四川省专升本（高等数学）模拟试卷1（共234题）

四川省专升本（高等数学）模拟试卷1（共9套）（共234题）四川省专升本（高等数学）模拟试卷第1套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求y=ex，y=sinx，x=0与x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积Vx．标准答案：由图可知所求体积为Vx=π(1一cos2x)dx=sin2．知识点解析：解答本题首先应画出[0，1]上y=ex和y=sinx的图象，确定积分变量，利用体积公式计算求得结果．2、将函数f(x)=展开成(x一1)的幂级数．标准答案：因为又=1一x+x2－x3+…+(－1)nxn+…(｜x｜＜1)，所以知识点解析：因为我们已知的展开式，所以首先将f(x)化成，然后套用已知展开式．这是间接展开的方法．二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：当x＞1时，lnx＞标准答案：先将不等式变形为(x+1)lnx＞2(x－1)．设F(x)=(x+1)lnx－2(x－1)，则因为当x=1时，F′(1)=0，所以当x＞1时，只要证明F′(x)＞F′(1)=0，即证F′(x)为单调递增函数即可．由于当x＞1时，F″(x)＞0，所以F′(x)为单调递增函数．即当x＞1时，F′(x)＞F′(1)=0．由于F′(x)＞0，得F(x)为单调递增函数，所以当x＞1，F(x)＞F(1)=0，即当x＞1时，(x+1)lnx－2(x－1)＞0．所以当x＞1时，lnx＞．知识点解析：通过构造函数F(x)=(x+1)lnx－2(x－1)，利用函数求导得出F(x)＞F(1)=0，即证明不等式成立．三、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)4、下列命题正确的是()A、无穷小量的倒数是无穷大量B、无穷小量是绝对值很小的数C、无穷小量是以零为极限的变量D、无界变量一定是无穷大量标准答案：C知识点解析：A项：无穷小量(除去零)的倒数是无穷大量．B项：无穷小量不是绝对值很小很小的数(除去零)．C项：无穷小量是以零为极限的变量．D项：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量是无界变量．5、=()A、0B、1C、D、一1标准答案：A知识点解析：∵=0，cosx有界，∴=0(无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量)．6、方程x3+2x2－x－2=0在[－3，2]上()A、有1个实根B、有2个实根C、至少有1个实根D、无实根标准答案：C知识点解析：设f(x)=x3+2x2一x一2(x∈[一3，2])．因为f(x)在区间[一3，2]上连续，且f(－3)=－8＜0，f(2)=12＞0，由“零点定理”可知，至少存在一点ξ∈(3，2)，使f(ξ)=0，所以方程在[一3，2]上至少有1个实根．7、设z=x3ey2，则dz=()A、6x2yey2dxdyB、x2ey2(3dx+2xydy)C、3x2ey2dxD、x3ey2dy标准答案：B知识点解析：公式法因为=3x2ey2．=x3.ey2.2y=2x3yey2，所以dz=dy=3x2ey2dx+23x3yey2dy=x2ey2(3dx+2xydy)．8、直线与平面x+y—z=2的位置关系是()A、平行B、直线在平面内C、垂直D、相交但不垂直标准答案：A知识点解析：由题意得直线过点(0，0，0)且直线的方向向量为(1，一1，0)，平面的法向量为(1，1，－1)，由(1，－1，0)×(1，1，－1)=0且点(0，0，0)不在平面上可得直线与平面平行．9、若f(x)dx=sin2，则xf(x2)dx=()A、sin2B、2sin2C、sin2D、标准答案：C知识点解析：本题考查的知识点是定积分的概念和定积分的换元积分法．换元时积分的上、下限一定要一起换．因为f(x)dx=sin2更广义的理解应为f(u)du=sin2，所以10、设向量a=－j+3k，b=，那么()A、a⊥bB、a／／b且a，b同向C、a／／b且a，b反向D、a与b既不平行，也不垂直标准答案：C知识点解析：由题意知a=－2b，则易判断a∥b且a，b反向．11、若幂级数在点x=2处收敛，则实数a的取值范围是()A、(1，3]B、[1，3)C、(1，3)D、[1，3]标准答案：A知识点解析：令x一a=t，，收敛半径R=1，收敛域为t∈[－1，1)，故的收敛域为[a一1，a+1)．∵2∈[a一1，a+1)．∴a一1≤2＜a+1．∴1＜a≤3．12、微分方程=y2cosx的通解是()A、y=C—cosxB、y－1=C－sinxC、y－1=C+sinxD、y=C—sinx标准答案：B知识点解析：y=0是原方程的常数解，当y≠0时，原方程可化为dy=cosxdx，积分得原方程的通解为y－1=C—sinx．13、设A，B是两个n阶方阵，若AB=0，则必有()A、A=0且B=0B、A=0或B=0C、｜A｜=0且｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0标准答案：D知识点解析：由A=，则AB=0，所以选项A，B错误；若AB=0，则｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，即｜A｜=0或｜B｜=0，即选项D正确．四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)14、设f′(1)=2，则=___________．标准答案：1知识点解析：由导数定义有15、函数y=x3一2x+1在区间[1，2]上的最小值为___________．标准答案：0知识点解析：y′=3x2－2，令其为0，得驻点x=＜1，所以将x=1，x=2代入y=x3一2x+1，得当x=1时，y值最小，最小值为0．16、比较积分大小：lnxdx___________(lnx)3dx．标准答案：＞知识点解析：因为在[1，2]上lnx＞(lnx)3，所以(lnx)3dx．17、已知平面π：2x+y－3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为___________．标准答案：知识点解析：已知平面π：2x+y一3z+2=0，其法向量n=(2，1，－3)．又知直线与平面π垂直，则直线的方向向量为s=(2，1，－3)，所以直线方程为18、已知f(0)=1，f(1)=2，f′(1)=3，则xf″(x)dx=___________．标准答案：2知识点解析：由题设有f′(x)dx=f′(1)－f(x)=f′(1)－f(1)+f(0)=3—2+1=2．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)19、计算标准答案：知识点解析：利用等价无穷小量代换，当x→0时，tanx～x，sinx4～x4，1一cosx～x2．20、求由方程siny+xey=0确定的曲线在点(0，π)处的切线方程．标准答案：方程两边对x求导得cosy.y′+ey+xey.y′=0，得所以故所求切线方程为y一π=eπ(x—0)，即eπx一y+π=0．知识点解析：本题主要考查如何求切线方程．已知切线过定点，只需求出函数在该点的导数值，即得切线的斜率，代入直线方程，进而求得切线方程．21、设f(x)为连续函数，且f(x)=x3+3xf(x)dx，求f(x)．标准答案：设A=f(x)dx，则f(x)=x3+3Ax．将上式两端在[0，1]上积分，得因此f(x)=x3一x．知识点解析：由于定积分f(x)dx存在，因此它表示一个确定的数值，设A=f(x)dx，则f(x)=x3+3Ax．这是解题的关键，为了能求出A，可考虑将左端也转化为A的表达式，为此将上式两端在[0，1]上取定积分，可得A=xdx，得出A的方程，可解出A，从而求得f(x)．22、设函数z=2cos2(x—y)，求标准答案：z=2cos2(x—y)=1+cos(2x—y)，=sin(2x—y)，[sin(2x—y)]=2cos(2x—y)．知识点解析：对y求偏导时，将x视为常数．求二阶混合偏导数时，次序可以互换，如本题中先求=－2sin(2x—y)，[一2sin(2x—y)]=2cos(2x—y)=23、计算(x+y)dx+(y—x)dy，其中L是先沿直线从点(1，1)到点(1，2)，然后再沿直线到点(4，2)的折线．