专升本高等数学二（解答题）模拟试卷1（共135题）

专升本高等数学二（解答题）模拟试卷1（共9套）（共135题）专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第1套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求下列函数的全微分：标准答案：知识点解析：暂无解析2、已知两曲线y=f(x)与y=∫0arctanxe－t2dt在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限．标准答案：由已知条件得f(0)=0，f’(0)==1。故所求切线方程为y=x，且=2f’(0)=2．知识点解析：暂无解析3、求下列函数的全微分：标准答案：知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、如果+C，试求∫f(x)dx．标准答案：由＋C，两端对x求导，得，故∫f(x)dx=+C．知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、求微分方程xdy+(x一2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．标准答案：原方程可化为=一1．则由曲线y=x＋Cx2与直线x=1，x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积为V(C)=∫12π(x+Cx2)2dx=令V’(C)=．又V’’(C)=为唯一极小值点，也是最小值点，于是得y=y(x)=x一x2．知识点解析：暂无解析8、求微分方程(x2+2xy一y2)dx+(y2+2xy—x2)dy=0满足y｜x=1=1的特解．标准答案：原方程化为．积分得ln｜x｜+ln｜C｜=，即μ+1=Cx(μ2+1)．代入μ=，得通解x+y=C(x2+y2)．由初始条件y｜x=1=1知C=1，故特解为x+y=x2+y2．知识点解析：暂无解析9、标准答案：知识点解析：暂无解析10、求下列函数的定义域：标准答案：知识点解析：暂无解析11、求下列函数的偏导数：标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第2套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求．标准答案：1∞型，可采用恒等变形，再求极限．另解如下：知识点解析：暂无解析2、求极值：标准答案：知识点解析：暂无解析3、设有底为等边三角形的直柱体，体积为V，要使其表面积为最小，问底边的长应为多少?标准答案：设底边长为x，直柱体高为y，则V=，S’=，令S’=0得为极小值点，故在实际问题中，也为最小值点，即底边为时，表面积最小．知识点解析：暂无解析设直线y=ax与抛物线y=x2所围成图形的面积为S1，它们与直线x=1所围成图形的面积为S2，并且a＜1．4、试确定a的值，使S1+S2达到最小，并求出最小值；标准答案：因为a＜1，所以可分成0＜a＜1，a≤0两种情况，分别画出两种情况下的图形(如图3—8)，求出S1+S2的最小值后，即可确定a的值．当0＜a＜1时，S=S1+S2=∫0a(ax一x2)dx+∫a1(x2一ax)dx=，令S’=a2一是极小值，即最小值；当a≤0时，S=S1+S2=∫a0(ax一x2)dx+∫01(x2一ax)dx=，因为S’=(a2+1)＜0，S单调减少，故a=0时，S取得最小值，此时S=．比较可知，是最小值．知识点解析：暂无解析5、求该最小值所对应平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：Vx=．知识点解析：暂无解析6、求曲线，z=t2过点(，2，1)的切线方程及法平面方程·标准答案：x’(t)=，y’(t)=，z’(t)=2t．该点为t=1时的对应点，所以过该点切线方程的方向向量为s=(，一1，2、)．所求切线方程为：．法平面方程为：一(y一2)+2(z一1)=0，即2x一8y+16z一1=0．知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、将lnx展成x一2的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析9、求下列定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析10、求下列函数的定义域：标准答案：知识点解析：暂无解析11、求下列函数的偏导数：标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第3套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、若函数f(x)=在x=0处连续，求a．标准答案：由=一1．又因f(0)=a，所以当a=一1时，f(x)在x=0连续．知识点解析：暂无解析2、设f(x)=3x，g(x)=x3，求f’[g’(x)]．标准答案：因为f’(x)=3xln3，g’(x)=3x2，所以f’[g’(x)]=f’(3x2)=33x2ln3．知识点解析：暂无解析3、求函数y=的导数．标准答案：等式两边取对数得lny=，两边对x求导得，所以y’=．知识点解析：暂无解析4、设z=z(x,y)由下列方程确定，求dz。标准答案：知识点解析：暂无解析5、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．