第14讲椭圆及其方程

第14讲椭圆及其方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质．.2．会应用椭圆的方程及其几何性质解决一些简单问题.知识点1椭圆的定义1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集．知识点2椭圆的标准方程1.椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：知识点3椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点,短轴顶点长轴顶点,轴顶点焦点焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为考点一：椭圆的定义及其应用例1.（2324高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案.【详解】，所以，所以轴，因为，所以在椭圆内部，且，所以，即求的最大值，由于，当三点共线时最大，此时，，所以.故选：B.【变式11】（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】A【分析】直接根据椭圆的定义可求得答案.【详解】由椭圆的定义可知，.故选：A.【变式12】（2324高一下·浙江宁波·期末）点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】由椭圆的定义求解即可.【详解】由可得：，由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为.故选：C.【变式13】（2324高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（

）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】C【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆定义可得，故，又，则由余弦定理得，故，故.故选：C考点二：由椭圆的定义求标准方程例2.（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义可得，，再利用勾股定理，列出方程，求出的值，从而得到椭圆方程.【详解】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且，所以，，则，由于，所以，即，解得，所以，则，则，，所以椭圆方程为，故选：C【变式21】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）已知圆，，动圆与，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】先得到圆内含于圆，故圆与外切或内切，与圆一定内切，分两种情况，结合椭圆定义，求出轨迹方程.【详解】圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为9，由于，故圆内含于圆，故动圆与，都相切，则圆与外切或内切，与圆一定内切，设动圆的半径为，当圆与圆外切时，可得，当圆与圆内切时，可得，故，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，且长轴长为10，焦距为6，短轴长为8，可得方程为；当圆与圆内切时，可得，当圆与圆内切时可得，故，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，且长轴长为8，焦距为6，短轴长为，可得方程为.综上，轨迹方程为或.故选：AB.【变式22】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为.【答案】【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可.【详解】设圆的半径为，则，则，所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．则，所以，所以动圆的圆心的轨迹方程为．故答案为：.【变式23】（2024高三下·全国·专题练习）已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．

【答案】【分析】由中垂线性质可得，动点到两定点的距离之和为定值，结合椭圆的定义即可求解.【详解】由题意，线段的中垂线交于点，所以,即，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，设点的轨迹方程，所以，则，所以动点的轨迹方程为．

考点三：由a,b,c求椭圆的标准方程例3.（2324高二下·上海·阶段练习）长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程是.【答案】或【分析】根据题意，求得的值，结合椭圆的焦点的位置，分类讨论，即可求解.【详解】由题意知，椭圆的长轴长为4，焦距为2，可得，可得，则，当椭圆的焦点在轴上时，可得椭圆的标准方程为；当椭圆的焦点在轴上时，可得椭圆的标准方程为，所以所求椭圆的标准方程为或.故答案为：或.【变式31】（2324高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为．【答案】【分析】根据题意求，即可得椭圆方程.【详解】由题意可知：，即，则，且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为.故答案为：.【变式32】（2324高二下·上海·阶段练习）焦点在x轴上，长轴为8、离心率为的椭圆的标准方程为.【答案】【分析】由、、和焦点在x轴上，可得答案；【详解】由题意，可知，，得，，从而，又焦点在x轴上，故所求椭圆的标准方程为.故答案为：.【变式33】（2324高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为．【答案】/【分析】由A、B为焦点，可得，点C在椭圆上，可得，即可求得椭圆的离心率.【详解】由已知，所以，又点C在椭圆上，所以，所以，所以椭圆的离心率为.故答案为：.考点四：根据方程表示椭圆求参数例4.（2324高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先求方程表示椭圆的的取值范围，再根据集合的包含关系，即可判断选项.【详解】若方程表示椭圆，则，解得：，且，所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B【变式41】（2324高二下·湖南长沙·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将椭圆方程化成标准形式，根据焦点位置，列出不等式组，解之即得.【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得．故选：B.【变式42】（2122高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将题目转化为，再解不等式.【详解】命题等价于，解得.故选：C.【变式43】（2324高二下·山西长治·期末）若方程表示椭圆，则m的取值范围是．【答案】【分析】表示椭圆的条件是分母都大于0，且分母不相等.【详解】由题意可知且.故答案为：考点五：根据椭圆过的点求椭圆方程例5（2324高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；(3)经过和点．【答案】(1)1(2)(3)．【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程；（2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得；（3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得.【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，则，∴椭圆方程为1；（2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和，则，则椭圆的标准方程为；（3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点，设其方程为，则有，解可得，则所求椭圆的方程为．【变式51】（2024高二上·全国·专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆有相同焦点，且过点；(2)经过点P，Q.【答案】(1)(2)【分析】（1）设所求椭圆的标准方程为，将点代入求解；（2）法一：分焦点在x或y轴设椭圆方程求解；法二：设椭圆的方程为进行求解.【详解】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为.又椭圆过点，将代入方程得，解得或(舍去).故所求椭圆的标准方程为.（2）法一：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为.依题意，有，解得由知不符合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为.依题意，有，解得，所以所求椭圆的标准方程为.法二：设椭圆的方程为.则解得，所以所求椭圆的方程为，故椭圆的标准方程为.【变式52】（2024高二上·全国·专题练习）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦距为4，且经过点；(2)求经过点和点的椭圆方程.【答案】(1)或(2)【分析】（1）讨论焦点位置，求出，可得结果；（2）方法一：讨论焦点位置，结合题中所给条件经过点和点，求出，可得结果；方法二：设所求椭圆的方程为（，，），结合题中所给条件经过点和点，代入求解即可.【详解】（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意得，，则，故椭圆的标准方程为.当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意得，，则，故椭圆的标准方程为.（2）方法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）.依题意有，解得，故所求椭圆的标准方程为.②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）.依题意有，解得因为，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为.方法二：设所求椭圆的方程为（，，）.依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为.【变式53】（2324高二上·陕西西安·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上，且经过两个点和；(2)经过点.【答案】(1)(2)【分析】（1）设出焦点在轴上椭圆的标准方程，利用待定系数法求解即可；（2）由于椭圆的焦点所在位置不确定可设为：，然后利用待定系数法求解即可.【详解】（1）焦点在轴上的椭圆方程设为：.由于椭圆经过两个点和，所以，解得，所以所求的椭圆的标准方程为.（2）设椭圆的方程为：，由于椭圆经过点，，解得，所以所求椭圆的标准方程为.考点六：椭圆“焦点三角形”周长问题例6.（2223高二上·云南昆明·期中）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（