标准答案：L1是先沿直线从点(1，1)到点(1，2)，L1：x=1，y：1→2，L2是沿直线点从(1，2)到点(4，2)，L2：y=2，x：1→4，知识点解析：本题考查对坐标曲线积分的计算．24、将函数f(x)=ln(1+x一2x2)展开为x0=0的幂级数．标准答案：因为1+x一2x2=(1+2x)(1－x)，所以ln(1+x一2x2)=ln(1+2x)+ln(1－x)．由ln(1+x)=(一1＜x＜1)。得ln(1+2x)=ln(1一x)=(一1＜x＜1)，故知识点解析：因为我们已知ln(1+x)和ln(1一x)的展开式，所以首先将f(x)化成上述形式．即ln(1+x一2x2)=ln[(1+2x)(1一x)]=ln(1+2x)+ln(1一x)．然后套用已知展开式．这是间接展开的方法．25、求微分方程y″+4y′+3y=9e－3x的通解．标准答案：特征方程：r2+4r+3=0r1=－1，r2=－3．故对应的齐次方程y″+4y′+3y=0的通解为=C1e－x+C2e－3x，因为a=－3是特征值，故可设特解为y*=Axe－3x．因为(y*)′=Ae－3x一3Axe－3x，(y*)″=－3Ae－3x一3(Ae－3x一3Axe－3x)=－6Ae－3x+9Axe－3x，代入y″+4y′+3y=9e－3x得一2Ae－3x=9e－3x所以y*=xe－3x．故所求通解为y=C1e－x+C2e－3x－xe－3x．知识点解析：本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解．求解二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=f(x)的一般步骤：(1)先求出其相应的齐次方程通解=C1y1+C2y2；(2)再求出它的一个特解y*(3)y=C1y1+C2y2+y*即为所求方程的通解．26、a，b分别取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解?有解时，求出所有解．标准答案：增广矩阵讨论：(1)当a≠0时，继续初等行变换可化为r(A)≠r(B)，无解．(2)当a=0时，继续初等行变换可化为进一步讨论b的值．①当a=0，b≠4时，r(A)≠r(B)，无解．②当a=0，b=4时，r(A)=r(B)=2＜5，有无穷多解，基础解系个数为5—2=3，此时自由未知量x3，x4，x5，分别在对应的齐次方程组中代入(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)可解出导出组AX=0的基础解系：为求AX=β的一个特解，让自由未知量(x3，x4，x5)=(0，0，0)可解出x0=(6，一4，0，0，0)T．于是此时非齐次线性方程组的通解为x0+k1x3+k2x4+k3x5．知识点解析：本题考查利用初等变换求非齐次线性方程组的通解．四川省专升本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是立方米，池底的材料为30元／平方米，池壁的材料为20元／平方米，问如何设计，才能使成本最低?最低成本是多少元?标准答案：设池底半径为r，池高为h(如图所示)，则πr2h=又设制造成本为S，则S=30.πr2+20.2πrh=30.πr2+20.2πr.=30π(r2+)，S′=30π(2r一)．令S′=0，得驻点r=1．因为S′=30π(2+)＞0，所以，r=1为唯一的极小值点，即为最小值点．因此，池底半径为1米，高为米时，可使成本最低，最低成本为90π元．知识点解析：本题考查的知识点是应用导数求实际问题的极值．所谓“成本最低”，即求制造成本函数在已知条件下的最小值．因此，本题的关键是正确写出制造成本函数的表达式，再利用已知条件将其化为一元函数，并求其极值．2、用二重积分计算由曲面z=x2+y2和z=所围成的几何体的体积．标准答案：已知曲面的极坐标方程分别为z=r2，z=r，D：0≤r≤1，0≤θ≤2π．知识点解析：本题考查的知识点是应用二重积分求几何体的体积．二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、设函数f(x)在[一a，a](a＞0)上连续，证明[f(x)+f(－x)]dx．标准答案：f(x)dx．对于f(x)dx，令x=－t，则所以知识点解析：本题利用定积分的性质证明等式成立．三、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)4、函数y=的定义域是()A、(一1，+∞)B、[一1，+∞)C、(一1，0)∪(0，+∞)D、[一1，0)∪(0，+∞)标准答案：D知识点解析：由已知，应有解得x≥一1且x≠0．5、当x→∞时，函数f(x)与是等价无穷小量，则2xf(x)=()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：所给问题为无穷小量的比较问题．由于=1，因此2xf(x)==26、定积分(2x+1)99dx=()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：令t=2x+1，则dt=2dx，dx=dt．当x=－时，t=0；当x=0时，t=1，因此说明使用定积分的换元法时，积分区间必须作相应变化．7、设z=xy+y，则=()A、e+1B、+1C、2D、1标准答案：A知识点解析：因为=elne+1=e+1．故选A．8、设函数f(x)=sinx，则不定积分∫f′(x)dx=()A、sinx+CB、cosx+CC、一sinx+CD、一cosx+C标准答案：A知识点解析：由不定积分的性质“先求导后积分，相差一个常数”可知选项A正确．9、已知数域F上的向量α1，α2，α3线性无关，下列不正确的是()A、α1，α2线性无关B、α2，α3线性无关C、α1，α3线性无关D、α1，α3线性相关标准答案：D知识点解析：因为α1，α2，α3线性无关，则α1与α2，α1与α3，α2与α3均线性无关．10、设有直线l1：，当直线l1与l2平行时，λ等于()A、1B、0C、D、一1标准答案：C知识点解析：直线其方向向量s1=(1，2，λ)，s2=(2，4，－1)．若l1／／l2，则可知应选C．11、幂级数的收敛半径及收敛域为()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：本题考查了幂级数的收敛半径及收敛域的求解．设un(x)=，因为=2x2，所以收敛半径R=时，级数收敛，故收敛域为12、微分方程y″+2y′+y=0的通解为()A、y=(C1+C2x)exB、y=(C1+C2x)e－xC、y=(C1+C2)e－xD、y=(C1+C2)ex标准答案：B知识点解析：微分方程的特征方程为r2+2r+1=0，解得r=－1，为二重根，由通解公式可知其通解为y=(C1+C2x)e－x．故选B．13、设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是()A、(A+B)T=AT+BTB、(A+B)－1=A－1+B－1C、(AB)－1=B－1A－1D、(AB)T=BTAT标准答案：B知识点解析：(A+B)(A－1+B－1)=E+AB－1+BA－1+E，不一定是单位矩阵，故B不正确．四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)14、设y=x+ex，则y′=___________．标准答案：1+ex知识点解析：本题考查的知识点为导数的四则运算．y′=(x+ex)′=x′+(ex)′=1+ex．15、xcosx2dx=___________．标准答案：0知识点解析：本题考查定积分的对称性．由于积分区间[一1，1]关于原点对称，被积函数xcosx2为奇函数，因此xcosx2dx=0．16、曲线y=2x3一1的拐点是___________．标准答案：(0，一1)知识点解析：本题考查二阶导数计算及拐点的定义．y′=6x2，y″=12x，当x＜0时，y″＜0；当x＞0时，y″＞0，则拐点是(0，一1)．17、设二元函数z=3x2－2xy+2y2，则=___________．标准答案：-2知识点解析：=－2．18、行列式D1=，若D1=D2，则λ的取值为___________．标准答案：1，－1知识点解析：本题考查行列式的计算．经计算得D1=(λ+1)(λ一1)2，D2=0．若D1=D2，则(λ+1)(λ一1)2=0，于是λ=1，或λ=－1．