沪教版高二数学《曲线与方程》练习题

一、曲线与方程

1.已知曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，则下列命题正确的是()

A.坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上

B.方程f(x,y)=0是曲线C的方程

C.曲线C是满足方程f(x,y)=0的曲线

D.方程f(x,y)=0的曲线包含曲线C上任意一点

2.已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上，那么下列结论正确的是()

A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x,y)=0

B.凡坐标不适合f(x,y)=0的点都不在曲线C上

C.不在曲线C上的点的坐标必不适合方程f(x,y)=0

D.不在曲线C上的点的坐标有的适合方程f(x,y)=0,有的不适合方程f(x,y)

=0

3.等腰AABC中，若底边两端点坐标分别是B(4,2),C(—2,0),则顶点A的轨迹方

程是()

A.x-3y+2=0(xWl)B.3x-y-2=0(x#l)

C.3x+y—4=0(x#l)D.3x-y+l=0(x#l)

“2”2n

6.由动点p向力=1引两条切线PA、PB,切点为A,B,/APB=60则

P的轨迹方程O

7.已知点A(-a,0),B(a,0)(aGR),若动点C与点A、B构成直角三角形，试

求直角顶点C的轨迹方程。

8.求由方程|2x+3|+|y—2|=3确定在多边形所围成的图形的面积S。

9.设曲线C的方程是丁=——X,将C沿X轴、y轴正向分别平行移动t,s单位长度

后得到曲线G。

(1)写出的曲线G方程；

A(工,—)

(2)证明曲线关于点2,2对称；

(3)如果曲线J和C有且仅有一个公共点，证明：4，且tWO。

参考答案

1.D(点评：曲线与方程的定义应包含两条：曲线上点的坐标都是方程的解，以方

程的解为坐标的点都是曲线上的点，因给出了曲线上的点的坐标都是方程的解，故以方程的

解为坐标的点必都在曲线上，于是对照定义知，答案应选D)

2.C(点评：本题与上题是曲线与方程的定义中所要求的两个要求的不同表现，对

于本题，设方程f(x,y)=0所表示的曲线为E,依题意有曲线E为曲线C的一部分，故不

在曲线C上的点的必不适合方程f(x,y)=0)

3.C(点评：设A(x,y),显然A不能是BC的中点，故x=l,而且|AB|=|AC|,

从而jQ+21+y2=J(x-4)2+(y―2)2,化简得3x+y—4=0,选C,另一思路为：A

的轨迹为线段BC的中垂线，从而由点斜式亦可得出点A的轨迹方程)

4.D(点评：由1一/2°,得一iWyWl,故排除A与C,另一方面，由曲线方程

x=^-y2,得曲线中x'O,从而曲线应在y轴的右侧，于是排除B)

5.(4,—2)(点评：将曲线方程变形为/+/-20+(-4%+2丁+20)4=0,曲线

恒过定点，说明它与a的取值无关，从而含a的系数为0,即一4x+2y+20=0,于是余下的项

22

x+y-20=0；解这个联立方程组，即得定点的坐标)

6.XA2+yA2=4

7./+y2=q2(y/0)(点评：设c(x,y),则可由|CA『+|CB/=|得

到关于X与y的方程，也可由CALCB,得到它们的斜率的积的关系，然后将C的坐标代

入，得到关于x与y的方程)

3|,-1

8.9(点评：方程所表示的曲线是以(0,2),(-3,2),2为顶

J_x3x6=9

点的菱形，其两条对角线分别为3和6,从而面积为2)

9.(1)y=(x—/)3-(x-0+s。(2)点评：在曲线C上任取一点耳(X"%),它关

/_再+%§_必+y

于点A的对称点为々(超，丁2),于是有22,22从而—%2,

为=5一%,将它们代入曲线c的方程得=(/_/)3_(々_/)+S,故§2(%2,%)在

曲线G上，同样可以证明，在曲线G上的点关于A的对称点在曲线C上，因此，曲线C

与G关于点A对称。(3)点评：因为曲线G与C有且仅有一个公共点，故方程组

(y=x3-x

<

y=(x—“3—(x—/)+s有且仅有一组解，两式消去丫并整理得：

3比2—3/x+(r—‘―s)=0。该方程有关于x的一元二次方程(tWO)有且仅有一个解,

从而必有tWO,且八=9〃-12《'—.—s)=°,化简即得所证结论。

二、圆与方程

1.圆(x-2>+(y+3)2=9的圆心坐标和半径分别是()

A.(2,-3)、3B.(2,-3)、73C.(-2,3)、3D.(-2,3)、V3

2.点P(m,5)与圆x2+y2=25的位置关系是()

A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.在圆上或圆外

3.已知圆C与圆(x-l)2+y2=l关于直线y=-x对称，则圆C的方程是(

A.(x-l)2+y2=lB.x2+y2=lC.x2+(y+l)2=l

D.x2+(y-l)2=l

4.点(1,1)在圆(x-a>+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围是()

A.-l<a<lB.0<a<lC.a>l或a>-lD.a=±l

5.(2006重庆高考)以点(2,—1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为()

A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-l)2=3

C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2p+(y-1)2=3

1、答案：A

2、分析：把点P(m,5)代入x?+y2=25,得m2K),所以在圆上或圆外。答案：D

3、分析：圆C与圆(x-l)2+y2=l关于直线y=-x对称，其半径不变，只求出圆心即可，而关于直

线y=x对称,则横、纵坐标交换位置，并取相反数，由圆(x-l)2+y2=l的圆心为(1,0),知对称

的圆心为(0,-1).答案:C

4、分析：由于点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a>=4的内部，所以(l-a)2+(l+a)2<4,a2<l.所以

