弹性力学数值方法：解析法：二维弹性问题的解析解法

弹性力学数值方法：解析法：二维弹性问题的解析解法1弹性力学数值方法：解析法：二维弹性问题的解析解法1.1绪论1.1.1弹性力学的基本概念弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布。在二维弹性问题中，我们通常关注的是平面应力和平面应变问题。平面应力问题适用于薄板，其中厚度方向的应力可以忽略；而平面应变问题适用于长柱体，其中长度方向的应变可以忽略。这两个问题都可以通过求解弹性力学的基本方程——平衡方程、几何方程和物理方程来获得解析解。平衡方程平衡方程描述了弹性体内部的力平衡条件，对于二维问题，可以表示为：∂∂其中，σx和σy是正应力，τxy是剪应力，fx几何方程几何方程描述了应变与位移之间的关系，对于二维问题，可以表示为：ϵϵγ其中，u和v是位移分量，ϵx和ϵy是正应变，γ物理方程物理方程，也称为本构方程，描述了应力与应变之间的关系，对于线性弹性材料，可以表示为：σστ其中，E是弹性模量，G是剪切模量。1.1.2数值方法与解析法的对比在解决弹性力学问题时，解析法和数值方法是两种常用的方法。解析法通常基于数学理论，通过求解微分方程来获得精确解，适用于简单几何和边界条件的问题。而数值方法，如有限元法或边界元法，通过将问题离散化，将连续体分解为有限数量的单元，然后在每个单元上求解，适用于复杂几何和边界条件的问题。解析法的优点精确性：解析解是问题的精确解，没有近似误差。理论基础：解析解有助于理解问题的物理本质和数学结构。解析法的局限性适用范围：解析法仅适用于具有简单几何和边界条件的问题。求解难度：对于复杂问题，解析解可能不存在或难以求得。数值方法的优点适用性广：数值方法可以处理复杂几何和边界条件的问题。灵活性：通过调整网格和单元类型，可以适应不同精度的需求。数值方法的局限性近似性：数值解是近似解，存在一定的误差。计算成本：对于大规模问题，数值方法可能需要大量的计算资源和时间。1.2示例：平面应力问题的解析解假设我们有一个无限长的薄板，宽度为b，厚度为t，受到均匀分布的横向力p的作用。我们可以使用解析法来求解这个平面应力问题。1.2.1平衡方程对于这个特定问题，平衡方程简化为：∂∂其中，u和v分别是x和y方向的位移。1.2.2几何方程几何方程简化为：ϵϵγ1.2.3物理方程物理方程简化为：σστ1.2.4解析解对于无限长薄板的平面应力问题，解析解可以通过分离变量法求得。假设位移可以表示为：uv将位移代入平衡方程，可以得到两个独立的常微分方程，然后求解这些方程，得到位移的解析表达式。最后，通过几何方程和物理方程，可以求得应力和应变的解析解。1.2.5Python代码示例下面是一个使用Python和SymPy求解平面应力问题的简单示例。我们将求解一个无限长薄板在均匀横向力作用下的位移。importsympyassp

#定义符号变量

x,y=sp.symbols('xy')

E,G,p=sp.symbols('EGp')

#定义位移函数

u=sp.Function('u')(x,y)

v=sp.Function('v')(x,y)

#平衡方程

eq1=sp.diff(u,x,2)+sp.diff(u,y,2)

eq2=sp.diff(v,x,2)+sp.diff(v,y,2)

#边界条件

bc1=u.subs(x,0)-0

bc2=u.subs(x,b)-0

bc3=v.subs(y,0)-0

bc4=v.subs(y,t)-p/E*y

#求解微分方程

solution_u=sp.dsolve(eq1,u)

solution_v=sp.dsolve(eq2,v)

#应用边界条件

solution_u=sp.solve([solution_u.rhs.subs(x,0)-0,solution_u.rhs.subs(x,b)-0],solution_u.free_symbols)

solution_v=sp.solve([solution_v.rhs.subs(y,0)-0,solution_v.rhs.subs(y,t)-p/E*y],solution_v.free_symbols)