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)19、已知由方程x2+y2=e确定函数y=y(x)，求标准答案：在x2+y2=e两侧关于x求导数，得2x+2yy′=0，y′=－=知识点解析：此题是隐函数求导数的题，且同时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数20、计算dx．标准答案：令t=，x=t2，dx=2tdt．当x=4时，t=2；当x=9时，t=3．则有=2(cos2－cos3)．知识点解析：本题采用凑微分法．即=－2(cos3－cos2)=2(cos2－cos3)，也可采用下面的方法来解．21、计算∫sin3xdx．标准答案：设t=3x，则dt=3dx．=cos3x+C．知识点解析：可以利用换元法，也可以利用直接凑微分法求不定积分．22、已知z=cos，y=et，x=t3+t，求，dz．标准答案：由于而因此进而知识点解析：此题可将x=t3+t，y=et直接代入z=cos，然后利用一元复合函数求导法，即z=cos．当然也可采用下面方法．23、求过点M0(0，2，4)，且与两个平面π1，π2都平行的直线方程，其中π1：x+y－2z－1=0，π2：x+2y－z+1=0．标准答案：如果直线l平行于π1，则平面π1的法向量n1必定垂直于直线l的方向向量s．同理，若直线l平行于π2，则平面π2的法向量n2必定满足n2⊥s．由向量积的定义可知，取s=n1×n2==3i一j+k．由于直线l过点M0(0，2，4)，由直线的标准方程可知为所求直线方程．知识点解析：本题考查直线方程的求解．据题意可求出直线的方向向量，进而求出直线的点向式方程．24、求y″－2y′=2x的通解．标准答案：y″一2y′=2x为二阶常系数非齐次线性微分方程，与之相对应的齐次线性微分方程为y″一2y′=0，特征方程为r2一2r=0．特征根为r1=0，r2=2．相应齐次微分方程的通解为=C1+C2e2x．而λ=0为单一特征根，故可设y*=x(Ax+B)为原方程特解，把(y*)′=2Ax+B，(y*)″=2A代入原方程可得A=B=x(x+1)．故y=C1+C2e2x－x(x+1)为所求通解．知识点解析：本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程，求出y″一2y′=0的通解和y″一2y′=2x的一个特解即可．25、判断级数(a＞0，a≠e)的敛散性．标准答案：令un=，由于故有当＜1，即a＞e时，该级数收敛；当＞1，即a＜e时，该级数发散．知识点解析：这是一个正项级数，用正项级数比值判别法判定即可．26、解线性方程组标准答案：方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为它们的秩分别为r(A)=2，r(B)=2，所以方程有无穷多组解．因为≠0，所以由方程组的第一个和第二个方程解出x1，x2得x1=34+11x3，x2=－12—5x3，或写成x1=34+11t，x2=－12—5t，x3=t，其中t为参数．知识点解析：本题考查线性方程组的求解．通过对增广矩阵进行初等行变换后，再进行求解即可．四川省专升本（高等数学）模拟试卷第3套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、有一边长为48厘米的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器的容积最大?标准答案：设截下的小正方形的边长为z厘米，则正方体容器的底边长为48－2x，高为x，容积为V(x)=(48－2x)2x，其中x的变化范围是0＜x＜24．V′(x)=(48－2x)(48－6x)，令V′(x)=0，得驻点坐标x=8，x=24(舍去)．V″(x)=24x－384，V″(8)=－192＜0，所以x=8是唯一的极大值点，也是最大值点，最大值是V(8)=8192．答：当截去的小正方形的边长是8厘米时，容器的容积达到最大，此时容积是8192立方厘米．知识点解析：本题考查实际问题中的求最值问题．根据题意写容器容积的函数关系式，通过求导，计算最值．2、求由曲线y=lnx，x=e与y=0所围成的封闭平面图形绕x轴，y轴旋转所得到的两个旋转体体积Vx，Vy．标准答案：曲线y=lnx，x=e与y=0所围成的封闭平面图形如图所示．由于当x=1时，lnx=ln1=0，可知图形中x的变化范围为[1，e]．由于y｜x=1=0，y｜x=e=lne=1，可知图形中y的变化范围为[0，1]．由y=lnx可知x=ey，因此由旋转体体积公式知Vx=πln2xdx，Vy=π(e2一e2y)dy．从而有Vy=π(e2一e2y)dy=(e2+1)．知识点解析：本题考查的是利用定积分计算旋转体体积．二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、试证：｜arctanb一arctana｜≤｜b一a｜．标准答案：对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系．因此可以设y=f(x)=arctanx，不妨设a＜b，则y=arctanx在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导．进而可知，y=arctanx在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，因此必定存在点ξ∈(a，b)。使得f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a)．由于(arctanx)′=从而有arctanb—arctana=(a＜ξ＜b)，｜arctanb一arctana｜=｜b一a｜．由于1+ξ2≥1，因此｜arctanb一arctana｜≤｜b一a｜．知识点解析：由于拉格朗日中值定理描述了函数的增量与自变量的增量及导数在给定区间内某点值之间的关系，因而微分中值定理常可用来证明某些有关可导函数增量与自变量的增量，或它们在区间内某点处函数值有关的等式与不等式．三、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)4、下列命题中正确的有()A、若x0为f(x)的极值点，则必有f′(x0)=0B、若f′(x0)=0，则x0必为f(x)的极值点C、若x0为f(x)的极值点，可能f′(x0)不存在D、若f(x)在(a，b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值标准答案：C知识点解析：极值的必要条件：设y=f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则f′(x0)=0，但反之不一定成立．故选C．5、当x→0时，kx是sinx的等价无穷小量，则k=()A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：由等价无穷小量的概念，可知=1，从而k=1，故选B也可以利用等价无穷小量的另一种表述形式，由于当x→0时，有sinx～x，由题设知当x→0时，kx～sinx，从而kx～x，可知k=1．6、设y=ln(1－2x)，则y′=()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：7、dx=()A、一1B、C、D、1标准答案：C知识点解析：本题考查定积分的运算．故选C．8、曲线y=xsin()A、仅有水平渐近线B、既有水平渐近线又有垂直渐近线C、仅有垂直渐近线D、既无水平渐近线又无垂直渐近线标准答案：A知识点解析：因为所以曲线有水平渐近线y=1，但没有垂直渐近线．9、过原点且与平面2x－y+3z+5=0平行的平面方程为()A、B、=0C、2x－y+3z=0D、2x=－y=3z标准答案：C知识点解析：已知平面π1：2x—y+3z+5=0的法向量n1=(2，一1，3)，所求平面π∥π1，则平面π的法向量n∥n1，可以取n=n1=(2，一1，3)．由于所求平面过原点，由平面的点法式方程，得2x—y+3z=0为所求平面方程．10、dx=()A、ln｜1一x2｜+CB、ln｜1一x2｜+CC、ln｜1一x2｜+CD、一ln｜1一x2｜+C标准答案：B知识点解析：ln｜1一x2｜+C11、设D={(x，y)｜x2+y2≤a2，a＞0)，在极坐标下二重积分e一x2一y2dxdy可以表示为()A、re一r2drB、re一r2drC、re一r2drD、e一r2dr标准答案：B知识点解析：因为D：x2+y2≤a2，a＞0，令则有r2≤a2，0≤r≤a，0≤θ≤2π，所以re—r2dr．