苏科版2024-2025学年九年级数学上册1.1一元二次方程(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)（含答案解析）

专题1.1一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】一元二次方程的定义（1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程.（2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2.【知识点二】一元二次方程的一般形式一般形式项及项的系数二次项为二次项系数为一次项为一次项系数为常数项为特点方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0.【知识点三】一元二次方程的解（根）概念使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法）若一元二次方程有解，则这个解一定有两个第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】一元二次方程的概念易忽视【例1】（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是．【题型2】一元二次方程的一般形式【例2】（22-23九年级·江苏·假期作业）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）；（2）．【变式1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）为．【题型3】一元二次方程的解（根）的估算【例3】（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考：下面是小华求一元二次方程的近似解的过程．如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．

他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程．探索方程的解：第一步：x012179因此：____________．第二步：x1.51.61.71.80.750.36因此：____________.（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围；（2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数）【变式1】（23-24九年级上·福建宁德·阶段练习）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（

）01A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断．1.21.31.41.50.360.75【题型4】一元二次方程的解（根）中的整体思想求值（解）【例4】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值．【变式1】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（

）A．2022 B． C．2023 D．【变式2】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程的一个根，则代数式的值是．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为．【例2】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则．2、拓展延伸【例1】（2024·广东·三模）（1）解不等式组：；（2）若（1）中不等式组的整数解是关于x的一元二次方程的一个解，求m的值．【例2】已知方程．（1）当为何值时，它是一元二次方程？（2）当为何值时，它是一元一次方程？专题1.1一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】一元二次方程的定义（1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程.（2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2.【知识点二】一元二次方程的一般形式一般形式项及项的系数二次项为二次项系数为一次项为一次项系数为常数项为特点方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0.【知识点三】一元二次方程的解（根）概念使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法）若一元二次方程有解，则这个解一定有两个第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】一元二次方程的概念易忽视【例1】（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？【答案】(1)(2)【分析】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．（1）根据一元一次方程的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义解答即可．（1）解：∵是一元一次方程，∴，解得．即时，此方程是一元一次方程；（2）∵是一元二次方程，∴，解得．即时，此方程是一元二次方程．【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数；解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、，不是整式方程，故本选项不符合题意；C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．【变式2】（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是．【答案】【分析】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的解；由于的一元二次方程有一个根为0，直接把代入方程中，二次项系数不为0，即可求出的值．解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，将代入原方程中得当时，故答案为：．【题型2】一元二次方程的一般形式【例2】（22-23九年级·江苏·假期作业）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）；（2）．【答案】(1)二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2；(2)二次项系数为，一次项系数为1，常数项为【分析】（1）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可；（2）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可．（1）解：∵化为一般形式为，∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2；（2）∵化为一般形式为，∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为．【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【变式1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案．解：，则，∴，由题意得：，，解得：，，故选：．【变式2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）为．【答案】【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项．首先去括号，然后移项，把等号右边化为0，再合并同类项即可．解：，故答案为：．【题型3】一元二次方程的解（根）的估算【例3】（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考：下面是小华求一元二次方程的近似解的过程．如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．

他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程．探索方程的解：第一步：x012179因此：____________．第二步：x1.51.61.71.80.750.36因此：____________.（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围；（2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数）【答案】（1），，，，（2）【分析】（1）第一步:代入及,可求出的的值,进而可得出;第二步:根据及时,的值，进而可得出；（2）由的结论,可得出的值约为.解：（1）第一步:当时,，当时,,∴；第二步:当时,，当时,，∴.故答案为：，，，；（2）通过以上探索,的值约为.【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键.【变式1】（23-24九年级上·福建宁德·阶段练习）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（

）01A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2【答案】D【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，方程的正数解满足解的整数部分是1，十分位是2，即可求解．解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，∴方程的正数解满足解的整数部分是1，十分位是2．故选：D．【点拨】本体主要考查了一元二次方程的解，根据表格得到方程的解位于与之间是解题的关键．【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断．1.21.31.41.50.360.75【答案】1.31.4【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间．解：根据表格可知，时，对应的的值在之间，即：．故答案为：1.3，1.4．【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．【题型4】一元二次方程的解（根）中的整体思想求值（解）【例4】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值．【答案】2【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可．解：由题意，将代入方程，得，∴，，∴，∴的值为2．【变式1】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（

）A．2022 B． C．2023 D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解,先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值．解：∵a是方程的一个根，∴，∴，∴，∴．故选：A．【变式2】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程的一个根，则代数式的值是．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解等知识点，先根据方程解的定义，化简关于m的方程，然后整体代入求值，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键．∵m为方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解．解：∵m是方程的一个根，∴，故答案为：．【例2】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则．【答案】6【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可．解：∵m是方程的根，∴，即，∴；【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键．2、拓展延伸【例1】（2024·广东·三模）（1）解不等式组：；（2）若（1）中不等式组的整数解是关于x的一元二次方程的一个解，求m的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定其整数解即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．（2）根据方程的解的定义，代入解答即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，方程的解，解方程，熟练进行不等式组，解方程求解是解题的关键．解：（1）令，解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式