#输出解析解

print("位移u的解析解为：")

print(solution_u)

print("位移v的解析解为：")

print(solution_v)请注意，上述代码示例中的边界条件和微分方程的求解过程需要根据具体问题进行调整。在实际应用中，可能需要更复杂的边界条件和微分方程，这可能要求使用数值方法来求解。1.3结论在弹性力学中，解析法和数值方法各有优势和局限性。对于简单问题，解析法可以提供精确解，有助于理论理解和教学。而对于复杂问题，数值方法是更实用的选择，尽管它提供的是近似解。选择合适的方法取决于问题的复杂性和所需的精度。2弹性力学基础2.1应力和应变的定义在弹性力学中，应力（Stress）和应变（Strain）是描述材料在受力作用下行为的两个基本概念。2.1.1应力应力定义为单位面积上的内力，通常用符号σ表示。在二维问题中，我们主要关注正应力和剪应力。正应力是垂直于材料表面的应力，而剪应力则是平行于材料表面的应力。正应力和剪应力可以进一步细分为：正应力（NormalStress）：σ_x,σ_y剪应力（ShearStress）：τ_xy2.1.2应变应变是材料在应力作用下发生的形变程度，通常用符号ε表示。在二维问题中，应变同样分为正应变和剪应变。正应变描述的是材料在某一方向上的伸长或缩短，而剪应变描述的是材料在某一平面内的剪切形变。正应变和剪应变可以分为：正应变（NormalStrain）：ε_x,ε_y剪应变（ShearStrain）：γ_xy2.2胡克定律与材料属性2.2.1胡克定律胡克定律（Hooke’sLaw）是弹性力学中的一个基本定律，它描述了在弹性范围内，应力与应变之间的线性关系。对于各向同性材料，胡克定律可以表示为：σ其中，E是弹性模量（Young’sModulus），ν是泊松比（Poisson’sRatio），G是剪切模量（ShearModulus）。这些参数是材料的固有属性，反映了材料抵抗形变的能力。2.2.2材料属性弹性模量（E）：衡量材料在正应力作用下抵抗正应变的能力。泊松比（ν）：当材料在某一方向上受到拉伸时，其在垂直方向上的收缩与拉伸方向上的伸长的比值。剪切模量（G）：衡量材料在剪应力作用下抵抗剪应变的能力。2.2.3示例：计算应力和应变假设我们有一块材料，其弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3，剪切模量G=80GPa。当材料受到ε_x=0.001，ε_y=0.002，γ_xy=0.003的应变时，我们可以使用胡克定律计算出相应的应力。#定义材料属性

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

nu=0.3#泊松比

G=80e9#剪切模量，单位：Pa

#定义应变

epsilon_x=0.001

epsilon_y=0.002

gamma_xy=0.003

#计算应力

sigma_x=E*epsilon_x+nu*E*epsilon_y

sigma_y=E*epsilon_y+nu*E*epsilon_x

tau_xy=G*gamma_xy

#输出结果

print(f"σ_x={sigma_x}Pa")

print(f"σ_y={sigma_y}Pa")

print(f"τ_xy={tau_xy}Pa")运行上述代码，我们可以得到材料在给定应变下的应力值，这有助于我们理解材料在不同载荷条件下的响应。通过以上内容，我们了解了弹性力学中应力和应变的基本定义，以及胡克定律如何帮助我们计算材料的应力和应变。这些知识是进一步研究弹性力学数值方法的基础。3维弹性问题的数学描述3.1平面应力和平面应变问题在弹性力学中，二维问题通常简化为平面应力或平面应变问题，这取决于结构的几何形状和载荷条件。3.1.1平面应力问题平面应力问题适用于薄板，其中厚度方向的应力可以忽略。在这样的情况下，应力分量σz、τxz和τyz为零，而应力分量σx、σy∂3.1.2平面应变问题平面应变问题适用于长而厚的结构，其中长度和宽度方向的应变可以忽略，而应变分量ϵz、γxz和γyz为零。应变分量ϵx、ϵy3.2偏微分方程的建立3.2.1平衡方程平衡方程描述了在弹性体内部，应力和外力之间的关系。对于二维问题，平衡方程可以写为：∂其中fx和fy是作用在x和3.2.2几何方程几何方程将应变与位移联系起来。在平面应力和平面应变问题中，几何方程可以简化为：ϵ其中u和v分别是x和y方向的位移。3.2.3物理方程物理方程，也称为本构方程，描述了应力与应变之间的关系。对于线性弹性材料，物理方程遵循胡克定律，可以写为：σ其中E是弹性模量，ν是泊松比，G是剪切模量。3.2.4解析解法示例考虑一个无限大平面中的圆形孔，受到均匀的远场应力σ0假设平面应力问题各向同性材料线性弹性解析解使用极坐标r,σ其中a是圆孔的半径。Python代码示例importnumpyasnp

defstress_solution(r,theta,sigma_0,a):

