2021-2022学年新教材人教A版必修第二册-6.2.4-向量的数量积-学案

6．向量的数量积如下图，两位同学拉车，沿着绳子方向上的合力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ.【问题1】合力F所做的功如何计算？【问题2】合力F所做的功是向量还是数量？【问题3】合力F与车的位移是s的夹角θ的取值范围对功W有什么影响？1．向量的夹角(1)定义：两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如下图).(2)三种特殊情况：a与b的夹角θa与b的关系0a与b同向πa与b反向eq\f(π,2)a与b垂直，记作a⊥b等边△ABC中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角是60°吗？提示：向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角是120°.2．平面向量数量积的定义两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__．对向量数量积的理解(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角．求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，假设没有，需平移．(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是不同的，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×〞代替．3．投影与投影向量(1)变换：变换图示设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到(2)结论：称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．(3)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影向量为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))cos__θ__e．4．向量数量积的性质(1)条件：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量．(2)性质：①a·e＝e·a＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))cos__θ．②a⊥ba·b＝0．③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).④|a·b|≤|a||b|．向量数量积性质的应用(1)a⊥ba·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝eq\r(|a|2)＝eq\r(a2)也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．(4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题．5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，因为假设(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同或相反，故该等式不一定成立．1．如果a·b＝0，那么必有a＝0或b＝0吗？2．a·a常记作a2，由a2＝b2能推出a＝b或a＝－b吗？3．假设a·b＞0，那么a和b的夹角为锐角吗？4．向量a在b上的投影向量是一个模等于|acosθ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量吗？提示：1.不一定2.不一定3.不一定4.是阅读教材第20页，对向量数量积运算的运算律(3)的证明过程，你能借助投影向量说明下面这个推理是否正确吗？对于向量a，b，c，假设c≠0，a·c＝b·c，那么a＝b.提示：该推理不正确．即a·c＝b·c且c≠0不能推出a＝b.如图，由投影向量的定义及数量积公式，易知a·c＝b·c，但显然a≠b.1．单位向量a，b，夹角为60°，那么a·b＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．1D．－eq\f(1,2)【解析】选A.a·b＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).2．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，那么|a＋2b|＝()A.eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\r(5)D．eq\r(7)【解析】选B.因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋4＝3，所以|a＋2b|＝eq\r(3).根底类型一向量数量积和投影向量(数学抽象)1．等边△ABC的边长为2，那么向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影向量为()A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))B．eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))C．2eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(CA,\s\up6(→))2．两个单位向量e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，假设向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，那么b1·b2＝________．3．如下图，四边形ABCD为平行四边形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4.假设点M，N满足eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→)).(1)用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，表示eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))；(2)求eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→)).【解析】1.选A.在等边△ABC中，因为∠A＝60°，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))方向上的投影向量为eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影向量为－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→)).2．由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq\f(1,2)，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－2e1·e2－8eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝3－2×eq\f(1,2)－8＝－6.答案：－63．由题设知：eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(AD,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,4)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\f(3,16)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×36－eq\f(3,16)×16＝9.1．向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．2．求投影向量的方法(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量．(2)首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))cosθe计算．微提醒：数量积的定义中要注意两向量的夹角一定要同起点．两向量夹角的范围是[0，π].根底类型二求向量的模(数学运算)【典例】|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模．【解析】(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝因为|a|＝4，|b|＝3，所以a·b＝－6，所以|a＋b|＝eq\r(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝eq\r(42＋32＋2×〔－6〕)＝eq\r(13).