故选B．12、设A为三阶矩阵，｜A｜=2，其伴随矩阵为A*，则(A*)*=()A、2AB、4AC、8AD、16A标准答案：A知识点解析：因为｜A｜.｜A*｜=｜A｜n，所以｜A*｜=｜A｜n－1=4，且｜A｜A－1=A*，所以A=(A*)－1，故(A*)*=(A*)－1.｜A*｜=.A.4=2A．13、微分方程y′+满足初始条件y｜x=1=0的特解为()A、y=(lnx+1)B、y=lnxC、y=(lnx一1)D、y=lnx标准答案：D知识点解析：由一阶线性微分方程的通解公式有由初始条件y｜x=1=0，得C=0，故所求特解为y=lnx．四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)14、设方程y=1+xey确定了y是x的隐函数，则dy=___________．标准答案：dx知识点解析：由y=1+xey得y′=ey+xeyy′，移项化简可得y′=，则dy=dx．15、设某商品的需求函数为Q=f(P)=12一P，则P=6时的需求弹性为___________．标准答案：知识点解析：将P=6代入得16、幂级数的收敛半径为___________．标准答案：知识点解析：因为级数为，所以用比值判别法有当＜1时收敛，即x2＜2．收敛区间为，故收敛半径R=17、已知f(x)f(y)dy=___________．标准答案：π2知识点解析：因为f(x)dx=π，所以f(y)dy=(f(x)dx)2=π2．18、已知，则X=___________．标准答案：知识点解析：因为矩阵可逆，所以由，可得X=，即五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)19、求极限标准答案：知识点解析：此极限是“∞.(∞一∞)”的不定型．而已知(a一b)(a2+ab+b2)=a3一b3，所以分子、分母同乘后分式变为“”型．又根据当n→∞时，分母的次数高于分子的次数，所以所求极限为零．20、计算dx．标准答案：令t=lnx，则dt=dx．=ln(lnx)+C．也可以利用凑微分法计算：=ln(lnx)+C．知识点解析：本题考查的知识点是不定积分的换元积分运算．本题中出现的主要问题是不定积分运算丢掉任意常数C．dlnx=ln(lnx)+C．21、设x2+y2+z2－4z=0，求标准答案：设F(x，y，z)=x2+y2+z2一4z，则F′x=2x，F′y=2yx，F′z=2z一4，故从而知识点解析：解这样一个二元函数隐函数求偏导数的题型．首先要设F(x，y，z)=x2+y2+z2一4z，然后要掌握公式：22、求微分方程xy′+y=ex满足初始条件y｜x=1=e的特解．标准答案：所给方程为一阶线性微分方程，将其化为标准方程将初始条件y｜x=1=e代入上式，可得C=0，故y=为所求的特解．知识点解析：将方程化为标准形式，先求出微分方程的通解，冉利用初始条件求出特解．23、判定级数的收敛性!若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛?标准答案：所给级数是任意项级数，不是交错级数．由于又由于的p级数，因而收敛．由正项级数的比值判别法可知收敛，从而绝对收敛．知识点解析：这是一道任意项级数判断敛散性的题，首先清楚如果给了一个任意项级数(一1)nan那么先看看｜(一1)nan｜是否收敛．如收敛，则原级数(一1)nan绝对收敛．如｜(一1)nan｜发散，但原级数(一1)nan收敛，则称(一1)nan条件收敛．24、已知直线l：，若平面π过点M(－2，9，5)且与l垂直，求平面π的方程．标准答案：由题意可知，直线l的方向向量s=(3，4，一7)必定平行于所求平面π的法向量n，因此可取n=s=(3，4，一7)．利用平面的点法式方程可知3[x一(一2)]+4(y一9)一7(z一5)=0，即3(x+2)+4(y一9)一7(z一5)=0为所求平面方程．或写为一般式方程：3x+4y一7z+5=0．知识点解析：由直线的方向向量可以确定平面的法向量，进而求出平面的点法式方程．25、计算二重积分dxdy，其中区域D为y=0，y=x以及x=1所围成的区域．标准答案：由于有唯一解x=1，y=1，对应点(1，1)．作直线平行于y轴与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，因而0≤y≤x．又由于在D中0≤x≤1，于是sinxdx=1一cos1．知识点解析：积分区域D的图形如图所示．积分区域D较简单，但是如果先对x积分，则遇到dx不能用初等函数表示出来，即不可积分．因此应该考虑先对y积分，后对x积分的次序．26、解线性方程组标准答案：对增广矩阵施行初等行变换．由第一和第二行分别减去第三行的5倍和2倍，然后把第三行换到第一行的位置，再把新矩阵的第二行和第三行互换位置得，由第二行减去第三行的2倍得，虽然我们还没有把增广矩阵化成最简的形式，但已可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程是0=5，所以原方程无解．知识点解析：通过对增广矩阵施行初等行变换，把矩阵化成最简的形式．四川省专升本（高等数学）模拟试卷第4套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?标准答案：设租金定为x元时对应的收入为y元，则y=(50一)(x一200)，即y=+72x一14000，x≥2000，令y′=+72=0，得唯一驻点x=3600，结合实际问题知，当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元．知识点解析：根据题意，写出收入函数y，然后用一元函数y=f(x)的求最值法，即可得解．2、设抛物线y=ax2+bx，当0≤x≤1时，y≥0．已知它与直线y=0，x=1所围成的图形的面积为，求a，b的值，使此图形绕z轴旋转一周而成的旋转体的体积最小．标准答案：S=(ax2+bx)dx=即2a+3b=2，则b=要使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小，则a=，把a=代入b=，所以b=，综上所述a=知识点解析：一般情况下，如果有两条曲线y=f(z)，y=g(x)(假设f(x)≥g(x))与x=a，x=b(a≤b)所围成的平面绕x轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为：Vx=π[f2(x)一g2(x)]dx．二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：1+xln(x+(一∞＜x＜+∞)．标准答案：令f(x)=1+x.ln(x+于是令f′(x)=0，得驻点：x=0；又＞0，x∈(－∞，+∞)；从而可知，f′(x)在(一∞，+∞)上为单调递增函数．因f′(0)=0，故x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x＞0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；进而知f(x)在x=0处取得最小值，且最小值为f(0)=0，那么对任意的x∈(－∞，+∞)，有f(x)≥0，即1+x.ln(x+知识点解析：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性证明是常用的方法之一．关键是构造函数f(x)，证明当x＞x0时，f′(x)＞0(或＜0)，从而推出函数f(x)单调增加(或减少)，因而x＞x0时，f(x)＞f(x0)(或f(x)＜f(x0))．三、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)4、设函数f(x)=在x=0处连续，则a的值为()A、一2B、2C、D、标准答案：A知识点解析：∵f(x)在x=0处连续，∴=－a，又∵f(0)=2，∴－a=2，a=－2．故选A．5、等于()A、2B、1C、D、0标准答案：D知识点解析：本题考查的知识点为无穷小量的性质．由于x→∞时，为无穷小量，而sin2x为有界变量．