数系的扩充和复数的概念高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及相关概念.3.理解两个复数相等的含义.4.体会数学抽象的过程,加强数学运算能力的培养.【情境探究】1.回顾一元二次方程的解,明确实数的概念与分类:(1)方程x2-2x-3=0的正整数解是__,有理数解是_____,实数解是_____.(2)方程x2-2x-1=0的无理数解是,实数解是.必备知识生成33,-13,-12.(1)方程x2=-1在实数集中是否有解?提示:因为实数的平方都是非负数,所以方程x2=-1在实数集中无解.(2)为了解决此类方程无实数解的问题,我们引入新数i,定义i·i=i2=-1,将实数集加以扩充,得到一个新的数集,那么此方程在这个数集中就有一个解为__.i3.(1)复数a+bi(a,b∈R)何时表示零?提示:当且仅当a=b=0时表示零.(2)实数集R与复数集C有什么关系?提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即RC.用图形语言描述:

实数集经过扩充后，我们希望加法和乘法满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律，依此设想：一、概念形成

为了解决像这样的方程在实数集中无解的问题,我们设想引入一个新数,使得

，是方程

的解,即使得成立.1.新数i的引入与性质:

②

把实数

与

相加，结果记作：.①

把实数

与

相乘，结果记作：

；

所有实数以及

都可写成

的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如

的数叫做复数.形如

的数叫做复数.

叫做虚数单位.

叫做复数的实部

叫做复数的虚部2.复数的概念:3.复数的代数形式:概念形成复数通常用字母

表示，即全体复数所构成的集合

叫做复数集.

在复数集

中任取两个数

和

我们规定：

相等，

当且仅当

且.4.复数相等:概念形成当且仅当

时，它叫做实数；当且仅当

时，它是实数;当且仅当

时，它叫做虚数；当且仅当

时，它叫做纯虚数.5.复数的分类:概念形成例如，

，

，

，

都是虚数，它们的实部分别是

，，

，0，虚部分别是，，，，并且其

中只有是纯虚数.对于复数概念形成思考：复数集C与实数集R之间有什么关系？实数(b=0)虚数(b≠0)纯虚数(a=0,b≠0)非纯虚数(a≠0,b≠0)复数实数集R是复数集C的真子集.复数

可以分类如下：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系图：虚数集实数集纯虚数集复数集例题讲解注意：0是复数，因为0是实数，所以0也是复数，将0写成的形式为，它的实部和虚部都是0.例1.下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，哪些是复数？

，

，

，

，

，

，

，

，

，,.(课本P70练习改编)解：实数：，

，，

，;虚数：，，，，

，.纯虚数：，，；以上全体数都是复数．二、复数相等当堂检测1.说出下列复数的实部和虚部：2.说出下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？为什么？3.求满足下列条件的实数x,y的值：解：根据复数相等的充要条件得：数系的扩充和复数的概念核心知识方法总结核心素养易错提醒1.数系的扩充.2.复数有关的概念(1)判断复数是实数、虚数或者纯虚数：①保证复数的实部、虚部均有意义．②根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．(2)复数相等求参数的步骤：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题.(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意