标准答案：xf’(x)+kf(x)=f’(x)，整理得，(x一1)f’(x)=一kf(x)，分离变量得，两边积分得lnf(x)=一kln(1一x)+C1，整理得lnf(x)(1一x)k=C1，即f(x)(1一x)k=C，所以设F(x)=f(x)(1一x)k，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理，故存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、计算(xey+x2y2)dxdy，其中D是由y=x2，y=4x2，y=1围成．标准答案：因D关于y轴对称，且xey是关于x的奇函数，x2y2是关于x的偶函数，则I=xeydxdy＋x2y2dxdy=0＋x2y2dxdy，I=2∫01dyx2y2dx=2∫01y2dy=．知识点解析：暂无解析9、计算二重积分，其中D是由y2=2x，x=1所围成的平面区域．标准答案：如图5—8所示，D=｛(x，y)｜≤x≤1｝，所以，知识点解析：暂无解析10、求函数单调区间和极值：标准答案：知识点解析：暂无解析11、根据a的取值情况，讨论级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析12、求下列函数的偏导数：标准答案：知识点解析：暂无解析13、求下列函数在给定的偏导数：标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第4套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极值：标准答案：知识点解析：暂无解析2、求下列函数的全微分：标准答案：知识点解析：暂无解析已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数，且f(1)=2，函数F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1．3、判别曲线y=F(x)在R上的凹凸性，并说明理由；标准答案：∵F’(x)=f(x)一2x，F’’(x)=f(x)一2，且由题意知f’(x)≤0(x∈R)，∴F’’(x)＜0(x∈R)，故曲线y=F(x)在R上是凸的；知识点解析：暂无解析4、证明：方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．标准答案：显然F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1＜0，F(1)=∫01f(t)dt一2＞∫012dt一2=0，∴方程F(x)=0在区间(0，1)内至少有一个实根．由F’’(x)＜0知F’(x)在R上单调递减，∴x＜1时，有F’(x)＞F’(1)=f(1)一2=0，由此知F(x)在(0，1)内单调递增，因此方程F(x)=0在(0，1)内至多只有一个实根，故方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．知识点解析：暂无解析5、设f(x)在[a，b]上具有一、二阶导数，f(a)=f(b)=0，又F(x)=(x一a)2f(x)．证明F(x)在(a，b)内至少存在一点ζ，使F’’(ζ)=0．标准答案：显然，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，故存在η∈(a，b)，使F’(η)=0，又由F’(x)=2(x一a)f(x)+(x一a)2f’(x)，知F’(a)=0．因此，F’(x)在[a，η]上满足罗尔定理条件，故存在ζ∈(a，η)(a，b)，使得F’’(ζ)=0．知识点解析：暂无解析6、设z=z(x,y)由下列方程确定，求dz。标准答案：知识点解析：暂无解析7、曲线x=y+ey，直线x=y，y=1，y=2围成一平面图形B，求图形B绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积Vy．标准答案：Vy=π∫12[(y+ey)2—y2]dy=π∫12(2yey＋e2y)dy=．知识点解析：暂无解析8、求曲面z=+y2平行于平面2x+2y—z=0的切平面方程．标准答案：设切点为P(x0,y0,z0)，曲面z=+y2在P点的法向量为(x0，2y0，一1)，所给平面的法向量为(2，2，一1)，由题设条件有+y02，由此得切点坐标为x0=2，y0=1，z0=3．于是所求切平面方程为2(x一2)+2(y一1)一(z一3)=0，即2x+2y—z一3=0．知识点解析：暂无解析9、求y’’+y’一12y=(x+2)e－x的通解．标准答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2+r一12=0，解得r1=一4，r2=3，所以对应的齐次方程的通解为=C1e－4x+C2e3x，λ=一1，不是特征方程的根，故设原方程的特解为y*=e－x(Ax+B)，则(y*)’=e－x(一Ax—B+A)，(y*)’’=e－x(Ax+B一2A)，代入原方程得e－x(Ax+B一2A)+e－x(一Ax—B+A)一12e－x(Ax+B)=(x+2)e－x，解得，故原方程的通解为y=C1e－4x+C2e3x+e－x．其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析10、标准答案：知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、求下列函数的偏导数：标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：当k=2时，f(x)在x=0处连续。知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第5套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求曲线y=e－x上通过原点的切线方程及和直线x+y=2垂直的法线方程．