由无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量的性质可知6、设函数f(x)=，则()A、x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B、x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C、x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D、x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点标准答案：D知识点解析：显然x=0，x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限．由于函数f(x)在x=0，x=1点处无定义，因此是间断点，且f(x)=∞，所以x=0为第二类间断点；f(x)=－1，所以x=1为第一类间断点，故应选D．应特别注意：7、已知导函数y=ktan2x的一个原函数为ln(cos2x)，则k=()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：由题意tan2x，所以有ktan2x=tan2x，则k=．故选D．8、设函数f(x)=e2x，则不定积分∫f()dx=()A、2ex+CB、ex+CC、2e2x+CD、e2x+C标准答案：B知识点解析：f(x)=e2x，令t=，则dx=2dt，∫f()dx=∫f(t).2dt=2∫e2tdt=∫e2td(2t)=e2t+C=ex+C．故选B．9、在空间直角坐标系中，表示圆柱面的方程是()A、x2+y2一z2=0B、x2+y2=4C、x=y2D、x2+y2+z2=1标准答案：B知识点解析：方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程．方程x2+y2－a2=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程．同理，F(y，z)=0及F(x，z)=0都表示柱面，它们的母线分别平行于Ox轴及Oy轴．故选B．10、设vn是正项级数，且un＜vn(n=1，2，…)，则下列命题正确的是()A、若un收敛，则vn收敛B、若un发散，则vn发散C、若vn发散，则un发散D、若vn收敛，则un发散标准答案：B知识点解析：由正项级数的比较判别法可以得到，若小的级数un发散，则大的级数vn必发散．故选B．11、设向量组α1，α2，…，αr是向量组α1，α2，…，αr，β的一个极大线性无关组，记n×r矩阵A=(α1α2…αr)，则非齐次线性方程组AX=β()A、必无解B、必有解，且解唯一C、必有解，且有无穷多组解D、不能确定，可能有解，可能无解标准答案：B知识点解析：r(Anr)=r(α1α2…αr)=r，由条件知β必可由α1，α2，…，αr线性表示得r(α1α2…αr)=r(α1α2…αr，β)=r即AnrXr1=β有唯一解．12、微分方程y′+y=0的通解为()A、y=exB、y=e－xC、y=CexD、y=Ce－x标准答案：D知识点解析：本题考查的知识点为一阶微分方程的求解．可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解．将方程认作可分离变量方程．分离变量=－dx，两端分别积分=－∫dx，lny=－x+C1，或y=Ce－x．13、A，B为n阶方阵，A可逆，则下面运算正确的是()A、｜—A－1｜=－｜A｜－1B、｜｜A｜B｜=｜A｜｜B｜C、(kA)*=kA*D、(A*)－1=(A－1)*标准答案：D知识点解析：A，｜－A－1｜=(－1)n｜A－1｜=(－1)n=(－1)n｜A｜－1，故A错误；B，｜A｜B｜=｜A｜n｜B｜，故B错误；C，由A－1=A*(d=｜A｜)知(kA)*=｜kA｜(kA)－1=kn－1｜A｜A－1，kA*=k｜A｜A－1，故C错误；D，由于A*(A－1)*=(｜A｜A－1)(｜A－1｜(A－1)－1)=｜A｜｜A－1｜A－1A=E，故D正确．四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)14、设y=2x.x2+sin2，则y′=__________．标准答案：2xx2ln2+2x+1x知识点解析：已知y=2x.x2+sin2，则y′=2xln2.x2+2x.2x=2xx2ln2+2x+1x．15、极限=__________．标准答案：1知识点解析：16、过点(1，一1，0)且与直线平行的直线方程为__________．标准答案：知识点解析：本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系．由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，一1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为17、定积分(｜x｜+x)e｜x｜dx=__________．标准答案：2e2+2知识点解析：xexdx，又exdx=e2+1，所以(｜x｜+x)e｜x｜dx=2e2+2．18、已知行列式，则A11+A21+A31=___________．标准答案：0知识点解析：∵A11=(－1)1+1=ac一bc，A21=(一1)2+1=0．A31=(一1)3+1=bc一ac，∴A11+A21+A31=0．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)19、若=5，求a与b．标准答案：若则当x→2时，x2+ax+b与x－2为同阶无穷小量，令x2+ax+b=(x－2)(x+k)，(※)则(x+k)=5，此时k=3，代入(※)式得x2+ax+b=(x一2)(x+3)，即x2+ax+b=x2+x一6，所以a=1，b=－6．知识点解析：本题关键在于根据同阶无穷小量的定义，将x2+ax+b写成两个一次式的乘积，使得两个未知数a，b变为一个k，解答就简便了．20、已知平面π1：x+2y+z=1，π2：－2x+y+z=3．求过点M0(1，一1，1)且与平面π1，π2都垂直的平面的方程．标准答案：π1的法向量为n1={1，2，1}，π2的法向量n2={－2，1，1}，所求平面π与π1，π2都垂直，故π的法向量为n=n1×n2==i一3j+5k．又因为所求平面过点M0(1，一1，1)，故其方程为1.(x一1)一3(y+1)+5(z一1)=0，即x一3y+5z一9=0．知识点解析：本题考查平面方程的求解，据题意可求出平面的法向量，进而求出平面的点法式方程．21、计算dx．标准答案：令x=tant，则dx=dt．当x=0时，t=0；当x=1时，t=注意到tan2t+1=，则有知识点解析：本题考查的知识点是用换元法去根号计算定积分．三角代换x=asint和x=atant是大纲要求掌握的内容．22、设函数z=exey，求标准答案：=ey.exey=ey.ey.exey=e2y+xey=ey.exey+ey.exey.xey=ey+xey知识点解析：本题考查对二阶偏导数的求解．23、计算dx．标准答案：知识点解析：本题主要考查不定积分的分母有理化问题．24、求(x+y)dxdy，其中D是由曲线y=x3，y=－x3及y=1所围成的区域．标准答案：如图，因区域关于y轴对称，而f(x)=x是奇函数，所以xdxdy=0，所以知识点解析：计算二重积分的基本思想是将其化为累次积分．可以将二重积分转化为：先对y积分，后对x积分的累次积分．25、求y″+6y′+13y=0的通解．标准答案：特征方程为，r2+6r+13=0，故r=－3±2i为共轭复根，于是通解为y=e－3x(C1cos2x+C2sin2x)．知识点解析：本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解．26、设线性方程组①且已知(1，一1，1，一1)T是该方程的一个解，试求(1)①的全部解；(2)①满足x2=x3的全部解．标准答案：(1)将(1，一1，1，一1)T代入①得1一λ+μ一1=0，即λ=μ．将Aλ=μ代入①得对它的系数矩阵为A施行初等行变换：由此可知，当λ≠时，所以，此时①的通解为x=(x1，x2，x3，x4)T=C1(一1，，1)T+(1，一1，1，一1)T=(一C1+1，C1+1，C1一1)T(C1是任意常数)．当λ=时，所以，此时①的通解为x=(x1，x2，x3，x4)T=C2(1，一3，1，0)T+C3(，一1，0，1)T+(1，一1，1，一1)T=(C2－C3+1，一3C2一C3—1，C2+1，C3—1)T(C2，C3是任意常数)．(2)当λ≠时，由x2=x3得C1+1，即C1=2，所以，此时①的满足x2=x3的通解为x=(x1，x2，x3，x4)T=(一1，0，0，1)T．