函数的概念与性质讲义高考数学一轮复习

知识点一函数的概念：定义域【基础指数框架】1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：（1）分式的分母不为________；（2）偶次根式的被开方数__________；（3）要求_________；（4）指数函数的底数___________，对数函数的底数_______________,真数_____________；（5）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；（6）由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．2.已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；3.已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围.【例题分析】例1.函数的定义域是___________.例2.函数的定义域是___________.例3．已知的定义域为，则函数的定义域为___________.例4．若函数的定义域为,则函数的定义域是___________.例5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.【变式训练】1．函数的定义域为___________.2．函数的定义域为___________.3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.4．已知定义域为，则的定义域为___________.

知识点二函数的概念：对应法则【基础指数框架】1.待定系数法求函数解析式一次函数解析式：_______________________；二次函数解析式：_______________________；三次函数解析式：_______________________；反比例函数解析式：_____________________；指数函数解析式：_______________________；对数函数解析式：_______________________；幂函数解析式：_________________________.2换元法求函数解析式换元法，已知，求，令，解出，代入中，得到一个含的解析式，即为所求解析式.3.配凑法求函数解析式配凑法，已知，求，从的解析式中配凑出“”，即用来表示，然后将解析式中的用代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意的取值范围的限定．4.解方程组法求函数解析式已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边所有的，得到关于与的方程组，消去解出即可．常见的有与，与．【例题分析】例1.已知二次函数满足试求：求的解析式；______．

例2．已知，则的解析式为______．例3.已知函数，则函数的解析式为______．例4．已知,则________．例5.已知，则的解析式为______．例6．已知函数满足，则______．例7．已知函数的定义域为(0,+∞)，且，则=______．【变式训练】1.已知,求二次函数的解析式;2.若函数,则的解析式为______．3.已知，求的解析式______．4．已知函数满足，则______．

知识点三函数的概念：值域【基础指数框架】1.观察法:主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值.2.配方法(对称轴法):对于型如，的形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴完成，可以结合图象讨论单调性完成求值域或最值.3.换元法:代数换元法，三角换元法，运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略.使用换元法时，一般来说，需求两次值域，一次在换元时求新元的取值范围，一次在换元后求新函数值域.（1），令.（2），令，则.（3），令.（4），令，则.（5），令，则.（6），令，则.（7）令，则.（8），令，（或令，）.（9）令，则4.图象法(数形结合法)①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成.②求或的值域，可先分别作出其中所含函数:的图象，再利用它们的交点分段确定的图象，从而确定值域或最值.③根据函数表达式的几何意义【分式转化为斜率，平方和（平方根）转化为距离等】，作出图象，求出值域或最值.5.单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值.（优先考虑!）6.有界性法：含、、、、、的函数，若可用表示它们，则常利用其有界性来求值域或最值.（先分离常数，再利用有界性分析）7.基本(均值)不等式法：利用(一正二定三相等)等公式来求值域或最值，一定要看等号能否成立，否则用数形结合法、单调性法完成.8.判别式法：用于.(，分子、分母无公因式，且无人为限制.)先化成，再运用求值域（但要注意讨论二次项系数为0的情况）.9.导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值.10.分类讨论法：对于含参数的函数求值域或最值，最常用的方法是数形结合、分类讨论。通常先作出函数的一般图象（形状），再由函数图象左右移动悟出讨论标准！二次函数，的最值问题（对称轴含参数问题、区间含参数问题）是最典型的，注意是否需要讨论开口方向=1\*GB3①对称轴与轴上区间的两端点，的三种位置关系；=2\*GB3②对称轴与轴上区间的中点的三种位置关系；同理:对于函数，的最值问题（对称轴含参数问题），可参照上述思路解决.【例题分析】例1．，的值域为______．例2．函数的值域是_________例3．函数的值域为。例4．函数的值域为。例5．已知函数，则它的值域为。例6.已知函数，则该函数在，上的值域是。例7.函数的值域是。【变式训练】1．函数，的值域是________________.2．函数的值域是________.3.函数的值域为.4.函数，，的值域为.5.函数，，的值域为______．

