2024-2025学年新教材高中数学 第6章 导数及其应用 6.1 导数 6.1.3 基本初等函数的导数教案 新人教B版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.1导数6.1.3基本初等函数的导数教案新人教B版选择性必修第三册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容为2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.1导数6.1.3基本初等函数的导数，新人教B版选择性必修第三册。内容包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的导数公式及其应用。这部分内容与学生已有知识的联系在于，学生已掌握了初等函数的基本概念、性质及其图像，理解了导数的定义及计算规则，为本节课学习基本初等函数的导数奠定了基础。通过本节课的学习，学生将能够熟练运用导数公式，解决实际问题，进一步理解导数在函数研究中的应用。核心素养目标本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：一是逻辑推理与数学抽象，通过导数公式的推导与应用，提高学生逻辑思维及抽象思维能力；二是模型构建与问题解决，使学生能够运用导数解决实际问题，培养模型构建与问题解决的能力；三是数学运算与数据分析，培养学生熟练运用导数公式进行运算，并能对运算结果进行分析；四是从数学角度审视现实世界，增强学生对导数在自然科学、社会科学等领域应用的认识，提高学生的数学应用意识。这些目标与新教材要求相符合，有助于全面提升学生的数学学科核心素养。教学难点与重点1.教学重点

-掌握幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的导数公式。

-理解导数公式背后的数学原理和推导过程。

-能够运用导数解决实际问题，如运动物体的瞬时速度、曲线的切线斜率等。

-通过具体实例，体会导数在描述函数变化率中的作用。

2.教学难点

-对导数公式的记忆和灵活运用，特别是对数函数和三角函数的导数。

-理解并掌握导数公式的推导过程，特别是链式法则在复合函数导数计算中的应用。

-在实际问题中，如何建立数学模型，并运用导数进行有效求解。

-对于导数在图形分析中的应用，如切线、拐点、极值等概念的理解和识别。

举例说明：

-教学重点中，例如对数函数的导数公式\(\frac{d}{dx}(\lnx)=\frac{1}{x}\)，要求学生理解其对数函数导数的计算，并在实际问题中应用。

-教学难点中，如复合函数\(f(g(x))\)的导数计算，需要学生掌握链式法则\(\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}\)，并能够应用于具体的函数，如\(f(x)=\ln(g(x))\)的导数计算。教学方法与策略1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法，采用讲授与讨论相结合的方式，引导学生通过小组合作探究基本初等函数的导数公式及其应用。针对学生的不同理解层次，适时进行案例研究，以加深对导数概念的理解。

2.设计具体的教学活动，如通过数学问题求解的角色扮演，让学生在实际情境中运用导数；组织小组间的竞赛游戏，激发学生学习兴趣，提高其运用导数公式解决问题的能力。

3.确定教学媒体使用，运用多媒体课件展示函数图像、导数公式及其推导过程，辅助学生形象理解；同时，利用数学软件进行实验操作，让学生直观感受导数在描述函数变化中的作用，增强教学互动与实践操作。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对导数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道导数是什么吗？它在我们的生活有什么关系？”

展示一些关于导数应用的图片或视频片段，如物体运动轨迹、优化问题等，让学生初步感受导数在现实世界中的应用。

简短介绍导数的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.导数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解导数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解导数的定义，包括导数的几何意义和物理意义。

详细介绍导数的计算规则，使用图表或示意图帮助学生理解导数与函数图像的关系。

通过实例或案例，如求直线斜率、曲线切线等，让学生更好地理解导数的实际应用。

3.导数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解导数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的导数案例进行分析，如运动物体的瞬时速度、函数极值等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解导数在解决问题中的作用。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用导数解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论导数在各个领域的应用，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与导数相关的主题进行深入讨论，如导数在实际问题中的应用、导数与优化问题等。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对导数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调导数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括导数的基本概念、计算规则、案例分析等。

强调导数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用导数。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于导数应用的短文或报告，以巩固学习效果。同时，安排一些具有挑战性的问题，供学有余力的学生进一步探讨。知识点梳理1.导数的定义

-平均变化率的概念

-瞬时变化率的概念

-导数的定义及其几何意义

2.导数的计算规则

-基本初等函数的导数公式

-幂函数的导数

-指数函数的导数

-对数函数的导数

-三角函数的导数

-导数的四则运算法则

-复合函数的导数（链式法则）

3.导数与函数图像

-函数的单调性

-函数的极值

-函数的拐点

-切线与法线

4.导数在实际问题中的应用

-物理学中的速度与加速度

-经济学中的边际成本与边际效用

-函数优化问题

-最大值与最小值问题

5.导数与图形分析

-曲线的切线与法线

-函数图像的凹凸性

-函数的极值点

-函数图像的绘制

6.高阶导数

-二阶导数的概念

-二阶导数与函数图像的关系

-高阶导数的计算与应用

7.导数与隐函数

-隐函数的导数

-隐函数的极值问题

-隐函数图像的分析

8.导数与参数方程

-参数方程的导数

-参数方程表示的曲线的切线与法线

-参数方程的极值问题

9.导数的概念拓展

-导数的概念在多元函数中的应用

-偏导数的概念

-多元函数的极值问题课后作业1.计算题：

求函数\(f(x)=3x^2-2x+1\)在\(x=2\)处的导数值。

2.应用题：

一物体从静止开始做直线运动，其加速度\(a(t)=4t\)（其中\(t\)为时间，单位为秒）。求物体在\(t=3\)秒时的瞬时速度。

3.极值题：

求函数\(g(x)=x^3-6x^2+9x-1\)的极大值和极小值。

4.切线题：

给定函数\(h(x)=\ln(x)\)，求曲线\(y=h(x)\)在\(x=e\)处的切线方程。

5.隐函数题：

已知\(y\)与\(x\)之间的关系式为\(y^2=4x+3\)，求\(y\)关于\(x\)的导数。

补充和说明：

1.计算题：

解答：\(f'(x)=6x-2\)

