2023–2024学年七年级数学下册单元速记与巧练（人教版）第九章 不等式与不等式组综合测试（解析版）

第九章不等式与不等式组（单元重点综合测试）班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列式子中，是不等式的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义即可解答．【详解】A选项：是不等式，本选项符合题意；B选项：是多项式，本选项不符合题意；C选项：是等式，本选项不符合题意；D选项：是单项式，本选项不符合题意．故选：A2．下列说法中，错误的是（

）A．不等式x＜5的整数解有无数个 B．不等式x＜5的正整数解有有限个C．不等式－2x＜8的解集是x＞－4 D．－40是不等式－2x＜8的一个解【答案】D【解析】略3．已知，下列式子一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判定即可．【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意；B、∵，∴，故此选项不符合题意；C、∵，∴，∴，故此选项符合题意；D、∵，∴当时，，当时，，当时，，故此选项不符合题意；故选：C．4．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，其中只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的不等式叫做一元一次不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：．【详解】解：①未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意；②含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；③是一元一次不等式，符合题意；④不是不等式，不符合题意；⑤是一元一次不等式，符合题意；∴一元一次不等式一共有2个，故选：A．5．已知点P坐标为且在第二象限，则a的值可能是（）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征可得，然后进行计算即可解答．【详解】解：点坐标为且在第二象限，，解得：，的值可能是，故选：B6．关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（

