北京市海淀区北京一零一中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 含解析

北京市海淀区北京一零一中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（本试卷满分120分，考试时间100分钟）命题：高二数学组审稿：贺丽珍一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知为等差数列，，则（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】由等差数列性质，，求出式子的值.【详解】因为是等差数列，所以.故选：C.2.函数y=x2㏑x的单调递减区间为A.（1,1] B.（0,1] C.[1，+∞） D.（0，+∞）【答案】B【解析】【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域3.由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（）A.24 B.12 C.10 D.6【答案】C【解析】【分析】分个位数是0和个位数是5两类求解.【详解】当个位数是0时，有个，当个位数是5时，有个，所以能被5整除的个数是10，故选：C4.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为（）A.14 B.24 C.28 D.48【答案】A【解析】【分析】利用间接法，用总数减去没有女生的情况即可.【详解】从6名学生中选派4人有种选法，从6名学生中选派4人，没有女生有种选法，故要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为种选法.故选：A.5.若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立.【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以，则的取值范围为.故选：B6.某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A.5 B.7 C.9 D.11【答案】C【解析】【分析】观察图象判定斜率大小即可.【详解】若果树前n年的总产量与n在图中对应点则前n年的年平均产量，即为直线OP的斜率，由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大.即前9年的年平均产量最高.故选：C.7.已知等比数列中，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合等比数列通项公式可求得的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果.【详解】设等比数列的公比为，由得：，又，，解得：，，充分性成立；由得：，又，，解得：或，当时，，，必要性不成立.“”是“”的充分不必要条件.故选：.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题.8.对于上可导的任意函数，若当时满足，则必有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，得到时，单调非递增函数，时，单调非递减函数求解.【详解】因为，所以当，即时，，则单调非递增函数，所以；当，即时，，单调非递减函数，所以；由不等式的性质得：.故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.9.关于函数，下列结论错误的是（）A.的解集是 B.是极小值，是极大值C.没有最小值，也没有最大值 D.有最大值，没有最小值【答案】C【解析】【分析】解不等式判断A；利用导数探讨函数的极值、最值判断BCD.【详解】函数的定义域为R，对于A，，解得，即的解集是，A正确；对于BCD，，当或时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，因此是极小值，是极大值，B正确；显然当时，恒成立，当时，，，而当时，函数的值域为，而，因此有最大值，没有最小值，C错误，D正确.故选：C10.数列的前项和为，若数列与函数满足：（1）的定义域为；（2）数列与函数均单调递增；（3）使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列四个结论：①与具有“单调偶遇关系”；②与具有“单调偶遇关系”；③与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；④与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.其中所有正确结论的序号为（）A①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②④【答案】D【解析】【分析】根据“单调偶遇关系”的新定义可判断选项①，②；以一次函数为例，可判断③；令，通过计算可判断④．【详解】对于①：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足（1），数列和均单调递增满足（2），数列的前项和，由得，解得，所以使成立，满足（3），故①正确；对于②：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足（1），数列和均单调递增满足（2），的前项和，由得恒成立，所以使成立满足（3），故与具有“单调偶遇关系”，故②说法正确；对于③：以一次函数为例，，，，即，整理得，只要方程有正整数解且即可，如方程中取，则有，即，对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数组，故③说法不正确；对于④：中令．由得，取，即可保证恒有解，故选项④正确．故选：D．【点睛】关键点点睛：通过①可想到③中以一次函数为例，通过②可想到④中令，通过举例达到解决问题的目的.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.在的展开式中，常数项为_____．【答案】6【解析】【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果.【详解】的展开式的通项公式为，令，则常数项为，故答案为：6.12.函数的零点个数为____________，其极小值为_____________.【答案】①.②.