－mx－6=0的一个根2，则m=，另一个根为．练6、已知m，n是方程x2＋2x－5=0的两个实数根，则m2–mn＋3m＋n=______．5、韦达定理和判别式的综合例、已知关于x的一元二次方程x2－2EQ\r(,2)x＋m=0，有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12＋x22－x1x2的值．4、一元二次方程应用【例1】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．（1）填表：（不需化简）时间第一个月第二个月清仓时单价（元）8040销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？练1、为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．（1）求a的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？【例2】为建设“绿色城市”，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）练2、如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a=（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？基础演练1.下列方程:①x2=0,②-2=0,③2+3x=(1+2x)(2+x),④3-=0,⑤-8x+1=0中,一元二次方程的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是()A.5x2-4x-4=0 B.x2-5=0 C.5x2-2x+1=0 D.5x2-4x+6=04.方程化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______.5.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有实数解的条件是__________.6.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.7.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.巩固提高1.下列方程中,常数项为零的是()A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12 C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+22．某商场有一种工艺品，一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（）A．4元B．6元C．4元或6元D．5元3．某方便面厂10月份生产方便面100吨，这样1至10月份生产量恰好完成全年的生产任务，为了满足市场需要，计划到年底再生产231吨方便面，这样就超额全年生产任务的21%，则11、12月的月平均增长率为（）A．10%B．31%C．13%D．11%4.方程x2-2kx+k2-2=0.求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.5.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.6.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k的最小整数值是__________.7.如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.8.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0有两个不相等实数根,则k的取值范围是_______.1.一元二次方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的是()A. B. C. D.以上都不对2.关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（）A．1 B.-1 C.1或-1 D.3.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根,则这个三角形的周长为()A.11 B.17 C.17或19 D.194．一名跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在高度h（单位：m）与所用时间t（单位：s）的关系是h=－5（t－2）（t＋1），则该运动员从起跳到入水所用的时间是（）A．5

sB．2

sC．3

sD．1

s5.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.6.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.7.8.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1,则a、b、c的关系是______.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.下列方程中不一定是一元二次方程的是()A.(a-3)x2=8(a≠3)B.ax2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.2下列方程中,常数项为零的是()A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12 C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+23.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A. B.3 C.6 D.94.使分式的值等于零的x是()A.6 B.-1或6 C.-1 D.-65.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是()A.k>- B.k≥-且k≠0 C.k≥- D.k>且k≠06.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x＋1）=28B．x（x－1）=28C．x（x＋1）=28D．x（x－1）=287．已知平面中有n个点，A，B，C三个点在一条直线上，A，D，E，F