）．A．3 B． C．0 D．2【答案】A【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，求出不等式的解集即可．【详解】解：解不等式得：，由数轴可得不等式的解集为：，则．故选：A7．把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意找出不等关系，列不等式是解题的关键．由如果每人分3瓶，那么余8瓶，可知共有瓶牛奶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，可得．【详解】解：∵如果每人分3瓶，那么余8瓶，∴共有瓶牛奶，∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，∴故选：A．8．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若运算进行了次停止，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解答本题的关键．根据第二次运算结果不大于且第三次运算结果大于，列出关于的一元一次不等式组，解出不等式组，得到答案．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：．9．关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键．不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．【详解】解：，由②得：，解集为，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，∴，∴；故选：A．10．定义运算：对于实数，．例如，，．若，对于某个确定的，有且只有一个使等式成立，则的取值范围是（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】本题考查新定义运算，分情况讨论，列出不等式组，根据不等式组的解的情况进行判断取值范围即可．【详解】由题意可知,分三种情况：①若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立,;②若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立,；③若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立,，综上可知，的取值范围是或；故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．用不等式表示“x与1的和是负数”．【答案】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是掌握用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小)于)、不超过（不低于)、是正数(负数)、至少、最多”等等，正确选择不等号．先表示出“与1的和”，然后确定不等号，列出不等式即可．【详解】解：由题意得：，故答案为：．12．若，则（填“”或“”）【答案】【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质先得到，则．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．13．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为．【答案】【分析】本题考查求不等式的解集，先根据不等式的解集，求出的值，再将的值代入后面的不等式，进行求解即可．【详解】解：∵x的不等式的解集为，∴，∴解，得：，∴，∴，∴化为：，∴．故答案为：．14．若是关于的一元一次不等式，则的值为．【答案】【分析】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数为1次列式求解即可得到答案．【详解】解：是关于的一元一次不等式，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义列出方程与不等式求解是解决问题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，则点在此坐标系中的第象限．【答案】四【分析】本题考查了点的坐标，不等式的性质．熟练掌握点的坐标，不等式的性质是解题的关键．由题意知，，则，然后判断作答即可．【详解】解：由题意知，，∴，∴，在第四象限，故答案为：四．16．关于x的不等式组无整数解，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了不等式组的解集问题，解题的关键是熟练掌握解不等式组的一般方法．先分别求出两个不等式的解集为，然后分两种情况进行讨论：当不等式有解时，当不等式无解时，分别求出结果即可．【详解】解：，由不等式①，得：，由不等式②，得：，当不等式有解时，，解得：；当不等式无解时，，解得：；综合可得，实数a的取值范围是．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）17．已知x，y满足3x－4y＝5．(1)用含x的代数式表示y，结果为；(2)若y满足－1＜y≤2，求x的取值范围．【答案】(1)y＝(2)【详解】（1）y＝（2）∵，∴－4＜3x－5≤8，∴1＜3x≤13，∴18．解不等式（组）：(1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．(2)求不等式组的整数解．【答案】(1)，数轴见解析；(2)整数解为，．【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，求一元一次不等式组的整数解，熟练运用口诀求出不等式组的解集是解题的关键．（1）运用解一元一次不等式的步骤计算，并把解集表示在数轴上即可解答；（2）把每个不等式的解集求出，再找两个不等式的解集的公共部分，并在不等式组的解集中寻找整数解，即可解答．【详解】（1）解：去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：．不等式的解集在数轴上表示为：．（2）解不等式①，，得解不等式②，，得，∴不等式组的解集为，∴不等式组的整数解为1，2．19．学校为了“弘扬传统文化，阅读经典名著”，计划给学校图书馆添置书籍，已知购买本论语和本诗经共需元，购买本论语和本诗经共需元．(1)求每本论语和每本诗经各多少元？(2)学校决定购买论语和诗经共本，总费用不超过元，那么该学校最多可以购买多少本论语？【答案】(1)购买每本论语需要元，购买每本诗经需要元．(2)该学校最多可以购买本论语．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设购买每本论语需要元，购买每本诗经需要元，根据“购买本论语和本诗经共需元，购买本论语和本诗经共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该学校购买本论语，则购买本诗经，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】（1）解：设购买每本论语需要元，购买每本诗经需要元，依题意，得：，解得：．答：购买每本论语需要元，购买每本诗经需要元．（2）设该学校购买本论语，则购买本诗经，依题意，得：，解得：．答：该学校最多可以购买本论语．20．已知关于、的方程组若的值为非负数，的值为正数．(1)求的取值范围；(2)在的取值范围内，当为何负整数时，不等式的解集为．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．（1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可；（2）不等式变为，根据不等式的解集为求出，即可求出m的范围是，再求出负整数m即可．【详解】解：（1）解方程组得：，的值为非负数，的值为正数，，解得：，即的取值范围是：；（2），，不等式的解为，，，，，为负整数，．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．．(1)比较与的大小，并说明理由．(2)若，求x的取值范围．(3)若不等式组的解集为，求m的取值范围．【答案】(1)，理由见解析(2)(3)【分析】（1）先根据关于的一种运算的法则计算，，由此可比较与的大小；（2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围；（3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，然后根据不等式组，的解集为，得，解此不等式即可求出的取值范围．【详解】（1）解：，理由如下：，，，；（2）解：，不等式可转化为：，；（3）解：，不等式可转化为：，，不等式组组的解集为，，．【点睛】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键．22．某校课后服务开设足球训练营，需要采购一批足球运动装备，市场调查发现每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等(1)求足球的单价．(2)该训练营需要购买30套队服和个足球，甲、乙两商家以同样的价格出售所需商品，各自优惠方案不同：商家优惠方案甲每购买10套队服，送1个足球乙购买队服超过20套，则购买足球打8折①按照以上方案到甲、乙商家购买装备各需费用多少？（用含有y的代数式分别表示）．②请比较到哪个商家购买比较合算？【答案】(1)足球的单价为90元；(2)①到甲商家购买装备所需费用：元，到乙商家购买装备所需费用：元；②当训练营需要购买30套队服和15个足球时，在甲乙两个商家所需费用一样多，当训练营需要购买30套队服和超过15个足球时，在乙商家购买较合算，当训练营需要购买30套队服和购买足球超过10个而不足15个时，在甲商家购买较合算．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式的应用，以及最优购物问题，找出题目中的等量关系是解题的关键．（1）设足球的单价为x元，则队服的单价为元，根据题意“三套队服与五个足球的费用相等”，可得到等量关系，列方程求解即可；（2）①购买装备所需费用=买队服的费用+买足球的费用，用含有y的代数式表示即可；②由①中的结论，先求出当甲商家的消费=乙商家的消费时，再分情况比较哪个商家购买较合算．【详解】（1）解：设足球的单价为x元，则队服的单价为元，根据题意得，，解得，答：足球的单价为90元；（2）①由（1）得足球的单价为90元，则队服的单价为元，到甲商家购买装备所需费用：，到乙商家购买装备所需费用：；②当甲商家的消费=乙商家的消费时，即，解得，∴当训练营需要购买30套队服和15个足球时，在甲乙两个商家所需费用一样多，当甲商家的消费＞乙商家的消费时，即，解得，∴当训练营需要购买30套队服和超过15个足球时，在乙商家购买较合算，当甲商家的消费＜乙商家的消费时，即，解得，又∵，∴当训练营需要购买30套队服和购买足球超过10个而不足15个时，在甲商家购买较合算．23．阅读材料，解答下列问题：在平面直角坐标系中，对于点A，点的坐标为，则称B为点A的“k级点”．如点A的“2级点”的坐标，即B．(1)已知点P的“5级点”为，则点的坐标为______．(2)已知点Q的“4级点”为，求点Q的坐标．(3)若点C的“2级点”位于第二象限，请直接写出c的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，理解新定义，并利用数形结合思想是解题的关键．（1）根据“5级点”的定义，即可解答；（2）设，根据点Q的“4级点”为，可列出方程组，解出即可；（3）根据“2级点”的定义，求出点，再根据在第二象限，列不等式组即可求解；【详解】（1）解：∵点的“5级点”为，∴，即；（2）设，∵点Q的“4级湘一点”为，∴，解得：，∴Q点的坐标为；（3）∵是点的“2级点”，∴，即，∵在第二象限，∴，解得：；五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．为了拓宽学生视野，某校计划组织名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动一旅游公司有A、B两种型号的客车可以租用，已知辆A型车和辆B型车可以载乘客人，辆A型车和辆B型车可以载乘客人．(1)求一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客；(2)学校计划共租A、B两种型号的客车辆，其中A型车数量的一半不少于B型车的数量，共有多少种租车方案；(3)若一辆A型车的租金为元，一辆B型车的租金为元．在（2）的条件最少租车费用是多少．【答案】(1)一辆A型车可以载名乘客，一辆B型车可以载名乘客；(2)种；(3)元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用；（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；设一辆A型车可以载名乘客，一辆B型车可以载名乘客，根据“辆A型车和辆B型车可以载乘客人，辆A型车和辆B型车可以载乘客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；设租用辆A型车，则租用辆B型车，根据租用的客车载客量不少于人且租用的A型车数量的一半不少于B型车的数量，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出共有种租车方案；（3）根据各数量之间的关系，列式计算；分析两种型号客车的租金，可得出租用A型车越多，租车费用越少，结合（2）中的取值范围，即可求出最少