当λ=时，由x2=x3得一3C2—C3—1=C2+1，即C3=－4C2—2，所以，此时①的满足x2=x3的通解为x=(x1，x2，x3，x4)T=(3C2+2，C2+1，C2+1，一4C2—3)T(C2是任意常数)．知识点解析：本题考查的知识点是利用初等变换求线性方程组的通解．四川省专升本（高等数学）模拟试卷第5套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料，已知下底面材料每平方厘米的价格为3元，侧面材料每平方厘米的价格为1元，问该容器的底面半径r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?标准答案：设S为材料费用函数，则S=2πrh+πr2+3πr2，且满足条件πr2h=32π．所以因令S′(r)=0，得驻点r=2．因S″(2)=24π＞0，且驻点唯一，所以r=2为S(r)的最小值点，此时所以r=2厘米，h=8厘米时，材料费用最少．知识点解析：本题为利用导数求最值问题．求最大值与最小值的一般方法是：(1)求出f(x)在(a，b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点：x1，…，xk．(2)求出上述各点及区间两个端点x=a，x=b处的函数值：f(x1)，…，f(xk)，f(a)，f(b)进行比较，其中最大的数即为y=f(x)在[a，b]上的最大值，相应的x的取值即为f(x)在[a，b]上的最大值点，而其中最小的数值即为f(x)在[a，b]上的最小值，相应的x的取值即为f(x)在[a，b]上的最小值点．2、求幂级数一1)x2n在区间(一1，1)内的和函数S(x)．标准答案：在(一1，1)内有记f(x)=x2n(x∈(一1，1))，则f(0)=0，且所以，对x∈(一1，0)∪(0，1)有从而因此，知识点解析：幂级数求和函数一般采用逐项求导，逐项积分或凑的方法，转化为几何级数或常用函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的．本题利用初等函数和ln(1+x)的麦克劳林展开式即可．二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、设f(x)为[0，1]上的连续函数，试证(e—ex2)f(x)dx．标准答案：由于二重积分区域D可以表示为0≤y≤1，0≤x≤，其图形如图阴影部分所示．如果换为先对y积分，作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正向看，入口曲线为y=x2，出口曲线为y=1，因此x2≤y≤1，在区域D中0≤x≤1．因此原等式成立．知识点解析：本题实际上是一道交换积分次序的题，对左式可先根据x的积分限画出积分区域D的草图，再由草图所示转化为先对y积分，求出后即得右式．三、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)4、设f(x)=e—x2一1，g(x)=x2，则当x→0时()A、f(x)是比g(x)高阶的无穷小B、f(x)是比g(x)低阶的无穷小C、f(x)与g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小D、f(x)与g(x)是等价无穷小标准答案：C知识点解析：=－1．故选C．5、设函数f(x)可导，则=()A、0B、2f(x)C、2f(x)f′(x)D、2f′(x)标准答案：C知识点解析：∵函数f(x)可导，∴=2f(x)f′(x)．6、函数y=ln(1+x2)的单调递增区间是()A、(－5，5)B、(－∞，0)C、(0，+∞)D、(－∞，+∞)标准答案：C知识点解析：y′=，由y′＞0得x＞0，所以函数y=ln(1+x2)在(0，+∞)上单调递增．7、设函数z=x2y+x+1，则等于()A、2x+1B、2xy+1C、x2+1D、x2标准答案：B知识点解析：用二元函数求偏导公式计算即可．(x2y+x+1)=2xy+1．8、不定积分dx=()A、ln｜3x－1｜+CB、ln(3x－1)+CC、ln｜3x－1｜+CD、ln(3x－1)+C标准答案：C知识点解析：本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．d(3x一1)=ln｜3x一1｜+C9、在空间直角坐标系中，方程1=所表示的图形是()A、椭圆B、椭圆面C、抛物面D、椭圆柱面标准答案：D知识点解析：因为在平面直角坐标系中，1=表示的平面图形为椭圆，所以在空间直角坐标系中，方程1=所表示的图形为以xOy平面上椭圆=1为准线，母线为平行z轴的直线所形成的椭圆柱面，故D项正确．10、下列命题中正确的有()A、设级数un收敛，vn发散，则级数(un+vn)可能收敛B、设级数un收敛，vn发散，则级数(un+vn)必定发散C、设级数un收敛，且un≥vn(n=k，k+1，…)，则级数vn必定收敛D、设级数(un+vn)收敛，则有(un+vn)=vn标准答案：B知识点解析：本题考查的知识点为级数的性质．由级数的性质：若vn收敛，则(un+vn)必定收敛．利用反证法可知，若(un+vn)必定发散．可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．11、向量组α1=(1，1+a，0)，α2=(1，2，0)，α3=(0，0，a2+1)线性相关，则a=()A、一1B、0C、1D、2标准答案：C知识点解析：∵向量α1，α2，α3线性相关，∴它们构成的行列式的值为0，即=2a2+2一(1+a)(a2+1)=(a2+1)(1一a)=0，故a=1．12、方程y″+3y′=x2的待定特解y*应取()A、AxB、Ax2+Bx+CC、Ax2D、x(Ax2+Bx+C)标准答案：D知识点解析：本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解y*的取法．由于相应齐次方程为y″+3y′=0，其特征方程为r2+3r=0，特征根为r1=0，r2=－3，而x2，λ=0为单一特征根，因此应设y*=x(Ax2+Bx+C)，故应选D．13、设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则()A、交换A*的第1列与第2列得B*B、交换A*的第1行与第2行得B*C、交换A*的第1列与第2列得－B*D、交换A*的第1行与第2行得－B*标准答案：C知识点解析：设A变为B的初等矩阵为E12，则B=E12A，｜B｜=｜E12｜｜A｜=－｜A｜B－1=A－1=A－1E12，｜A｜B－1=｜A｜A－1E12－｜B｜B－1=A*E12，即－B*=A*E12．四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)14、由方程xy—ex+ey=0确定的隐函数的导数y′=____________．标准答案：知识点解析：两边对x求导y+xy′一ex+ey.y′=0，15、dx=____________．标准答案：ln｜x｜+C知识点解析：原式=ln｜x｜+C．16、直线垂直，则k=____________．标准答案：一1知识点解析：因为直线的方向向量s1=(2k，k+2，5)，直线=的方向向量s2=(3，1，k+2)，又两条直线垂直，所以6k+k+2+5(k+2)=0，解得k=－1．17、f′(3x)dx=____________．标准答案：[f(3b)一f(3a)]知识点解析：18、设A=，且有AX+I=A2+X，则X=____________．标准答案：知识点解析：化简矩阵方程得(A－I)X=A2一I，由A2一I=(A－I)(A+I)，且A—I==－1≠0．知A—I可逆，所以(A—I)－1(A—I)X=(A—I)－1(A—I)(A+I)，又因为(A－1)－1(A—I)=I，故矩阵方程化为X=A+I，即X=A+I=五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)19、求由方程y2+cost2dt=0确定的y=y(x)的导函数y′．标准答案：将方程两端关于x求导，得2yy′+cosx2=0，y′=－知识点解析：本题考查隐函数的求导，对方程两端关于x求导即可．20、设f(x)=求f(x)dx．标准答案：知识点解析：本题考查分段函数的积分，利用积分区间可加性即可求解．21、设z=z(x，y)由方程yz+x2+z=0所确定，求dz．