）A．10 B．14 C．18 D．20【答案】D【分析】根据给定条件，利用椭圆定义，结合三角形中位线性质求解即得.【详解】椭圆的长半轴轴，半焦距，依题意，分别是的中点，即，所以的周长为.故选：D【变式61】（2324高二下·四川雅安·开学考试）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（

）A．24 B．12 C．36 D．48【答案】A【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】因为，所以的周长为24．故选：A.【变式62】（2324高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长.【详解】根据题意，椭圆中，根据椭圆定义，的周长为.故选：C【变式63】（2324高二下·广东河源·阶段练习）已知点F为椭圆的右焦点，点A，B是C上与其长轴端点不重合的两点，设甲：直线AB经过C的左焦点；乙：的周长为，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设C的左焦点为E，直线AB经过C的左焦点E，由椭圆的定义推出充分性；由三角形不等式性质可知，，当且仅当A，B，E三点共线时等号成立，进而推出充分条件.【详解】设C的左焦点为E，若直线AB经过C的左焦点E，则△ABF的周长为，故充分性成立．由三角形不等式性质可知，，当且仅当点共线时等号成立．故的周长为．故若的周长为，则直线AB经过C的左焦点，必要性成立．故选：C．考点七：求共焦点的椭圆方程例7.（2024高二上·全国·专题练习）经过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是.【答案】【分析】利用同焦点的椭圆方程性质处理即可.【详解】设所求椭圆方程为椭圆过点，或（舍），所以所求椭圆方程为.故答案为：【变式71】（2324高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程.【详解】椭圆的焦点为或，设所求椭圆方程为，则，解得，所以椭圆方程为.故选：D【变式72】（2324高二上·北京·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程.【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上，设所求椭圆方程为，依题意有，所以，所求椭圆方程为.故选：B【变式73】（2324高二上·北京·阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是．【答案】【分析】根据题意，求出椭圆的标准方程，分析可得其焦点坐标，即可得要求的椭圆的焦点坐标，设其左右焦点为、，由椭圆的定义可得，由椭圆的几何性质可得的值，代入椭圆的标准方程即可得答案．【详解】根据题意，椭圆的标准方程为，其焦点坐标为，则所求的椭圆的焦点坐标为，设其左右焦点为、，又由椭圆经过点，则有，则，又由，则，则要求椭圆的方程为：．故答案为：．考点八：由离心率求椭圆方程例8.（2324高二下·四川成都·阶段练习）已知椭圆：的左焦点为，离心率为为椭圆上关于轴对称的两点，，若，则椭圆方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得，，根据得，由点在椭圆上得，再结合消元解方程即可求得，得解.【详解】根据为椭圆上关于轴对称的两点，，设，则，因为，，所以，所以，根据点在椭圆上得，所以，又椭圆的离心率为，所以，，所以，解得，则，所以椭圆方程为.故选：B【变式81】（2223高二上·广东江门·期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为.【答案】【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案.【详解】椭圆的离心率为，设所求椭圆方程为，则，从而，，又，∴，∴所求椭圆的标准方程为.故答案为：.【变式82】（2324高二上·北京海淀·期中）已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于．【答案】8【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得＝，解之即可.【详解】由题意焦点在x轴上的椭圆离心率为，可得＝，解得m＝8．故答案为：8．【变式83】（2122高二·全国·课后作业）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程.【答案】或.【分析】由题设可得，根据椭圆参数关系有，设椭圆方程为或，结合点在椭圆上分别求参数，即可得椭圆的标准方程.【详解】由题设，椭圆离心率为，则，又在椭圆上，若所求椭圆方程为，则，即，故方程为；若所求椭圆方程为，则，即，故方程为.考点九：由方程研究椭圆的几何性质例9.（多选）（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（