\(f'(2)=6\cdot2-2=10\)

函数\(f(x)\)在\(x=2\)处的导数值为10。

2.应用题：

解答：由\(v(t)=\inta(t)\,dt\)得\(v(t)=2t^2\)

\(v(3)=2\cdot3^2=18\)

物体在\(t=3\)秒时的瞬时速度为18m/s。

3.极值题：

解答：\(g'(x)=3x^2-12x+9\)

令\(g'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)

\(g(1)=3\)，\(g(3)=-1\)

函数\(g(x)\)的极大值为3，极小值为-1。

4.切线题：

解答：\(h'(x)=\frac{1}{x}\)

\(h'(e)=\frac{1}{e}\)

切线方程为\(y-\ln(e)=\frac{1}{e}(x-e)\)

化简得\(y=\frac{1}{e}x\)

5.隐函数题：

解答：对\(y^2=4x+3\)求导，得\(2y\cdot\frac{dy}{dx}=4\)

\(\frac{dy}{dx}=\frac{4}{2y}=\frac{2}{y}\)

\(y\)关于\(x\)的导数为\(\frac{2}{y}\)，其中\(y\)为\(y^2=4x+3\)的根。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.本节课我们学习了导数的基本概念、计算规则及其在实际问题中的应用。

2.掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的导数公式。

3.理解了导数与函数图像之间的关系，如单调性、极值、拐点等。

4.学会了利用导数解决实际问题，如物体的瞬时速度、函数的优化等。

当堂检测：

一、填空题：

1.函数\(f(x)=x^3-2x^2+x\)在\(x=1\)处的导数为______。

2.若物体做直线运动，其位移\(s(t)=3t^2-2t\)，则物体在\(t=2\)秒时的瞬时速度为______。

二、解答题：

1.求函数\(g(x)=\ln(x)\)在\(x=e\)处的切线方程。

2.已知函数\(h(x)=x^3-6x^2+9x-1\)，求其极大值和极小值。

三、应用题：

1.一辆汽车从静止开始加速，其加速度\(a(t)=2t\)（单位：m/s²），求汽车在\(t=3\)秒时的瞬时速度。

2.某企业的成本函数\(C(x)=3x^2+2x+10\)，其中\(x\)为生产的产品数量。求该企业生产5件产品时的边际成本。

答案：

一、填空题：

1.\(f'(1)=3\cdot1^2-2\cdot2\cdot1+1=0\)

2.\(v(2)=s'(2)=6\cdot2-2=10\)（m/s）

二、解答题：

1.\(g'(x)=\frac{1}{x}\)，\(g'(e)=\frac{1}{e}\)

切线方程为\(y-\ln(e)=\frac{1}{e}(x-e)\)，化简得\(y=\frac{1}{e}x\)

2.\(h'(x)=3x^2-12x+9\)

令\(h'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)

\(h(1)=3\)，\(h(3)=-1\)

极大值为3，极小值为-1。

三、应用题：

1.\(v(3)=\inta(t)\,dt=\int2t\,dt=t^2\)

\(v(3)=3^2=9\)（m/s）

2.\(C'(x)=6x+2\)

\(C'(5)=6\cdot5+2=32\)（元/件）教学反思与改进在本次教学过程中，我发现学生在掌握导数基本概念和计算规则方面表现较好，但在应用导数解决实际问题方面存在一定困难。为了提高教学效果，我计划在未来的教学中进行以下改进：

1.增加课堂互动环节，鼓励学生提问和发表见解，以增强他们对导数概念的理解。例如，在讲解导数计算规则时，可以邀请学生上台演示计算过程，并让其他学生进行点评和讨论。

2.设计更多实际应用案例，让学生通过解决实际问题来加深对导数应用的理解。例如，可以让学生分析物体的运动轨迹、企业的成本函数等，从而提高他们运用导数解决问题的能力。

3.加强小组合作学习，让学生在小组内讨论和解决导数相关问题。这不仅可以培养学生的合作精神，还可以提高他们的问题解决能力。在小组讨论过程中，可以设置一些引导性问题，引导学生深入思考和探讨。

4.采用多媒体教学手段，如动画、图表等，以直观展示导数的概念及其在实际问题中的应用。这有助于学生更好地理解导数的几何意义和物理意义，从而提高他们的学习兴趣。

5.安排课后作业和练习，让学生在实际操作中巩固所学知识。在布置作业时，要注意难易程度适中，既能够巩固学生的基础，又能够提高他们的解题能力。

6.定期进行教学反思，了解学生的学习情况，及时调整教学方法和策略。在教学过程中，要关注学生的学习反馈，了