材料成型原理第十三章答案

14思考与练习

1.什么叫张量张量有什么性质

答：张量：由假设干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合,

称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢量，即9个分量才能完整

地表示。

它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系

来换算。

基本性质：

1）张量不变量张量的分量一定可以组成某些函数八号），这些函

数值与坐标轴无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变

量。二阶张量存在三个独立的不变量。

2）张量可以叠加和分解几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为

另一个同阶张量。两个一样的张量之差定义为零张量。

3）张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量假设张量具有

性质与=%,就叫对称张量；假设张量具有性质与二一与，且当i二j

Pij工。户

时对应的分量为0,则叫反对称张量；如果张量，就叫非对称

张量。任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。

4）二阶对称张量存在三个主轴和三个主值如果以主轴为坐标轴，

则两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标一样的三个分

量，叫作主值。

2.若何表示任意斜微分面上的应力

答：假设过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量，则借助静

力平衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。

如图14-1所示，设过Q点任一斜切面的法线N与三个坐标轴的方向

余弦为Lm,n,

l=cos(N,x);

m=cos(N,y);

n=cos(N,z)o

假设斜微分面ABC的面积为dF,

微分面OBC(x面)、OCA(y面)、OAB(z

面)的微分面积分别为dFx、dFy、dFz,

则各微分面之间的关系为

dFx=ldF；dFy二mdF；dFz=ndF

图14-1任意斜切微分面上的应力

又设斜微分面ABC上的全应力为S,

它在二坐标轴方向卜的分量为Sx、

Sy、Sz,由静力平衡条件2乙=°,得:

整理得

Sx=axl+ryxm+T^n

Sv=Trvl+(yYtn+T7Vn»

S=rl+vm+(y.n

zxzyz(14-6)

用角标符号简记为邑二°也i,j=x,y,z)

显然，全应力§2=s-；

斜微分面上的正应力b为全应力S在法线N方向的投影，它等于

工，S\S?在N方向上的投影之和，即

??OO

=al+(jm+an4-2(Tbn+T/wt+T^nl)

xyzxvyz(14-7)

斜切微分面上的切应力为1=§2-。2（14-8）

所以，过一点的三个正交微分面上9个应力分量，可以求出过该点

任意方向微分面上的应力，也就是说，这9个应力分量可以全面表示该

点应力状况，亦即可以确定该点的应力状态。

3.应力张量不变量若何表达

答：应力张量的三个不变量为

其中“、，2、心为应力张量第一、第二、第三不变量。

4.应力偏张量和应力球张量的物理意义是什么

答：应力：在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力，

称为内力。单位面积上的内力称为应力，可采用截面法进展分析

应力球张量：也称静水应力状态，其任何方向都是主方向，且主应力

一样，均为平均应力。

特点:在任何切平面上都没有切应力，所以不能使物体产生形状变化,

而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形。

应力偏张量：是由原应力张量分解出应力球张量后得到的。应力偏张

量的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都与原应力张

量一样。

特点：应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产生体积变化C材

料的塑性变形是由应力偏张量引起的。

5.平面应力状态和纯切应力状态有何特点？

答：平面应力状态的特点为：变形体内各质点与某坐标轴垂直的平面上

没有应力。

纯切应力状态：

6.等效应力有何特点写出其数学表达式。

答：等效应力的特点：等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它

可以在一定意义上“代表〃整个应力状态中的偏张量局部，因而与

材料的塑性变形密切有关。人们把它称为广义应力或应力强度。等

效应力也是一个不变量。其数学表达式如下：

等效应力在主轴坐标系中定义为

在任意坐标系中定义为

7.受力物体内一点的应力张量为

’505080、

500-75

180-75-3oJ(MPa),

试求外法线方向余弦为l=m=l/2,n=友的斜切面上的全应力、

正应力和切应力。

解：设全应力为S,Sx,%,s:分别为S在三轴中的分量，

则有：

ns=50x—+50x—+80x—==106.6

r2272

5=50x1+0x1-75x-L=-28.0

y22V2

5,=80xl-75xl-30x^=-18.7

-22V2

52=S：+S；+S：

则得到S=111.79MPa

a=Sxl+Sym+Szn则得到o=26.1MPa

222

-^r=S-a则得到r=108.7MPa

8.受力体内一点的应力张量分别为

0-10"

-100'

(TO010>

1720、

②=In17a200'

<00100>

-40、

,1o（MPa）

0一4,

1）画出该点的应力单元体；

2）求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、主切应力、

最大切应力、等效应力、应力偏张量和应力球张量；

3）画出该点的应力莫尔圆。

解：1）略

2）在①状态下：

Ji=,+%'+巴二10

222

j2=-（）+%，+%+&=200

J3=5。、巴+2xy^yz^zx_(dyz+zx+xy)—Q

32

式(14—10)和由cr-J,(7-J2o--J3=0

=>6=20,02=0,。3=-10

7一1科=0M_1

L五L双

11

zF.〃T

代入公式对于%=20时：

I

对于』=o时：

对于0'3=—10时：

<T1

r12=±=±10?=1%=0

/3=0

主切应力

最大切应力

b=KJ(b]-，尸+(5_,)2+5-CT]/=,3J；r—

等效应力：6="00

应力偏张量:

20

0-10

T

-40

0

亍

20

-100

T

0加=；((7]+%+。3)=1(20+0-10)=^

故

，40