初中数+学+等腰（边）三角形及其性质+++课件+冀教版八年级数学上册

17.1.1等腰（边）三角形及其性质●

考点清单解读●

重难题型突破●

易错易混分析●

方法技巧点拨■考点一

等腰三角形的定义及相关概念定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形；顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形相关概念及图示在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角第一课时等腰（边）三角形及其性质续表注意等腰三角形是特殊的三角形，具有三角形的所有性质等腰三角形的顶角可以是直角、钝角和锐角，底角只能是锐角对于等腰三角形，我们说边或角时，一般都需要明确指出是腰还是底，是顶角还是底角，若没有明确说明，则必须分类讨论第一课时等腰（边）三角形及其性质归纳总结

第一课时等腰（边）三角形及其性质典例1

等腰三角形的两边长分别为4和9，这个三角形的周长是（

）A.17

B.22C.17或22

D.17和22对点典例剖析第一课时等腰（边）三角形及其性质［解题思路］［答案］B第一课时等腰（边）三角形及其性质■考点二

等腰三角形的性质定理内容符号语言图示性质1等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）如图，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C注意“等边对等角”应用的前提是在同一个三角形中第一课时等腰（边）三角形及其性质续表拓展与等腰三角形两个底角相邻的两个外角相等；与等腰三角形顶角相邻的外角等于一个底角的两倍第一课时等腰（边）三角形及其性质典例2

如图，在△ABC中，AC=AD=BD，当∠B=25°时，∠BAC的度数是______．对点典例剖析第一课时等腰（边）三角形及其性质［解题思路］［答案］105°第一课时等腰（边）三角形及其性质

2.三线合一性质

2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）注意等腰三角形定义中隐含的性质：两腰相等等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴第一课时等腰（边）三角形及其性质续表注意“三线合一”是等腰三角形特有的性质，在等腰三角形中，若“三线”中有“一线”成立，则其余“两线”都成立拓展等腰三角形两腰上的中线、高、两个底角的平分线分别相等等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高第一课时等腰（边）三角形及其性质续表拓展等腰三角形底边上的高（中线、顶角平分线）上的任意一点到两腰的距离相等第一课时等腰（边）三角形及其性质归纳总结

等腰直角三角形具有三角形所有的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质，即两直角边相等；两个锐角都是45°；斜边上中线、直角平分线、斜边上的高三线合一.第一课时等腰（边）三角形及其性质典例3

如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（

）A.∠B=∠C

B.AD⊥BCC.AD平分∠BAC

D.AB=2BD对点典例剖析第一课时等腰（边）三角形及其性质［解题思路］［答案］D第一课时等腰（边）三角形及其性质■考点三

等边三角形的定义及其性质定理定义三边都相等的三角形叫做等边三角形性质定理等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于

60°符号语言如图，在△ABC中，若AB=AC=BC，则∠A=∠B=∠C=60°第一课时等腰（边）三角形及其性质续表注意三等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质，但等腰三角形不一定是等边三角形等边三角形任意一边上的中线、高和对角的平分线都互相重合，遇等边三角形时，要联想到其内角度数已知（60°）等边三角形任意一边上的中线、高和对角的平分线都互相重合，遇等边三角形时，要联想到其内角度数已知（60°）第一课时等腰（边）三角形及其性质续表拓展等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线相交于一点，交点称为“中心”边长为a的等边三角形的高为a，面积为

a2第一课时等腰（边）三角形及其性质归纳总结

等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴，任一边的垂直平分线都是它的对称轴.第一课时等腰（边）三角形及其性质典例4

如图，△ABC是等边三角形，AD为BC边上的高，则∠BAD=_______°．对点典例剖析第一课时等腰（边）三角形及其性质［解题思路］［答案］30第一课时等腰（边）三角形及其性质■题型一

利用“三线合一”证明线段相等例1如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．第一课时等腰（边）三角形及其性质［解析］［答案］

证明：如答案图，过点A作AP⊥BC于点P．∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=PC，∵AD=AE，AP⊥BC，∴DP=PE，∴BP-DP=PC-PE，即BD=CE．第一课时等腰（边）三角形及其性质变式衍生1

如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是_____.60°第一课时等腰（边）三角形及其性质解题通法

对于此类叠合等腰三角形问题，常作底边高线，利用等腰三角形“三线合一”的性质，寻找线段之间的联系，有时也需要用到线段和差的关系.第一课时等腰（边）三角形及其性质■题型三

利用等边三角形的性质求角的度数例3如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD=AC，连接CD并延长，交AB

的延长线于点E，则∠E的度数为（

）A.15°

B.20°C.30°

D.45°第一课时等腰（边）三角形及其性质［答案］

D第一课时等腰（边）三角形及其性质［解析］在等边三角形ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，∵AD⊥BC，∴∠CAD=12∠BAC=30°，∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=12×（180°-30°）=75°，在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E=180°，∴∠E=180°-60°-75°=45°.思路点拨

先利用等边三角形的性质得出∠CAD=30°，再利用“等边对等角”和“三角形的内角和定理”求出∠ACD=75°，最后根据三角形内角和定理得出结论.第一课时等腰（边）三角形及其性质解题通法

解决这类题目，一般可以由边长关系联想到角度之间的关系，然后把角转化到同一个三角形中利用三角形内角和求解未知角度.等边三角形内角的度数已知.第一课时等腰（边）三角形及其性质■求等腰三角形的角度时漏解例

（1）已知等腰三角形中有一个角等于30°，求其余两个角的度数；（2）已知等腰三角形中有一个角等于120°，求其余两个角的度数.第一课时等腰（边）三角形及其性质第一课时等腰（边）三角形及其性质［解析］（1）30°＜90°，这个角可能是顶角，也可能是底角，需要分类讨论；（2）120°＞90°，这个角只能是等腰三角形的顶角，不可能是底角，只有一种情况.［答案］解：（1）给定的角是一个30°的锐角，因此应分两种情况讨论：①当此角为顶角时，两底角的和是150°，因此每一个底角为75°；②当此角为底角时，另一个底角也为30°，由三角形的内角和是180°可得顶角为120°；综上，另两个角的度数为75°，75°或30°，120°；（2）∵120°＞90°，∴这个角只能是等腰三角形的顶角，不可能是底角，∴另两个角都是30°.第一课时等腰（边）三角形及其性质［易错］解：（1）另两个角的度数为75°，75°.第一课时等腰（边）三角形及其性质［错因］忽略等腰三角形中底角为30°的情况.易错警示

①没有分类讨论导致少解；②忽略三角形内角和为180°.第一课时等腰（边）三角形及其性质领悟提能

①没有分类讨论导致少解；②忽略三角形内角和为180°.已知等腰三角形中一个角的度数，求其余两个角的度数时，已知角可能是等腰三角形的顶角，也可能是等腰三角形的底角，因此可能有两种情况，同时还要注意三角形的内角和为180°这一条件.若给出的角是直角或钝角，则此角必为顶角.■方法：利用方程思想求等腰三角形中的角度当已知条件中没有一个已知角度的角而又要求角的度数时，可设出一个关键角的度数，利用等腰三角形的性质、外角性质及内角和定理等列出方程求解.第一课时等腰（边）三角形及其性质例

如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别在AC，AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数.第一课时等腰（边）三角形及其性质第一课时等腰（边）三角形及其性质［解析］设∠ABD=x，根据等腰三角形的性质和外角的性质，可用x表示∠A，∠ABC，∠C的度数，在△AB