专题02实数（中等类型）

思维导图专题02实数思维导图【类型覆盖】类型一、实数的非负性【解惑】若，则等于（

）A．1 B．1 C． D．【答案】B【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据非负性求出的值，再代入求值即可．【详解】∵，，，∴，，解得，，∴，故选：B．【融会贯通】1．若，则等于（

）A．5 B．－1 C．13 D．1【答案】A【分析】本题主要考查非负数的性质，根据非负数的性质求出的值，再代入即可求出．【详解】解：，，故选：A．2．若与互为相反数，则的绝对值为．【答案】/【分析】本题考查了相反数，绝对值，算术平方根的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，再利用算术平方根和绝对值的非负性求出、，最后根据绝对值的意义进行计算即可．【详解】解：与互为相反数又，，，，故答案为：．3．若a，b为实数，且满足，那么．【答案】8【分析】此题考查了绝对值的非负性及算术平方根的非负性，正确理解非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性得到，，即可求出答案．【详解】∵∴，∴，，∴．故答案为：8．类型二、估算算术平方根【解惑】估计的值应在（

）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【答案】C【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据题意得到是解题的关键．先估算出的范围，再得到的范围，即可求解．【详解】解：，，，估计的值应在5和6之间，故选：．【融会贯通】1．估计的值是在（

）A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间【答案】B【分析】本题考查估算无理数大小，解题的关键是掌握算术平方根的定义，能估算无理数大小．由，可得，即可得到答案．【详解】解：，，故选：B2．已知为两个连续的整数，且，则的值为．【答案】25【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据得到，，再代入求值即可．【详解】∵，∴，∵，∴，，∴，故答案为：．3．已知a，b为两个连续整数，且，则．【答案】7【分析】本题主要考查了无理数大小的估算以及代数式求值，先估算出即可得出，，，再代入代数式求值即可．【详解】解：∵，∴，∵a，b为两个连续整数，且，∴，，∴．故答案为：7．类型三、实数的大小比较【解惑】在数轴上有两个实数，且，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了实数与数轴及相反数的定义，由数轴上的数右边的数总是大于左边的数可得：，利用a到原点距离大于b到原点距离，再根据相反数的定义即可判断．【详解】解：，，，，，，故选项A正确，符合题意，选项B，C，D不正确，不符合题意；故选：A．【融会贯通】1．比较3，，的大小，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了实数的大小比较，能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键，当二次根式和三次根式无法再化简时，可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比较.先把3化成二次根式和三次根式的形式，再把3和做比较即可得到答案.【详解】解：∵∴，，故，故答案为：D.2．比较大小：（请填写“>”、“<”或“=”）．【答案】【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小．【详解】解：，，∵，∴，故答案为：．3．比较大小：（填“”“”或“”）．【答案】【分析】本题考查了实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．根据，即，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．类型四、实数的绝对值化简【解惑】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴可知，，即，，再运算绝对值即可求解．【详解】解：由数轴可知，，即，，．故选：B．【融会贯通】1．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查实数与数轴化简绝对值，求一个数的算术平方根．先根据数轴，得到，进而得到，再根据绝对值和算术平方根的定义，进行化简即可．【详解】解：由数轴可知：，∴，∴；故选A．2．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式．【答案】/【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可．【详解】解：由图可知：．故答案为：3．实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，(1)比较大小a0；0；0；0(2)化简：【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质：（1）根据数轴可得，据此可得答案；（2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案．【详解】（1）解：由数轴可知，，∴，；故答案为：；（2）解：∵，，∴．类型五、程序下的实数运算【解惑】根据以下程序，当输入时，输出的值为（

）A． B． C． D．4【答案】D【分析】判断输入的的值与1的大小，再将代入正确的关系式计算即可．本题主要考查程序框图的应用，解题的关键在于正确判断输入的值与1的大小关系，从而将的值代入正确的关系式．【详解】解：，．故选：D．【融会贯通】1．有一个数值转换器，原理如图所示，若输出的y为时，则输入的x值是（

）A．3 B．3或9 C．（n为正整数） D．3或（n为正整数）【答案】D【分析】本题考查算术平方根和无理数，正确理解题目中规定的运算是关键．根据运算的定义即可直接求解；【详解】解：当输入的数是3时，输出的y为；当输入的数是时，输出的y为；当输入的数是时，输出的y为；……所以当输出的y为时，输入的数一定是3或（n为正整数），故选：D．2．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是．【答案】或【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键．按照程序的运算步骤进行计算，即可解答．【详解】解：若1次运算输出的值是时，，，解得：或；若2次运算输出的值是时，，，解答：或；若3次运算输出的值是时，，，解答：或；，且取负整数，或，故答案为：或．3．如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；(3)若输出的，则x的最小整数值是_______.【答案】(1)(2)0和1(3)5【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；（3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解．【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数，继续取6算术平方根，是无理数，所以输出的y值为；故答案为：；（2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数；故答案为：0，1；（3）∵输出的，∴，∴输入的，当时，5的算术平方根是，是无理数，所以输出的y值为，∴x的最小整数值是．类型六、算术平方根、立方根的规律【解惑】如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到．(1)以下是小明探究的过程，请补充完整：①由，可以确定是位数；②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________．(2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由．【答案】(1)①两；②，；③(2)，理由见解析【分析】本题考查算术平方根；（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可．【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数；②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则．故答案为：①两；②，；③；（2）已知也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下：①由，可以确定是两位数；②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较大的个位数字，则．【融会贯通】1．（1）观察发现：…0.00010.01110010000……0.01x1y100…表格中，．（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位．（3）规律运用：①已知，则______；②已知，则m＝______．【答案】（1）0.1；10

