专题9 导数中的同构问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计 (人教B版2019)

专题9导数中的同构问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计(人教B版2019)学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学选择性必修第三册——导数中的同构问题

2.教学年级和班级：高中二年级一班

3.授课时间：2023年10月10日

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标1.逻辑推理：使学生能够通过导数的基本性质，运用转化的思想方法，推理出同构问题的解题思路。

2.数学建模：培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，利用导数解决实际问题。

3.直观想象：通过图形演示，帮助学生直观地理解导数中的同构问题，培养学生的空间想象能力。

4.数学运算：训练学生运用导数运算规则，准确高效地解决同构问题，提高学生的运算能力。

5.数据分析：培养学生分析问题、处理数据的能力，通过实例让学生理解导数在同构问题中的应用。学情分析高中二年级一班的学生在学习数学方面整体水平较高，大部分学生具备良好的数学思维能力和逻辑推理能力。他们在之前的学习中已经掌握了导数的基本概念和运算规则，对于利用导数解决一些实际问题也有一定的理解。

在学习能力方面，学生们对于新知识的学习和接受能力较强，他们能够快速掌握课本中的新概念和原理。同时，他们也具备一定的自主学习能力和合作学习能力，能够在课堂上积极思考和讨论问题。

在知识掌握方面，大部分学生对于导数的基本性质和运算法则已经有所了解，但可能在应用方面还存在一定的困难。他们可能对于一些复杂同构问题的解决还不够熟练，需要通过实例和练习来进一步巩固和提高。

在素质方面，学生们整体的行为习惯良好，他们能够按时上课并积极参与课堂活动。大多数学生对于数学学科有一定的兴趣和热情，愿意投入时间和精力进行学习和研究。

对于本节课的内容，学生们可能对于导数中的同构问题还没有接触过，因此需要通过具体的实例和讲解来引导他们理解和掌握。他们需要通过观察和分析实例，运用转化的思想方法来解决同构问题。

在教学过程中，我会根据学生的实际情况进行针对性的教学设计和调整。对于理解能力较强和基础较好的学生，可以适当增加一些拓展的内容和挑战性的问题，让他们能够进一步提升自己的数学能力。对于理解能力相对较弱的学生，可以通过详细的讲解和例题来帮助他们理解和掌握同构问题的解决方法。教学方法与策略1.教学方法

针对本节课的内容，我选择采用讲授法和案例研究法进行教学。讲授法能够系统地传授知识，帮助学生建立完整的知识体系；案例研究法则能够让学生通过分析实际案例，深入理解导数中的同构问题。

2.教学活动设计

（1）导入：通过一个简单的实际问题引出同构问题的概念，激发学生的兴趣和好奇心。

（2）新课讲解：运用讲授法，系统地介绍导数中的同构问题，结合具体的例题进行讲解，让学生清晰地掌握解题思路和方法。

（3）案例分析：组织学生进行案例研究，让学生分组讨论并分析具体的同构问题，培养学生解决问题的能力。

（4）练习与反馈：布置一些具有代表性的题目，让学生进行练习，及时给予反馈和解答疑问，帮助学生巩固知识。

3.教学媒体和资源

（1）PPT：制作精美的PPT，展示导数中的同构问题和相关例题，方便学生跟随教学进度，强化视觉印象。

（2）视频：引用一些教学视频，以动态、直观的方式展示同构问题的解决过程，帮助学生更好地理解和掌握。

（3）在线工具：利用在线工具进行数学模拟和演示，让学生更加直观地感受导数在同构问题中的应用。

（4）教材和辅导资料：提供相应的教材和辅导资料，方便学生进行自主学习和复习。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕导数中的同构问题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解导数中的同构问题知识点。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解导数中的同构问题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个具体的实际问题引出导数中的同构问题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解导数中的同构问题的解题思路和方法，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、案例分析等活动，让学生在实践中掌握解题技能。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、案例分析等活动，体验解题过程。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解导数中的同构问题的解题思路。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握解题技能。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解导数中的同构问题的解题思路，掌握解题技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据本节课的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与导数中的同构问题相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的导数中的同构问题的解题思路和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理1.导数的基本概念