）A．C的焦距为2 B．C的短轴长为C．C的离心率为 D．的周长为8【答案】ABD【分析】根据以及椭圆的对称性可得，进而可求解，即可根据选项逐一求解.【详解】由于，所以,故，因此，故，所以椭圆，对于A，焦距为，故A正确，对于B，短轴长为，B正确，对于C，离心率为，C错误，对于D，的周长为，D正确，故选：ABD【变式91】（2122高二上·四川宜宾·期中）已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（

）A．离心率为 B．焦点为C．长轴长为3 D．椭圆上的点的横坐标取值范围为【答案】B【分析】利用椭圆的标准方程，确定椭圆中的值，对比各选项，可得答案【详解】由椭圆方程，可知对于A，,故A错误；对于B，因为，且由方程可知，焦点在轴，故焦点坐标，故B正确；对于C，长轴长为,故C错误；对于D，焦点在轴椭圆上的点的横坐标取值范围为即，故D错误故选：B【变式92】（2122高二上·陕西宝鸡·期末）有关椭圆叙述错误的是（）A．长轴长等于4 B．短轴长等于4C．离心率为 D．的取值范围是【答案】A【分析】根据题意求出，进而根据椭圆的性质求得答案.【详解】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确.故选：A.【变式93】（2324高三下·新疆·阶段练习）连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，记椭圆C的右焦点为，则（

）A． B．椭圆的离心率为C．椭圆的焦距为 D．椭圆上存在点P，使【答案】BD【分析】首先得到椭圆的顶点坐标，由三角形的面积求出，即可得到椭圆方程，即可求出，从而判断A、B、C，再根据椭圆的性质得到即可判断D.【详解】椭圆的左顶点为，右顶点为，上顶点为，下顶点为，因为连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，若为左、右顶点与上（下）顶点时，则，解得，符合题意；若为上、下顶点与左（右）顶点时，则，解得，符合题意；综上可得，故A错误；则椭圆方程为，所以，则椭圆的离心率，故B正确；椭圆的焦距为，故C错误，因为椭圆C的右焦点为，所以，即，所以在椭圆上存在点P，使，故D正确.故选：BD考点十：椭圆的离心率问题例10.（2024·湖南岳阳·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是．【答案】【分析】先设出点，借助向量数量积求得的轨迹，再利用椭圆的几何性质列出不等式求出即得.【详解】设点，而，则，由，得，即，因此点在以为圆心，半径为的圆上，而点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点，由椭圆的几何性质知，即，亦即，整理得，即，所以椭圆离心率，故答案为：【变式101】（2324高二下·河南周口·阶段练习）已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形相似即可结合椭圆性质得由齐次式即可求解.【详解】的垂心为点是以为直角顶点的直角三角形，又,与相似（为坐标原点），，，解得或（舍），故选：A．【变式102】（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：，设，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率.故选：A.【变式103】（多选）（2324高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的离心率为，则实数（

）A．1 B．3 C． D．16【答案】BC【分析】根据椭圆焦点的位置，结合椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】因为该方程表示椭圆，所以当时，此时椭圆的焦点在横轴上，因为椭圆的离心率为，所以，显然符合，当时，此时椭圆的焦点在纵轴上，因为椭圆的离心率为，所以，显然符合，故选：BC1．（2023高二·全国·专题练习）如果方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（

）A． B．C． D．且【答案】D【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，列出不等式，即可求解.【详解】若方程为椭圆方程，则满足，解得且.故选：D.2.（2324高二下·重庆·阶段练习）已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】利用椭圆的定义与性质判定即可.【详解】由题意可知，则有如下，，共7种情况.故选：C3.（2024·福建泉州·二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，所以该椭圆的焦距为或.故选：D4．（多选）（2324高二下·江西·期中）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】求出，得到椭圆方程.【详解】由题意，，故，椭圆的标准方程可能为或．故选：AC．5．（多选）（2223高二上·全国·期中）已知椭圆，则下列说法中正确的是（

）A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是C．椭圆的焦距为4 D．椭圆的离心率为【答案】BD【分析】根据椭圆的标准方程求出，再逐项判断可得答案.【详解】，，可得，，所以椭圆的焦点在轴上，故A错误；椭圆的长轴长是，故B正确；椭圆的焦距是，故C错误；椭圆的离心率为，故D正确.故选：BD.6．（2324高二上·广东惠州·阶段练习）若椭圆的一个焦点坐标为，则实数的