标准答案：曲线y=e－x上任一点(x0，e－x0)处的切线方程为y=e－x0=一(e－x)｜x=x0(x—x0)，即y—e－x0=一e－x0(x—x0)．因切线过原点，则将x=0，y=0代入得x0=一1，则切点为(一1，e)，故过原点的切线方程为y=一ex．又曲线y=e－x上任意点的法线方程为y—e－x0=ex0(x—x0)，因法线与x+y=2垂直，故有ex0．(一1)=一1，得x0=0，从而所求法线方程为y=x+1．知识点解析：暂无解析2、求下列函数的全微分：标准答案：知识点解析：暂无解析3、求下列函数的全微分：标准答案：知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内大于零，并满足xf'(x)=f(x)+x2(a为常数)，又曲线y=f(x)与直线x=0，x=1，y=0所围成图形S的面积为2．5、求函数f(x)；标准答案：将xf’(x)=f(x)+x2化成对上式两边积分，由f(x)在x=0的连续性得f(x)=x2+cx，(x∈[0，1])由已知2=∫01f(x)dx=∫01，c=4一a，f(x)=x2+(4一a)x；知识点解析：暂无解析6、a为何值时，图形S绕x轴旋转一周得到的体积最小．标准答案：V=V(a)=π∫01f2(x)dx=π∫01．V’(a)=，令V’(a)=0得a=一5，V’’(a)=，V’’(一5)=＞0．a=一5是V的唯一极小值点，从而为最小值点，因此a=一5时，旋转体的体积最小．知识点解析：暂无解析7、设z=．标准答案：知识点解析：暂无解析8、标准答案：由题意知：P(A)=1/2;P(B)=1/2;知识点解析：暂无解析9、求y’’＋2y’一8y=0的通解．标准答案：对应的特征方程为r2+2r一8=0，解得r=一4，2，故原方程的通解为y=C1e－4x+C2e2x．其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析10、求过点(2，1，1)，平行于直线且垂直于平面x+2y一3z+5=0的平面方程．标准答案：直线的方向向量为s=｛3，2，一1｝，平面的法向量为n1=｛1，2，一3｝，s×n1==一4i+8j+4k，于是所求平面方程为(x一2)一2(y一1)－(z－1)=0，即x一2y－z+1=0．知识点解析：暂无解析11、求下列不定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析12、求下列函数的偏导数：标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第6套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、若函数f(x)=在x=0处连续，求a．标准答案：由=一1．又因f(0)=a，所以当a=一1时，f(x)在x=0连续．知识点解析：暂无解析2、标准答案：知识点解析：暂无解析3、已知两曲线y=f(x)与y=∫0arctanxe－t2dt在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限．标准答案：由已知条件得f(0)=0，f’(0)==1。故所求切线方程为y=x，且=2f’(0)=2．知识点解析：暂无解析4、设f(x)在x0点可导，求．标准答案：=2f’(x0)．知识点解析：暂无解析5、标准答案：知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析已知曲线y=(a＞0)与曲线y=在点(x0，y0)处有公共切线，求8、常数a及切点(x0，y0)；标准答案：由题设条件可得解此方程组可得a=，x0=e2，y0=1，于是切点为(e2，1)．知识点解析：暂无解析9、两曲线与x轴围成的平面图形的面积S．标准答案：画出曲线y=的图形，则两曲线与x轴围成的平面图形(如图3—7)的面积S=∫01(e2y一e2y2)dy=．知识点解析：暂无解析10、求方程=0的通解．标准答案：原方程可分离变量，化为，两边积分得=C，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析11、求微分方程y’’一4y’+8y=sinx的一个特解．标准答案：y’’一4y’+8y=e0x(sinx+0cosx)，因特征方程为r2一4r+8=0，特征根为r=2±2i，因0+i不是特征根，所以设y*=C1sinx+C2cosx，代入原方程，所以，特解y*=．知识点解析：暂无解析12、通过点A(2，一1，3)作平面x－2y－2z+11=0的垂线，求垂线方程并求垂足的坐标．标准答案：取已知平面的法向量n=｛1，一2，一2｝作垂线的方向向量，由点向式可知垂线方程为，设垂足为Q(t+2，一2t－1，一2t+3)，则Q∈平面π，所以t+2－2(－2t－1)－2(－2t+3)+11=0．解得t=一1，故垂足的坐标为(1，1，5)．知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第7套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy．标准答案：将ey=sin(x+y)两边对x求导，有ey．y’=cos(x＋y)(1+y’)，所以y’=dx．知识点解析：暂无解析2、已知两曲线y=f(x)与y=∫0arctanxe－t2dt在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限．标准答案：由已知条件得f(0)=0，f’(0)==1。故所求切线方程为y=x，且=2f’(0)=2．知识点解析：暂无解析3、设z=z(x,y)由下列方程确定，求dz。