-导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

-导数的计算：利用导数的基本公式和运算法则进行计算。

2.同构问题的概念

-同构问题的定义：两个函数在某个区间内具有相同的导数，则这两个函数在该区间内称为同构的。

-同构问题的性质：同构函数具有相同的单调性、极值等性质。

3.同构问题的解题思路

-转化思想：将同构问题转化为求解函数的导数、单调区间、极值等问题。

-构造函数：通过构造辅助函数，将复杂问题简化，便于求解。

-利用导数性质：运用导数的性质，如单调性、极值等，解决问题。

4.同构问题的解决步骤

-确定区间：找出两个函数的定义域，确定它们在哪个区间内是同构的。

-求导数：分别求出两个函数在该区间内的导数。

-比较导数：比较两个函数的导数，验证它们是否相等。

-解决问题：根据导数的性质，解决同构问题。

5.同构问题的应用

-实际问题：将实际问题转化为同构问题，利用导数解决实际问题。

-数学建模：在同构问题的解决过程中，培养学生的数学建模能力。

-拓展研究：探索同构问题在其他学科领域的应用，如物理学、化学等。

6.同构问题的练习题型

-选择题：考查学生对同构概念、性质和解决方法的掌握。

-填空题：考查学生对同构问题中相关概念和公式的记忆。

-解答题：考查学生解决实际同构问题的能力，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

7.同构问题的解题技巧

-观察法：通过观察函数图像，找出同构的区间和对应的导数值。

-代入法：将一个函数的导数值代入另一个函数中，验证是否满足同构条件。

-构造法：通过构造适当的辅助函数，将同构问题转化为熟悉的问题。重点题型整理1.求函数的导数

（1）题型描述：已知函数f(x)，求其导数f'(x)。

（2）解题思路：利用导数的基本公式和运算法则进行计算。

（3）示例：求函数f(x)=x^2的导数。

f'(x)=2x

2.判断函数的单调性

（1）题型描述：已知函数f(x)，判断其在某区间内的单调性。

（2）解题思路：求出函数在该区间内的导数，根据导数的符号判断函数的单调性。

（3）示例：判断函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的单调性。

f'(x)=2x，在区间[-1,1]上，f'(x)>0，因此函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增。

3.求函数的极值

（1）题型描述：已知函数f(x)，求其在某区间内的极值。

（2）解题思路：求出函数在该区间内的导数，找出导数为0的点，判断这些点是否为极值点，并计算极值。

（3）示例：求函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的极值。

f'(x)=2x，导数为0的点为x=0，f(0)=0，因此函数f(x)在区间[-1,1]上的极小值为0。

4.解决同构问题

（1）题型描述：已知两个函数f(x)和g(x)，求证它们在同构区间内同构。

（2）解题思路：求出两个函数在指定区间内的导数，比较导数是否相等，进而证明它们在同构区间内同构。

（3）示例：求证函数f(x)=x^2和g(x)=2x在同构区间[0,2]内同构。

f'(x)=2x，g'(x)=2x，在区间[0,2]上，f'(x)=g'(x)，因此函数f(x)和g(x)在同构区间[0,2]内同构。

5.应用同构问题解决实际问题

（1）题型描述：将实际问题转化为同构问题，利用导数解决实际问题。

（2）解题思路：根据实际问题的特点，构造合适的函数，利用导数求解问题。

（3）示例：一个物体在重力作用下从高度h自由落下，求其在下落过程中的速度和加速度。

设物体下落的高度为h(t)，则h(t)=h-1/2gt^2，物体下落的速度为v(t)=gt，加速度为a(t)=g。利用导数求解物体在任意时刻的速度和加速度。

七、重点题型整理

1.求函数的导数

（1）题型描述：已知函数f(x)，求其导数f'(x)。

（2）解题思路：利用导数的基本公式和运算法则进行计算。

（3）示例：求函数f(x)=x^2的导数。

f'(x)=2x

2.判断函数的单调性

（1）题型描述：已知函数f(x)，判断其在某区间内的单调性。

（2）解题思路：求出函数在该区间内的导数，根据导数的符号判断函数的单调性。

（3）示例：判断函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的单调性。

f'(x)=2x，在区间[-1,1]上，f'(x)>0，因此函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增。

3.求函数的极值

（1）题型描述：已知函数f(x)，求其在某区间内的极值。

（2）解题思路：求出函数在该区间内的导数，找出导数为0的点，判断这些点是否为极值点，并计算极值。

（3）示例：求函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的极值。

f'(x)=2x，导数为0的点为x=0，f(0)=0，因此函数f(x)在区间[-1,1]上的极小值为0。

4.解决同构问题

（1）题型描述：已知两个函数f(x)和g(x)，求证它们在同构区间内同构。

（2）解题思路：求出两个函数在指定区间内的导数，比较导数是否相等，进而证明它们在同构区间内同构。

（3）示例：求证函数f(x)=x^2和g(x)=2x在同构区间[0,2]内同构。

f'(x)=2x，g'(x)=2x，在区间[0,2]上，f'(x)=g'(x)，因此函数f(x)和g(x)在同构区间[0,2]内同构。

5.应用同构问题解决实际问题

（1）题型描述：将实际问题转化为同构问题，利用导数解决实际问题。

（2）解题思路：根据实际问题的特点，构造合适的函数，利用导数求解问题。

（3）示例：一个物体在重力作用下从高度h自由落下，求其在下落过程中的速度和加速度。

设物体下落的高度为h(t)，则h(t)=h-1/2gt^2，物体下落的速度为v(t)=gt，加速度为a(t)=g。利用导数求解物体在任意时刻的速度和加速度。课堂小结，当堂检测1.课堂小结

本节课我们学习了导数中的同构问题，主要内容包括：

-导数的基本概念和计算方法

-同构问题的定义和性质

-解决同构问题的思路和步骤

-同构问题的应用和实际意义

2.当堂检测

（1）求函数f(x)=x^3的导数。

（2）判断函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的单调性。

（3）求函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的极值。

（4）已知函数f(x)和g(x)，求证它们在同构区间内同构。

（5）将实际问题转化为同构问题，利用导数解决实际问题。

八、课堂小结，当堂检测

1.课堂小结

本节课我们学习了导数中的同构问题，主要内容包括：

-导数的基本概念和计算方法

-同构问题的定义和性质

-解决同构问题的思路和步骤

-同构问题的应用和实际意义

2.当堂检测

（1）求函数f(x)=x^3的导数。

（2）判断函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的单调性。

（3）求函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的极值。

（4）已知函数f(x)和g(x)，求证它们在同构区间内同构。

（5）将实际问题转化为同构问题，利用导数解决实际问题。教学反思与改进为了改进这些问题，我计划在未来的教学中采取以下措施：

首先