【解析】【分析】直接令求零点，求导，确定单调性后可得极值.【详解】令，则或（舍去）所以，故函数的零点个数为；又，令，得，在上单调递减，令，得，在上单调递增，故的极小值为.故答案为：；.13.曲线在处的切线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】求导得切线斜率，由直线的点斜式即可求解直线方程.【详解】由得，故，又，所以切线方程为，即，故答案为：14.已知函数的导函数为，能说明“若对任意的都成立且，则在上必有零点”为假命题的一个函数是___________.【答案】【解析】【分析】由题得在上递减，且，在与轴无交点，选中这样的一个函数即可.【详解】“若对任意的都成立且”,则在上递减，且，再由“在上必有零点”为假命题，可得的图象在与轴无交点，这样的函数可以是，故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的概念的理解，考查了分析推理能力，是一个开放题，答案不唯一，属于基础题.15.“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数.给出下列四个结论：①对任意，存在，使得；②对任意，存在，使得；③对任意，存在，使得；④对任意，存在，使得.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①②【解析】【分析】根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐个判断后可得正确的选项.【详解】根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示），设导数在取最大值，结合的图象可知，且当时，为增函数，在上为减函数，对于①，任意，取，则有，故①成立.对于②，设，由图象的性质可平移直线至处，此时平移后的直线与图象相切，且，取，故，故②正确.对于③，取如图所示的，设，，过作横轴的平行线，交的图象于，由函数的图象特征可得，取，则，故③不成立.对于④，取（为①中最大值点），则过切线“穿过”曲线，曲线上不存在与该切线平行的割线，否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误.故答案为：①②.【点睛】思路点睛：在导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻画出导数的图象，从而可研究与导数或原函数性质有关的命题判断.16.已知函数，存在，使得成立.给出下列四个结论:①当时，;②当时，;③当时，;④当时，.其中所有正确结论的序号是________________.【答案】①②④【解析】【分析】由，可得，即，转化为，然后对求导，求出其单调区间，画出的图象，结合图象逐个分析判断即可．【详解】由，得，所以当时，；当时，，所以在上递增，在上递减，所以的大致图象如图所示：因为，所，即，所以，当时，或或或，则或或或，所以，所以①正确；当时，若，此时与均可以趋于，所以③错误；当时，由，得，所以，因为，所以由图象可知当时，有，所以，所以②正确；当时，由图和②可知，则，所以，令，，则，所以在上单调递增，所以，即当时，成立，所以④正确．故答案为：①②④．【点睛】关键点点睛：本题的关键点为将条件变形为，从而，通过函数的性质来研究问题.三、解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】，，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此【小问2详解】，因此18.已知函数．（1）求的值；（2）求在区间上的最值；（3）若，求的单调区间．【答案】（1）（2）最大值为，最小值为（3）答案见解析【解析】分析】（1）求导，再令即可得解；（2）利用导数求出函数的单调区间，在求出函数的极值和端点的函数值，即可得出函数的最值；（3）求导，再分和两种情况讨论即可得解.【小问1详解】，则；【小问2详解】，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在区间上的最大值为，最小值为；【小问3详解】，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，的单调减区间为，无增区间；当时，的单调增区间为，单调减区间为；19已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若为函数的极小值点，求的取值范围；(3)曲线是否存在两个不同的点关于y轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)不存在，理由见解析．【解析】【分析】(1)对求导，得出所求切线的斜率即可得解；(2)按a值取正负零分别讨论在0左右两侧值的正负而得解；(3)假定曲线存在两个不同点关于y轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，讨论性质即可得解.【详解】(1)由已知得，，所以曲线在点处的切线方程为；(2)，①当时，函数在上单调递增，无极值，不符；②当时，x<0，，则，与为函数的极小值点矛盾，不符；③当时，令，则，时，在上递增，时，在上递减，，且，x<0时，，时，，，，为函数的极小值点，则，时，因在上递增，值从增到0，则直线与在上图象有公共点，即存在使得，，，即，所以存在，时，而x>0时，为函数的极小值点，则有，所以当时，为函数的极小值点，综上有；(3)不存在，假定曲线存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标为，其中，则有，令，于是有，由(2)知函数在上单调递增，由得，即与矛盾，所以曲线不存在两个不同的点关于y轴对称.【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是，且在x0左侧与右侧的符号不同．20.在无穷数列中，，对于任意，都有，．设，记使得成立的n的最大值为．（1）设数列为，写出，，，的值；（2）若为等差数列，求出所有可能的数列；（3）设，，求的值．（用p，q，A表示）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据使得成立的的最大值为，结合数列为，分析即可；（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列；（3）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出的值．【小问1详解】由使得成立的的最大值为，数列为，得，则，，则，，则，，