标准答案：令F(x，y，z)=yz+x2+z，则F′x=2x，F′y=z，F′z=y+1，当y+1≠0时，为连续函数，有知识点解析：为了求全微分dz，可以先求，如果两个偏导数都是连续函数，那么由全微分的充分条件可知dz=dy．由于所给函数为隐函数形式，可利用隐函数求偏导数的公式．22、计算∫x(1+x2)2dx．标准答案：∫x(1+x2)2dx=∫(1+x2)2d(1+x2)=(1+x2)3+C．知识点解析：暂无解析23、求(x2+y2)dxdy，其中D为(x—a)2+y2≤a2．标准答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，那么D对应于区域D1={(r，θ)｜，0≤r≤2acosθ}，故知识点解析：本题考查重积分的计算．利用二重积分的变量代换求解即可．24、求微分方程y″一3y′+2y=xex的通解．标准答案：该微分方程所对应齐次线性方程y″一3y′+2y=0．的特征方程为r2－3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2，所以齐次方程的通解为=C1ex+C2e2x．因为λ=1是单特征根，而α=1，所以，设特解形式为y*=x(a+bx)ex．将y*=x(a+bx)ex代入原微分方程，并求解得y*=－x(1+x)ex故原微分方程的通解为y=C1ex+C2e2x－x(1+x)ex知识点解析：本题考查的知识点为求解二阶线性微分方程．25、将函数f(x)=展开为x的幂级数，并指出收敛区间(不考虑端点)．标准答案：而(一1)nxn，且R1=1，且R2=2，故f(x)=xn，则R=min{R1，R2}=1，所以收敛区间为(一1，1)．知识点解析：将题给分式分解成两个分式和的形式，分别转化成的形式，再借用的已知展开式展开即可．26、λ取何值时，齐次线性方程组有非零解，并求其通解．标准答案：本题考查齐次线性方程组解的情况，先对系数矩阵化简，再进行讨论求解．解因为系数矩阵所以当λ=5时，方程组有非零解，且此时通解为知识点解析：本题考查齐次线性方程组解的情况，先对系数矩阵化简，再进行讨论求解．四川省专升本（高等数学）模拟试卷第6套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、欲围成一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少?标准答案：设所围场地正面长为x，另一边为y，则xy=150，从而y=．设四面围墙高度相同，都是h，则四面围墙所使用的材料总费用为f(x)=6xh+3(2yh)+3xh=9xh+6h.则f′(x)=9h(1一)，令f′(x)=0，得驻点x1=10，x2=－10(舍去)．f″(10)=1．8h＞0．由于驻点唯一，由实际意义可知最小值存在，因此当正面长为10米，侧面长为15米时所用材料费最少．知识点解析：先用其四个面的面积乘以相应的单位面积的造价，求和写出总费用函数f(x)，然后用求一元函数y=f(x)最值法即可得解．2、求由曲线y=2一x2，y=x(x≥0)与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．标准答案：由平面图形a≤x≤b，0≤y≤y(x)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积为Vx=πy2(x)dx．画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为0≤x≤1，0≤y≤2一x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积减去0≤x≤1，0≤y≤x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．当x≥0时，由知识点解析：就一般情况而言，如果有两条曲线y=f(x)，y=g(x)(假设f(x)≥g(x))与x=a，x=b(a≤b)所围成的平面绕z轴旋转一周，则其所生成的旋转体的体积公式为：Vx=π[f2(x)一g2(x)]dx．二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明方程3x一1一=0在区间(0，1)内有唯一的实根．标准答案：令f(x)=3x一1一，则f(x)在区间[0，1]上连续．由于dt=1，所以f(1)=2－＞0．又f(0)=－1＜0，根据连续函数的介值定理，函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点，即所给方程在(0，1)内至少有一个实根．又f′(x)=3一，当0≤x≤1时，f′(x)＞0．因此，f(x)在[0，1]上单调增加，由此知f(x)在区间(0，1)内至多有一个零点．综上可知，方程3x一1一=0在区间(0，1)内有唯一的实根．知识点解析：首先设f(x)=3x一1一dt，然后验证f(x)在[0，1]上满足介值定理条件．由介值定理得到f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点(实根)，并且根据f′(x)=3一＞0(0＜x＜1)说明f(x)是单调增函数，从而得到f(x)在(0，1)内至多有一个零点．由此得到方程3x一1一=0在(0，1)内有唯一的实根．三、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)4、设f(x)在x=1处连续，且=2，则f′(1)=()A、2B、C、一2D、标准答案：A知识点解析：由题设条件，有f(x)=f′(1)，则f′(1)=2．5、下列等式不成立的是()A、=eB、=e－1C、=eD、=e标准答案：C知识点解析：利用重要极限=e可知选项C不成立．故选C．6、已知f′(cosx)=sinx，则f(cosx)=()A、一cosx+CB、cosx+CC、(sinxcosx—x)+CD、(x—sinxcosx)+C标准答案：C知识点解析：已知f′(cosx)=sinx，在此式两侧对cosx求积分，得∫f′(cosx)d(cosx)=∫sinxd(cosx)，有故选C．7、下列关系式正确的是()A、d∫f(x)dx=f(x)+CB、∫f′(x)dx=f(x)C、∫f(x)dx=f(x)D、∫f(x)dx=f(x)+C标准答案：C知识点解析：A项，d∫f(x)dx=f(x)dx；B项，∫f′(x)dx=f(x)+C；C项，∫f(x)dx=(∫f(x)dx)′=f(x)，则选C，由C知D项不正确．8、设z=x3y2，则=()A、12dx+4dyB、12dx一4dyC、6dx+4dyD、6dx一4dy标准答案：A知识点解析：由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，=12dx+4dy．9、a=(1，λ，2)，b=(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦为，则λ=()A、一2B、C、一2或D、2或标准答案：C知识点解析：∵a.b=1×2+λ×(一1)+2×2=6一λ，又∵a.b=｜a｜.｜b｜cos(a，b)=10、过点M(0，－1，2)且垂直于平面2x—y+3z一1=0的直线方程为()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：本题考查了空间中直线方程的求解．由于所求直线与已知平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n=(2，一1，3)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为11、下列反常积分收敛的是()A、xdxB、x2dxC、dxD、dx标准答案：D知识点解析：A项，=∞发散；B项，=∞发散；C项，=∞发散；D项，=0+1=1收敛．故选D．12、微分方程dy=0的通解为()A、2(x3－y2)+3(x2－y3)=CB、2(x3－y3)+3(y2一x2)=CC、2(x3－y3)+3(x2－y2)=CD、3(x3－y3)+2(x2－y2)=C标准答案：C知识点解析：对原式变形得(x+x2)dx一(y+y2)dy=0，移项得(x+x2)dx=(y+y2)dy．对等式两边积分可得y3+C1，从而可得2(x3－y3)+3(x2一y2)=C．