(2)因为a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，所以向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a·〔a＋b〕,|a＋b|)))＝eq\f(10,\r(13))＝eq\f(10\r(13),13).【备选例题】a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？【解析】(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(a·b,|b|2)))eq\s\up12(2)＋|a|2－eq\f(〔a·b〕2,|b|2).因为b是非零向量，所以|b|≠0，所以当t＝－eq\f(a·b,|b|2)时，|u|＝|a＋tb|的值最小．(2)垂直．因为b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a·b,|b|2)·|b|2))＝a·b－a·b＝0，所以b⊥(a＋tb)，即b⊥u.【知识拓展】关于向量模的最值问题解答此类问题通常分以下两步(1)依据数量积及其运算性质，建立所求量关于某个变量的函数；(2)利用有关函数的图象和性质求最值．1．求向量的模的依据和根本策略(1)依据：a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(2)根本策略：求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．2．拓展公式(1)(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq\r(10)，求|b|.【解析】因为|2a＋b|＝eq\r(10)，所以(2a＋b)2＝10所以4a2＋4a·b＋b2又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×eq\f(\r(2),2)＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2eq\r(2)|b|－6＝0，解得|b|＝eq\r(2)或|b|＝－3eq\r(2)(舍去).【加固训练】向量a，b满足|b|＝5，|2a＋b|＝5eq\r(3)，|a－b|＝5eq\r(2)，那么|a|＝________．【解析】由有将b2＝|b|2＝25代入方程组，解得|a|＝eq\f(5\r(6),3).答案：eq\f(5\r(6),3)综合类型向量的夹角与垂直问题(逻辑推理)向量的夹角问题①e1与e2是两个互相垂直的单位向量，假设向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，那么k的取值范围为________．②e1与e2是两个互相垂直的单位向量，假设向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，那么k的取值范围为________.【解析】①因为e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，所以(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，所以k＞0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.答案：(0，1)∪(1，＋∞)②因为e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，所以(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，所以k＜0.当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，0)点拨：题①两个向量的夹角为锐角时，这两个向量的数量积大于0且这两个向量不共线；题②两个向量的夹角为钝角时，这两个向量的数量积小于0且这两个向量不共线．求向量夹角的根本步骤【加固训练】|a|＝1，a·b＝eq\f(1,4)，(a＋b)·(a－b)＝eq\f(1,2).(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．【解析】(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝eq\f(1,2).因为|a|＝1，所以1－|b|2＝eq\f(1,2)，所以|b|＝eq\f(\r(2),2).(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝1，所以|a＋b|＝eq\r(2)，|a－b|＝1.令a＋b与a－b的夹角为θ，那么cosθ＝eq\f(〔a＋b〕·〔a－b〕,|a＋b||a－b|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),4)，即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是eq\f(\r(2),4).向量的垂直问题【典例】向量a，b的夹角为eq\f(2,3)π，|a|＝1，|b|＝2.(1)求a·b的值；(2)假设2a－b和ta＋b垂直，求实数t【解析】(1)a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))coseq\f(2π,3)＝1×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1；(2)因为2a－b和ta＋b所以(2a－b)·(ta＋b)＝0即2ta2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－t))a·b－b2＝0，所以2t－(2－t)－4＝0，所以t＝2.向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是a⊥ba·b＝0，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．【加固训练】向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|求证：(a＋b)⊥(a－b).【证明】因为|2a＋b|＝|a＋2b|所以(2a＋b)2＝(a＋2b)2即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，所以a2＝所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，所以(a＋b)⊥(a－b).创新思维利用向量运算判断平面内点、线的位置关系(逻辑推理)【典例】点P是△ABC所在平面内一点，有以下四个等式：甲：eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0；乙：eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))；丙：|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|；丁：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)).如果只有一个等式不成立，那么该等式为()A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】选B.对于甲：eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，设M是BC的中点，那么eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝－2eq\o(PM,\s\up6(→))，故P点是AM的靠近M的三等分点，即该三角形的重心；对于乙：eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，移项整理得eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，故AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形；对于丙：|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|，那么P为△ABC的外心；对于丁：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)).那么eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，所以PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，如果只有一个等式不成立，那么该等式为乙．【思维难点】依据向量运算判断平面内点、线的位置关系，关键是由条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．【加固训练】O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，假设(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，那么△ABC是()A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形【解析】选B.设BC的中点为M，那么化简(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，得到eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o