"""

计算无限大平面中圆形孔的应力分量。

参数:

r:float

当前点的径向距离。

theta:float

当前点的极角。

sigma_0:float

远场应力。

a:float

圆孔的半径。

返回:

sigma_r:float

径向应力。

sigma_theta:float

切向应力。

tau_rtheta:float

径向切向剪应力。

"""

sigma_r=sigma_0*(1-(a**2/r**2))

sigma_theta=sigma_0*(1+(a**2/r**2))

tau_rtheta=0

returnsigma_r,sigma_theta,tau_rtheta

#示例数据

r=1.5

theta=np.pi/4

sigma_0=100

a=1

#计算应力

sigma_r,sigma_theta,tau_rtheta=stress_solution(r,theta,sigma_0,a)

print(f"径向应力:{sigma_r}")

print(f"切向应力:{sigma_theta}")

print(f"径向切向剪应力:{tau_rtheta}")此代码示例展示了如何根据解析解计算无限大平面中圆形孔的应力分量。通过改变r、θ、σ0和a3.2.5结论通过上述数学描述和示例，我们可以看到解析解法在解决特定类型的二维弹性问题时的有效性。然而，对于更复杂的问题，可能需要数值方法，如有限元法或边界元法，来获得解决方案。4解析解法的理论基础4.1分离变量法4.1.1原理分离变量法是求解偏微分方程的一种经典方法，尤其适用于线性、齐次的偏微分方程。在弹性力学中，当我们面对二维弹性问题时，分离变量法提供了一种将复杂问题简化为一系列常微分方程的途径。该方法的核心思想是假设方程的解可以表示为各个独立变量函数的乘积形式，即如果方程是关于变量x和y的，我们假设解可以写成ux4.1.2内容考虑一个典型的二维弹性问题，如平面应力或平面应变问题，其基本方程可以是拉普拉斯方程或泊松方程。以泊松方程为例，其形式为：∇其中，∇2是拉普拉斯算子，fx,y是已知的源项，X由于左边是x和y的函数，而右边仅是x和y的函数，这意味着左边的每一项必须是常数，从而我们可以将方程分解为两个独立的常微分方程：XY其中，λ是一个分离常数。通过求解这两个常微分方程，我们可以找到原方程的解。4.1.3示例假设我们有一个矩形区域，边界条件为ux,0∇假设解为uxXY对于Xx，边界条件ux,X这通常导致XxX对于Yy，边界条件u0,Y这同样导致YyY因此，原方程的解可以表示为一系列正弦函数的乘积：u其中，An4.2傅里叶级数和傅里叶变换4.2.1原理傅里叶级数和傅里叶变换是解析解法中处理周期性和非周期性函数的强大工具。傅里叶级数可以将周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，而傅里叶变换则可以将非周期函数表示为频率域上的连续函数。在弹性力学中，这些工具特别适用于处理具有周期性边界条件或非均匀载荷分布的问题。4.2.2内容傅里叶级数适用于周期函数，其一般形式为：f其中，T是周期，an和bn是傅里叶系数，可以通过函数ab傅里叶变换则适用于非周期函数，其形式为：f其中，Fω是fx的傅里叶变换，i是虚数单位，Ff4.2.3示例假设我们有一个无限长的梁，其上作用有非均匀载荷fx=e−x2。我们尝试使用傅里叶变换来求解梁的位移importnumpyasnp

fromegrateimportquad

importmatplotlib.pyplotasplt

deff(x):

returnnp.exp(-x**2)

defF(w):

returnquad(lambdax:f(x)*np.exp(-1j*w*x),-np.inf,np.inf)[0]

w=np.linspace(-10,10,400)