答案：A

J3x2-4x(-l)5L

5、分析:r+3

V32+42

答案：C

1.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是()

22

A.a<-2或a>—B.--<a<0

33

2

C.-2<a<0D.-2<a<-

3

2.过原点且在x,y轴上的截距分别为p,q(p,q均不为0)的圆的方程是()

A.x2+y2-px-qy=0B,x2+y2+px-qy=0

C.x2+y2-px+qy=0D.x2+y2+px+qy=0

3.已知圆C的方程为f(x,y)=0,点A(xo,yo)是圆外的一点，那么方程f(x,y)-f(xo,yo)=O表示的曲线

是()

A.与圆C重合的圆B.过点A(xo,y。)与圆C相交的圆

C.过点A(xo,yo)与圆C同心的圆D.可能不是圆

1、分析：由二元二次方程表示圆的条件，有D2+E2-4F=a2+(2a)2-4(2a2+a-l)>0.

2

解之，可得-2Va<—.

3

答案：D

2、分析：由题意知圆过原点，且在x,y轴上的截距分别为p、q,则圆的圆心坐标为(1,£)且

常数项为0.

答案：A

2222

3、分析：设f(x,y)=x+y+Dx+Ey+F=0,则f(xo,yo)=xo+yo+Dxo+Eyo+F>0,从而

2

f(x,y)-f(xo,yo)=x+

y2+Dx+Ey+F-xo2-y()2_Dxo-Ey(rF=O,过点A(xo,yo)与圆C同心.

答案：C

1.(2006北京高考)平面a的斜线AB交a于点B,过定点A的动直线1与AB垂直，且交a于点

C,则动点C的轨迹是()

A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支

2.(2006江苏高考)圆(x-l)2+(y+g)2=l的切线方程中有一个是(

)

B.x+y=0C.x=0D.y=0

3.（2006江西高考）已知圆M：（x+cosO）2+（y—sin0）2=l,直线1：y=kx,下面四个命题：

A.对任意实数k与仇直线1和圆M相切；

B.对任意实数k与0,直线1和圆M有公共点；

C.对任意实数0,必存在实数k,使得直线1与圆M相切；

D.对任意实数k,必存在实数。，使得直线1与圆M相切.

其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）

4.（2006上海高考）已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是点P,则点P到直线x-y-l=0的距离是

5.（2006湖南高考）若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2

41，则直线1的倾斜角的取值范围是（）

71717T57r「八

A.r[—,—]B.r1—,—]C.1一,-]D.[0,

124121263

-]

2

1、答案：A

分析：圆心为（1,-百）,半径为1,故此圆必与y轴（x=0湘切.

2、答案：C

点评：本题主要考查圆的定义及直线与圆的位置关系.

八|一左cos8-sine|J1+k2sin（8+0）

3、分析：圆心坐标为（一cos0,sin0）,d=---------,-------=----------,-------=|sin（0+（p）|<l.

Jl+YJ1+—2

答案：BD

4、答案：-^――

2

5、答案：B

1.设m>0,则直线2（x+y）+l+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为（）

A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切

2.圆x2+y2—4x+4y+6=0截直线x—y—5=0所得的弦长等于（）

rz5V2

A.J6B.------C.1D.5

2

3.（2004全国高考III,4）圆x2+y2-4x=0在点P（l,后）处的切线方程为（）

A.X+A/3y—2=0B.X+A/3y—4=0

C.x—V3y+4=0D.x—V3y+2=0

答案：

1、分析：圆心到直线的距离为d=t'，圆半径为J温.

2

222

，直线与圆的位置关系是相切或相离.

答案：C

2、分析：圆心到直线的距离为容,半径为2,弦长为2,(行尸―(字［=76.

答案：A

x2+y2-4x=0,

3、解法一:.解得x2-4x+(kx-k+V3)2=0.

y=kx-k+

该二次方程应有两相等实根，即A=0,解得k=、3.

3

y—V3=-^-(x—1),BPx--\/3y+2=0.

解法二：：点(1,百)在圆x2+y2-4x=0上,

/.点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.

又：圆心为(2,0),；.“一返心=-1

2-1

解得k=g,•••切线方程为x-V3y+2=0.

答案：D

**圆与圆的位置关系

例1、已知圆Ci：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：x?+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.

例2、求过点A(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.

解：例1、

2

方法一:圆Ci与圆C2的方程联立得到方程组，+，y+2x+8y-8=0,(1)

%2+y2-4x-4y-2=0.(2)

①-②得x+2y-l=0,

1-I-y

由③得丫=与二把上式代入①并整理得xZ2x-3=0.④

方程④的判别式A=(-2)2-4xlx(-3)=16>0,所以方程④有两个不等的实数根，即圆G与圆C2相

交.

方法二:把圆Ci：x2+y2+2x+8y-8=0,[g]C2：x2+y2-4x-4y-2=0,化为标准方程，得(x+l>+(y+4)2=25与

(x-2)2+(y-2)2=10.

圆Ci的圆心是点(-1,-4),半径长n=5;

圆C2的圆心是点(2,2),半径长r2=V10.

圆G与圆C2的连心线的长为J(—1—2)2+(T—2尸=3/，圆Ci与圆C2的半径长之和为

n+r2=5+V10,

半径长之差为r「r2=5-、/HL

而5-A/15"<3A/5<5+V10^,EPr「r2<3君〈口+总，

所以圆Ci与圆C2相交，它们有两个公共点A、B.

例2、将圆C化为标准方程，得(x+5)2+(y+5)2=50,

则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=F.

由题意，知0(0,0),A(0,6)在此圆上,且