（2）右；1

（3）①②25【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题：（1）直接计算即可；（2）观察（1）中表格数据，找出规律；（3）利用（2）中找出的规律求解．【详解】解：（1），，故答案为：，10；（2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．故答案为：右，1；（3）①已知，则，②已知，，则，∴故答案为：①22.4；②25．2．阅读下列解题过程：……(1)计算：(2)按照你所发现的规律，猜想：（n为正整数）；(3)计算：【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．（1）利用算术平方根的意义解答即可；（2）利用式子的规律解答即可；（3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：依据上述运算的规律可得：＝，故答案为：；（3）解：原式．3．（1）填表并观察规律：a0.00640.64646400____________________________________________（2）根据你发现的规律填空：①已知，则___________；②已知，则___________．（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的【分析】本题考查算术平方根中的规律探究：（1）根据算术平方根的定义，填表即可；（2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可；（3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可．【详解】解：（1）填表如下：a0.00640.646464000.080.8880（2）①，则：；故答案为：5800；②已知，则；故答案为：0.001225；（3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的．类型七、平方根、立方根解方程【解惑】求下列各式中x的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了利用平方根解方程，正确掌握平方根的定义是解题的关键．（1）先方程两边同时除以2，再开平方，即可作答．（2）先移项，再开平方，即可作答．【详解】（1）解：，，解得；（2）解：，，∴．【融会贯通】1．求的值．(1)；(2)．【答案】(1)或(2)或【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程：（1）根据求平方根的方法解方程即可；（2）根据求平方根的方法解方程即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴或；（2）解：∵，∴，∴，∴或．2．求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)，【分析】本题考查了利用平方根解方程：（1）根据平方根定义即可求解；（2）移项后，根据平方根定义即可求解；（3）化系数为1后，根据平方根定义即可求解；（4）移项后，根据平方根定义即可求解；熟练掌握平方根的定义是解题的关键．【详解】（1）解：，．（2）移项，得：,．（3）整理得：，．（4）移项，得：，，，．3．求下列式子中的值．（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了运用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）方程两边同时开方，即可作答．（2）方程两边先除以4，再开方，即可作答．【详解】解：（1）∴（2）类型八、平方根与立方根的实际应用【解惑】如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形．(1)求拼成的大正方形纸片的边长；(2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？【答案】(1)(2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键．（1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案；（2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案．【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形，大正方形的边长为；（2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．理由如下：设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为，∵，不符合题意，∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．【融会贯通】1．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为．(1)求这块长方形空地的周长；(2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？【答案】(1)这块长方形空地的周长为米(2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行【分析】本题考查了平方根的应用；（1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长；（2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可．【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为，由题意得：，∴（负值已舍去），∴，，∴这块长方形空地的周长为米；（2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，由题意得：，解得：（负值已舍去），∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为，∵，∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行．2．如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．(1)求该正方体铁块的棱长及表面积；(2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．【答案】(1)棱长为厘米，表面积为平方厘米(2)5厘米【分析】本题考查了立方根、平方根的应用，熟练掌握相关知识点是解此题的关键．（1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答即可；（2）设长方体铁块的底面正方形的边长为x厘米，根据题意列出式子计算即可得出答案．【详解】（1）解：由题意可知，该正方体铁块的棱长为（厘米）；该正方体铁块的表面积为（平方厘米）；（2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为x厘米．由题意，得，解得（负值已舍去）．答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米．3．如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27．(1)求出这个魔方的棱长．(2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．(3)在图2的方格中画一个面积为10的正方形．【答案】(1)3(2)5，(3)见解析【分析】本题考查了立方根的计算，勾股定理，网格作图．(1)设魔方的棱长为x，根据题意，得，解答即可．(2)根据分割法求面积，根据正方形的性质求边长即可．(3)设正方形的边长为m，根据题意，得，求得边长，再仿照阴影图形的结构，画图解答即可．【详解】（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得，解得．故魔方的棱长为3．（2）∵魔方的棱长为3，∴阴影面积为：，设正方形的边长为y，则，解得（舍去），故正方形的面积是5，边长为．（3）设正方形的边长为m，根据题意，得，解得（舍去），画图如下：【一览众山小】1．在实数，，，中，最小的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．先化简绝对值，根据负数的绝对值越大，这个数越小即可进行比较．【详解】解：∵∴，故选：C．2．如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，先根据数轴上两点距离计算公式得到，再由线段中点的定义得到，则点C表示的数为．【详解】解：∵数轴上表示1，的点分别为A，B，∴，∵点A是的中点，∴，∴点C表示的数为，故选：C．3．估算的值约为（误差小于0.1）（