F_w=[F(wi)forwiinw]

plt.plot(w,np.abs(F_w))

plt.title('傅里叶变换的幅度')

plt.xlabel('角频率$\omega$')

plt.ylabel('幅度$|F(\omega)|$')

plt.show()通过计算得到Fω，我们可以进一步求解位移ux。在弹性力学中，ux与Fω之间的关系通常由材料的弹性性质和载荷分布决定。一旦我们有了以上示例展示了如何使用Python的scipy库来计算非均匀载荷fx=e−x5弹性力学数值方法：解析法：典型问题的解析解5.1圆形孔洞的应力分析5.1.1原理在弹性力学中，圆形孔洞的应力分析是一个经典问题，尤其在材料科学和工程领域中，对于理解材料在孔洞周围的应力集中现象至关重要。当一个均匀受拉的无限大平面中存在一个圆形孔洞时，孔洞周围的应力分布将不再均匀，而是在孔洞边缘处出现应力集中。解析解法通过使用复变函数理论和弹性力学的基本方程，能够精确地描述这种应力分布。5.1.2内容考虑一个无限大平面，其上存在一个半径为a的圆形孔洞，平面在远场受到均匀的拉应力σ0。在极坐标系rσστ其中，σr和σθ分别是径向和环向的正应力，τr5.1.3示例假设一个无限大平面材料的弹性模量E=200GPa，泊松比νσστ在θ=0时，σr=200MPa，σθ=05.2半无限体上的集中力5.2.1原理半无限体上的集中力问题，是弹性力学中另一个重要的解析解。当一个半无限体（如地面）表面受到一个点集中力作用时，该力将引起体内的应力和位移分布。解析解法通过使用弹性力学的位移势函数和格林函数，能够求解出这种分布。5.2.2内容对于一个半无限体，其表面在点x0,y0处受到一个集中力F，在极坐标系r,θ下，其中uu其中，ux和uy分别是x和y方向上的位移分量，E是弹性模量，5.2.3示例假设一个半无限体材料的弹性模量E=100GPa，泊松比ν=0.25uu通过计算，可以得到在点1m,1m处的位移分量6边界条件与解析解的适用性6.1边界条件的种类在弹性力学中，边界条件是定义结构边界上力和位移的条件，对于二维弹性问题，边界条件主要分为三类：位移边界条件（DisplacementBoundaryConditions）：在边界上直接指定位移的大小和方向。例如，固定边界上的位移为零。应力边界条件（StressBoundaryConditions）：在边界上直接指定应力的大小和方向。例如，边界上受到特定大小的外力或压力。混合边界条件（MixedBoundaryConditions）：边界上同时存在位移和应力的指定条件。这种情况下，边界的一部分可能被固定，而另一部分则承受外力。6.1.1示例：位移边界条件考虑一个矩形平板，其长为L，宽为H，在x=0和6.1.2示例：应力边界条件假设在y=0的边界上，平板受到均匀的压力p，而在6.2解析解的局限性与适用范围解析解法在弹性力学中提供了一种精确求解问题的方法，但其适用性受到一定限制：几何形状简单：解析解通常适用于具有简单几何形状的结构，如圆柱、矩形等。边界条件规则：边界条件需要是规则的，如均匀分布的应力或位移。材料性质均匀：材料的弹性模量和泊松比在整个结构中保持不变。线性问题：解析解法主要适用于线性弹性问题，对于非线性问题，如大变形或塑性问题，解析解可能无法获得。6.2.1示例：解析解的适用性考虑一个无限长的矩形平板，其宽度为b，厚度为t，在y=0和y=b边界上，分别施加了均匀的拉应力6.2.2示例：解析解的局限性如果上述平板的边界条件变得复杂，例如，应力在边界上非均匀分布，或者材料的弹性模量随位置变化，解析解法可能不再适用，此时需要采用数值方法，如有限元法或边界元法来求解。以上内容详细介绍了边界条件的种类以及解析解法在二维弹性问题中的适用性和局限性。通过具体的边界条件示例，我们展示了位移和应力边界条件如何在实际问题中应用。同时，通过解析解的适用性与局限性示例，我们强调了在何种情况下解析解法是有效的，以及在面对复杂问题时，解析解法的局限性，从而引导读者理解何时应转向数值方法求解。7解析解法的实例应用7.1梁的弯曲问题解析解7.1.1原理在弹性力学中，梁的弯曲问题通常可以通过解析解法求解，特别是当梁的几何形状、材料属性和载荷分布相对简单时。梁的弯曲问题主要涉及梁在横向载荷作用下的变形分析，其解析解通常基于欧拉-伯努利梁理论或蒂莫申科梁理论。这里，我们将使用欧拉-伯努利梁理论，该理论假设梁的截面在弯曲后保持平面，且垂直于梁的轴线。7.1.2内容欧拉-伯努利梁方程欧拉-伯努利梁方程描述了梁的挠度wx与载荷qx、梁的截面刚度EI（弹性模量EE解析解步骤确定边界条件：梁的边界条件可以是固定端、自由端、铰接端或滑动端，这些条件将决定方程的解。求解微分方程：根据载荷分布qx应用边界条件：将边界条件代入解中，求解未知常数。计算挠度和应力：利用求得的挠度函数，计算梁的挠度和应力分布。示例：简支梁的弯曲假设我们有一根简支梁，长度为L，在中点受到集中载荷P的作用。梁的截面为矩形，宽度为b，高度为h，材料的弹性模量为E。确定边界条件：简支梁的边界条件为w0=0，wL=求解微分方程：对于集中载荷P作用于中点的简支梁，微分方程简化为：EE解得：w其中A,应用边界条件：利用边界条件w0=0，wL=0，计算挠度和应力：利用求得的wx7.1.3数据样例假设梁的长度L=4m，宽度b=0.2m，高度7.1.4代码示例importsympyassp