知识点四函数的性质：单调性【基础指数框架】1.单调性的定义：增（减）函数：一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有______________，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间。注意：(1)“任意”、“都有”等关键词；(2)单调性、单调区间是有区别的；2.单调区间与单调性：如果函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间.3.常见函数的单调性：（1）一次函数，当时，函数在上____________；当时，函数在上____________.（2）二次函数，当，函数开口向________，函数在上_________，函数在上_________；当，函数开口向________，函数在上_________，函数在上_________.（3）反比例函数，当时，函数在上_________，在上_________；当时，函数在上_________，在上_________.注意：在上单调递增，在上也单调递增，在上不一定单调递增4.单调性的求解：（1）导数法；（2）作差法；（3）作商法.5.复合函数的单调性：同增异减，注意定义域.6.单调性的应用：已知函数的定义域为（1）若在定义域上单调递增，且，只需满足______________且_____________________；（2）若在定义域上单调递减，且，只需满足______________且_____________________；【例题分析】例1.下列函数值中，在区间上不是单调函数的是（）A． B． C． D．例2.求的函数的增区间，减区间.例3．已知函数为上的增函数，若，则实数的取值范围为________．例4．已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是.例5.已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么不等式的解集的补集是(全集为).例6.函数的单调增区间为.例7.函数的单调增区间是__________.【变式训练】1．函数的单调递增区间是__________.2．函数的单调减区间为_________.3．函数是上的减函数，若，，，则大小关系为.4.设函数，若，则实数的取值范围是.5．已知函数，若，则正数的取值范围是________．6.函数的单调递减区间为.7.设为定义在上的减函数，且，则下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）其中为R上的增函数的序号是______________.

知识点五函数的性质：奇偶性【基础指数框架】1.函数的奇偶性一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做偶函数．一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做奇函数．2.函数具有奇偶性的条件（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定是否等于．（2）分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．（3）若奇函数的定义域包括，则．3.判断奇偶性的步骤（1）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，（2）在定义域关于原点对称的情况下，判断___________与___________之间的关系4.利用奇偶性求解析式利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．5.利用奇偶性求参数（1）定义法：若为奇函数，则___________________，若为偶函数，则___________________。（2）特殊值法：若具有奇偶性，则定义域关于__________对称；若为奇函数，则，（3）常见的两个函数：若一次函数为奇函数，则___________________；若二次函数为偶函数，则___________________；6.利用单调性、奇偶性比较大小利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上比较大小．【例题分析】例1.判断下列函数的奇偶性．（1）f(x)＝2x＋；（2）f(x)＝2－|x|；（3）f(x)＝＋；（4）f(x)＝.例2.已知是上的奇函数，且当时，，则当时，.例3.已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______．例4.若函数为偶函数，则实数的值为.例5.若函数是奇函数，则的值为（）A．1 B．0 C．－1 D．±1例6．若函数是偶函数，且，则与的大小关系为.例7．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（）A． B．C．D．例8．若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是.【变式训练】1．判断下列函数的奇偶性:(1);(2);(3);(4).2．已知函数的图象关于原点对称，且当时，.则在上的表达式为______．3．已知偶函数在时的解析式为，则时，的解式为_______.4．已知函数为偶函数，则的值为__________.5.已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的取值范围是()A（，）B.［，）C.（，）D.［，）6.已知为奇函数，当时，，则的解集为()A．(－∞，－2)B．(2，＋∞)C．(－2,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)7.若为奇函数，且在内是增函数，又,则的解集为.

知识点六函数的性质：周期性与对称性【基础指数框架】1．周期性：对任意的，都有，则叫做函数的周期．①若，周期；②若（相反），周期；③若()（互倒），周期；④若()（反倒），周期；⑤若，周期；⑥若，周期．2.函数的称性（1）一个函数的对称关系：若函数满足，则关于直线对称，若函数满足，则关于直线对称．（2）两个函数的对称关系：函数与函数的图像关于直线对称；（巧记：相等求）函数与函数的图像关于点_____________对称；（巧记：相等求）（3）中心对称：①，关于对称②，关于