标准答案：知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、设f(2x一1)=xlnx，求∫13f(t)dt．标准答案：∫13f(t)dt2∫12f(2x－1)dx=2∫12xlnxdx=∫12lnxdx2=x2lnx｜12一∫12xdx=4ln2－．知识点解析：暂无解析若当x→0时，函数f(x)=∫0x2t3－3t＋adt与x是等价无穷小量．6、求常数a的值，标准答案：由题意可知，=2a=1，得a=0；知识点解析：暂无解析7、证明：≤f(2)≤8．标准答案：已知f(x)=∫0x2t3－3tdt，设g(t)=2t3－3t则令g’(t)=ln2．2t3－3t(3t2－3)=0，得t=±1，g(0)=1，g(1)=，g(2)=4，故在[0，2]上≤g(t)≤4，由估值定理得2．≤∫02g(t)dt≤2．4，即≤f(2)≤8．知识点解析：暂无解析8、设z=．标准答案：知识点解析：暂无解析9、计算二重积分，其中D是由y2=2x，x=1所围成的平面区域．标准答案：如图5—8所示，D=｛(x，y)｜≤x≤1｝，所以，知识点解析：暂无解析10、标准答案：知识点解析：暂无解析11、通过点A(2，一1，3)作平面x－2y－2z+11=0的垂线，求垂线方程并求垂足的坐标．标准答案：取已知平面的法向量n=｛1，一2，一2｝作垂线的方向向量，由点向式可知垂线方程为，设垂足为Q(t+2，一2t－1，一2t+3)，则Q∈平面π，所以t+2－2(－2t－1)－2(－2t+3)+11=0．解得t=一1，故垂足的坐标为(1，1，5)．知识点解析：暂无解析12、求下列不定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析13、求下列函数的偏导数：标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第8套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极限．标准答案：因x≠0，且x→0时，有0≤≤｜x｜．而｜x｜=0，故由夹逼准则得原式=0．知识点解析：暂无解析2、求函数的连续区间和相应的极值：标准答案：知识点解析：暂无解析3、标准答案：知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、标准答案：知识点解析：暂无解析6、设微分方程y’’+ay’+by=cex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，求该微分方程．标准答案：特解的一阶导数y’=2e2x+(2+x)ex，y’’=4e2x+(3+x)ex，将y’，y’’代入到原方程中可得4e2x+(3+x)ex+a[2e2x+(2+x)ex]+b[e2x+(1+x)ex]=(4+2a+b)e2x+[(a+b+1)x+2a+b+3]ex=cex．对应系数相等，故可得故原方程为y’’一3y’+2y=一ex．知识点解析：暂无解析7、判断的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析8、求幂级数xn的收敛域．标准答案：所以收敛半径R=．当x=时，级数变为，发散；当x=时，级数变为，收敛．因此原级数的收敛域为．知识点解析：暂无解析9、求幂级数1+(｜x｜＜1)的和函数f(x)及其极值．标准答案：f’(x)=(一1)nx2n－1=．上式两边从0到x积分，得f(x)一f(0)=一∫0xln(1+x2)．由f(0)=1，得f(x)=1一ln(1+x2)，(｜x｜＜1)．令f’(x)=0，求得唯一驻点x=0．由于f’’(x)=，f’’(0)=一1＜0，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值f(0)=1．知识点解析：暂无解析10、设｜a｜=，｜b｜=1，〈a，b〉=，求向量a＋b与a一b的夹角．标准答案：a．b=｜a｜．｜b｜．cos〈a，b〉=．所以所求夹角为θ=arccos．知识点解析：暂无解析11、求下列不定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第9套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极限．标准答案：因x≠0，且x→0时，有0≤≤｜x｜．而｜x｜=0，故由夹逼准则得原式=0．知识点解析：暂无解析2、找出函数y=的间断点，并判断其类型．标准答案：当1一=0或x一1=0，即x=0或x=1时函数无意义．所以x=0，x=1是函数的两个间断点．因为=1。所以x=0是函数的第二类间断点，x=1是函数的第一类跳跃间断点．知识点解析：暂无解析3、求极值：标准答案：知识点解析：暂无解析4、已知曲线y=ax4+bx2+x2＋3在点(1，6)处与直线y=11x一5相切，求a，b．标准答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4，①再y’=4ax2+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与y=11x一5相切，所以y’｜x=1=4a+3b+2=11，②联立①②解得a=3，b=一1．知识点解析：暂无解析5、证明当x＞0时，有．标准答案：分析可得＞0，又可构造辅助函数，用单调性证明．令F(x)=(0＜x＜+∞)，因为F’(x)=＜0，所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又=0，所以，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即．知识点解析：暂无解析6、