#定义变量

x=sp.symbols('x')

L=4#梁的长度

b=0.2#梁的宽度

h=0.1#梁的高度

E=200e9#弹性模量

P=10e3#集中载荷

I=b*h**3/12#截面惯性矩

#定义挠度函数

w1=sp.Function('w1')(x)

w2=sp.Function('w2')(x)

#求解微分方程

A,B,C,D,E,F=sp.symbols('ABCDEF')

w1=A*x**2+B*x+C

w2=D*x**2+E*x+F

#应用边界条件

bc1=w1.subs(x,0)-0

bc2=w1.diff(x).subs(x,0)-0

bc3=w2.subs(x,L)-0

bc4=w2.diff(x).subs(x,L)-0

bc5=w1.subs(x,L/2)-w2.subs(x,L/2)

bc6=w1.diff(x).subs(x,L/2)-w2.diff(x).subs(x,L/2)

#解方程组

solution=sp.solve((bc1,bc2,bc3,bc4,bc5,bc6),(A,B,C,D,E,F))

#替换常数

w1=w1.subs(solution)

w2=w2.subs(solution)

#计算挠度

w=sp.Piecewise((w1,x<L/2),(w2,x>=L/2))

#打印结果

print("梁的挠度函数为：")

sp.pprint(w)7.2板的扭转问题解析解7.2.1原理板的扭转问题涉及板在扭矩作用下的变形分析。对于薄板，扭转问题可以通过圣维南原理和薄板理论求解。薄板理论假设板的厚度远小于其平面尺寸，且板的中面在扭转后保持平面。7.2.2内容扭转方程对于矩形薄板，扭转方程可以简化为：∂其中ϕx解析解步骤确定边界条件：板的边界条件通常包括扭矩的分布和板的边缘约束。求解偏微分方程：根据边界条件，求解上述偏微分方程。计算扭转角和应力：利用求得的扭转角函数，计算板的扭转角和应力分布。示例：矩形板的扭转假设我们有一块矩形板，尺寸为a×b，在四个角点受到扭矩T的作用。板的厚度为t，材料的剪切模量为确定边界条件：矩形板的边界条件为四个角点的扭矩分布。求解偏微分方程：对于矩形板，扭转方程可以通过分离变量法求解。计算扭转角和应力：利用求得的扭转角函数，可以计算板的扭转角和应力分布。7.2.3数据样例假设板的尺寸a=2m，b=1m，厚度7.2.4代码示例importsympyassp

#定义变量

x,y=sp.symbols('xy')

a=2#板的长度

b=1#板的宽度

t=0.01#板的厚度

G=80e9#剪切模量

T=5e3#角点扭矩

#定义扭转角函数

phi=sp.Function('phi')(x,y)

#求解偏微分方程

phi=sp.sin(sp.pi*x/a)*sp.sin(sp.pi*y/b)

#打印结果

print("板的扭转角函数为：")

sp.pprint(phi)请注意，上述代码示例中的扭转角函数ϕx8解析解法的扩展8.1复合材料的解析解法8.1.1引言复合材料因其独特的性能和广泛的应用，在工程领域中占据着重要地位。在二维弹性问题中，解析解法可以用于理解复合材料内部的应力和应变分布，尤其是在简单几何形状和边界条件下的问题。复合材料的解析解法通常涉及材料的各向异性，以及不同材料层之间的相互作用。8.1.2材料的各向异性复合材料的各向异性意味着其弹性性质在不同方向上不同。在二维问题中，这通常表现为材料的弹性模量和泊松比在x和y方向上不同。解析解法需要考虑这些各向异性参数，以准确描述材料的行为。8.1.3层合板理论层合板理论是解决复合材料二维弹性问题的一种常用方法。它假设层合板可以视为一系列平行的薄层，每一层具有不同的弹性性质。通过叠加每一层的解析解，可以得到整个层合板的解。8.1.4示例：层合板的弯曲分析考虑一个由两层不同材料组成的层合板，上层材料为A，下层材料为B，每层厚度相同。假设层合板受到均匀的弯曲力矩作用，可以使用层合板理论来解析求解其弯曲变形。材料参数材料A：弹性模量EA=200材料B：弹性模量EB=100层合板总厚度h弯曲力矩假设层合板受到的弯曲力矩为M解析解层合板的弯曲变形可以通过以下公式计算：κ其中，κ是曲率，D是层合板的弯曲刚度，定义为：D这里，Ez和νz计算过程由于层合板由两层材料组成，D可以分为两部分计算：D其中，DDPython代码示例importnumpyasnp

fromegrateimportquad

#材料参数

E_A=200e9#弹性模量，单位：Pa

nu_A=0.3#泊松比

E_B=100e9#弹性模量，单位：Pa

nu_B=0.25#泊松比

h=2e-3#层合板总厚度，单位：m

M=100#弯曲力矩，单位：Nm

#弯曲刚度计算

defD_A(z):

return(1/3)*E_A*(1-nu_A**2)*(h/2-np.abs(z))**3

defD_B(z):

return(1/3)*E_B*(1-nu_B**2)*(h/2-np.abs(z))**3

D_A=quad(D_A,-h/4,h/4)[0]

D_B=quad(D_B,-h/2,-h/4)[0]+quad(D_B,h/4,h/2)[0]

D=D_A+D_B

#曲率计算

kappa=M/D

print(f"层合板的弯曲刚度D={D:.2e}Nm^2")

print(f"层合板的曲率kappa={kappa:.2e}1/m")8.1.5结果解释上述代码计算了层合板的弯曲刚度和曲率，展示了如何使用解析解法处理复合材料的二维弹性问题。通过调整材料参数和层的厚度，可以进一步研究不同复合材料的弹性行为。8.2非线性问题的近似解析解8.2.1引言在弹性力学中，非线性问题通常涉及材料的非线性应力-应变关系或几何非线性。解析解法在处理非线性问题时面临挑战，但通过近似方法，如小应变假设或使用级数展开，可以在一定条件下获得解析解。8.2.2小应变假设小应变假设是处理非线性问题的一种简化方法，它假设应变远小于1，从而可以将非线性方程线性化。这种方法适用于应变水平较低的情况，如微小变形的结构分析。8.2.3级数展开级数展开是一种将非线性函数近似为多项式的方法，通过保留级数的前几项来简化计算。在弹性力学中，这可以用于近似非线性应力-应变关系，从而获得解析解。8.2.4示例：非线性弹簧的解析解考虑一个非线性弹簧，其力-位移关系由以下方程描述：F其中，k1和k2是弹簧的线性和非线性刚度系数，x解析解假设弹簧受到外力F的作用，可以使用级数展开来近似求解位移x。在小位移假设下，可以忽略x3项，从而简化为线性问题。但在较大位移情况下，需要保留xPython代码示例importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportfsolve

#弹簧参数

k1=100#线性刚度系数，单位：N/m

k2=10#非线性刚度系数，单位：N/m^3

F=500#外力，单位：N

#非线性方程

defnonlinear_equation(x):

returnk1*x+k2*x**3-F

#求解非线性方程

x_solution=fsolve(nonlinear_equation,1)

print(f"非线性弹簧的位移x={x_solution[0]:.2f}m")8.2.5结果解释上述代码使用了级数展开和数值方法的结合，求