13、A为n阶可逆矩阵，则下列各项正确的是()A、(2A－1)T=(2AT)－1B、(2A)－1=2A－1C、E(A－1)－1]T=[(AT)－1]－1D、A=标准答案：C知识点解析：由于(2AT)(2A－1)T=(2A)T(2A－1)T=((2A－1)(2A))T=4E，故A错误；B，(2A)－1=A－1；C，[(A－1)－1]T=AT=[(AT)－1]－1；D，由AA－1=E知该选项错误．四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)14、设f(x)=在x=0处连续，则k=___________．标准答案：1知识点解析：由已知及连续的定义得ex=1=f(0)，得k=1．15、参数方程所确定的函数的一阶导数=___________．标准答案：e2t知识点解析：16、设f(2)=1，xf′(x)dx=___________．标准答案：1知识点解析：由分部积分公式有f(x)dx=2f(2)－f(x)dx=2×1—1=1．17、微分方程x(y′)2－2xy′+x=0的阶数是___________．标准答案：1知识点解析：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为这个方程的阶．18、设A=，且矩阵X满足AX=A+2X，则X=___________．标准答案：知识点解析：AX=A+2X(A一2E)X=A，A一2E=，容易证明A一2E=可逆，所以X=(A一2E)－1A，又因为(A一2E，A)=五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)19、设f(x)=试确定k的值使f(x)在点x=1处连续．标准答案：=1，要使f(x)在x=1处连续，应有k=f(1)=f(x)=1．知识点解析：本题考查函数的极限和连续，关键是求出20、计算(x一1)99dx．标准答案：知识点解析：本题考查的知识点为定积分的计算利用换元积分法计算即可．21、设z=sin(x2一xy+y2)，求标准答案：令u=，v=x2－xy+y2，则z=eusinv，于是有=eusinv.+eucosv.(2x—y)=sin(x2－xy+y2)+(2x—y)cos(x2－xy+y2)]，=eusinv.(－)+eucosv.(2y—x)=[(2y－x)cos(x2－xy+y2)－sin(x2－xy+y2)]．知识点解析：本题考查复合函数求导，引进中间变量化简运算求解即可．22、求微分方程y′+ycosx=e－sinx的通解．标准答案：y=e－∫cosxdx[∫e－sinx.e∫cosxdxdx+C]=e－sinx[∫e－sinx.esinxdx+C]=e－sinx(x+C)．知识点解析：本题考查一阶线性微分方程的通解，利用非齐次线性微分方程的通解公式求解即可．23、将f(x)=展开为x的幂级数．标准答案：＜1，即一3＜x＜3．知识点解析：本题考查的知识点为将函数展开为z的幂级数．24、(1)求由曲线y=e－x与直线x+y=1，x=1所围成的平面图形的面积S；(2)计算二重积分xydxdy，其中D为(1)中的平面区域．标准答案：(1)S=(e－x－1+x)dx=(－e－x－x+(2)x(e－2x－(x2－2x+1))dx知识点解析：本题考查定积分与二重积分计算，至于第(2)问，把二重积分化为累次积分计算即可．25、设线性方程组问a，b分别为何值时，方程组无解，方程组有唯一解，方程组有无穷多解?标准答案：原方程组的增广矩阵变形过程为：讨论：(1)当a≠－3，b为实数时，秩(B)=3=n=3，方程组有唯一解；(2)当a=－3，b=3时，秩(B)=2＜n=3，方程组有无穷多解；(3)当a=－3，b≠3时，秩(B)=3≠秩(A)=2，方程组无解．知识点解析：本题是用初等行变换求非齐次线性方程组的解的不同情况．26、求函数f(x，y)=2x3一6xy+3y2+5的极值．标准答案：f′x(x，y)=6x2－6y，f′y(x，y)=－6x+6y，f″xx(x，y)=12x，f″xy(x，y)=－6，f″yy(x，y)=6．令得驻点(0，0)，(1，1)．对于驻点(0，0)，A=f″xx(0，0)=0，B=f″xy(0，0)=－6，C=f″yy(0，0)=6，因为B2一AC=(一6)2＞0，所以点(0，0)不是极值点．对于驻点(1，1)，A=f″xx(1，1)=12，B=f″xy(1，1)=－6，C=f″yy(1，1)=6，因为B2－AC=(一6)2－12×6=－36＜0，且A=12＞0，所以点(1，1)是极小值点，极小值为f(1，1)=4．知识点解析：本题考查的知识点是二元函数的无条件极值．二元函数取得极值的充分条件：设z=f(x，y)在(x0，y0)的某个领域内有连续一、二阶偏导数，且f′x(x0，y0)=f′y(x0，y0)=0，令f′xx(x0，y0)=A，f′xy(x0，y0)=B，f′yy(x0，y0)=C，则当B2一AC＜0且A＜0时，f(x0，y0)为极大值；当B2一AC＜0且A＞0，f(x0，y0)为极小值；B2一AC＞0时，(x0，y0)不是极值点．四川省专升本（高等数学）模拟试卷第7套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、欲用板材作一容积为a3的长方体密封箱体，试问长、宽、高各为多少时，可以使板材最省?标准答案：令x，y分别为箱体的长、宽，则高z应为，箱体的表面积为即所求问题就是求二元函数S=S(x，y)在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0)上的最小值点，由解得唯一驻点(a，a)∈D，显然，这个驻点就是最小值点，由x=y=a，得z=a．即当x=y=z=a时，板材最省．知识点解析：设箱体长、宽分别为x，y，并与容积a3表示出表面积S，通过=0，得唯一驻点，即得S的最小值．2、设平面薄片的方程可以表示为x2+y2≤R2，x≥0，薄片上点(x，y)处的密度ρ(x，y)=，求该薄片的质量M．标准答案：利用对称性．依题设由于区域D关于x轴对称，为x的偶函数，记D在x轴上方的部分为D1，则知识点解析：由二重积分的物理意义知：该薄片的质量M=ρ(x，y)dxdy(其中ρ(x，y)为密度函数)，而此积分的区域D为半圆，即x2+y2≤R2(x≥0)，所以由下面解法可以得到质量M的结果．二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、试证：当x＞0时，有不等式x＞sinx＞x一．标准答案：先证x＞sinx(x＞0)．设f(x)=x—sinx，则f′(x)=1一cosx≥0(x＞0)，所以f(x)为单调递增函数，于是对x＞0有f(x)＞f(0)=0，即x—sinx＞0，亦即x＞sinx(x＞0)．再证sinx＞x－(x＞0)．令g(x)=sinx—x+，则g′(x)=cosx－1+x，g″(x)=－sinx+1≥0，所以g′(x)单调递增，又g′(0)=0，可知g′(x)＞g′(0)=0(x＞0)，那么有g(x)单调递增．又g(0)=0，可知g(x)＞g(0)=0(x＞0)，所以sinx—x+＞0，即sinx＞x－(x＞0)．综上可得：当x＞0时，x＞sinx＞x－知识点解析：可将不等式分成两部分来证，即：x＞sinx，sinx＞x一730，分别设f(x)=x—sinx和g(x)=sinx—x+731，然后再分别求导数，利用单调性思想即可证出．三、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)4、已知当x→0时，(1+ax2与cosx－1是等价无穷小，则a=()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：∵当x→0时，(1+x2．又(1+一1～cosx一1，∴当x→0时，x2，于是，有：5、下列极限不正确的是()A、=eB、=eC、=eD、=e标准答案：B知识点解析：B项：6、经过点(1，0)，且切线斜率为3x2的曲线方程是()A、y=x3B、y=x3+1C、y=x3一1D、y=x3+C标准答案：C知识点解析：因为y′=3x2，则y=x3+C．又曲线过点(1，0)，得C=－1．故曲线方程为y=x3一1．7、dx=()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：设x=sint，则dx=costdt，当x=0时，t=0；x=1时，t=，所以8、设直线L：和平面π：x—y—z+2=0，则()A、L与π垂直B、L与π相交但不垂直C、L在π上D、L与π平行但L不在π上标准答案：D知识点解析：因为直线L过点(2，3，－1)，且直线L的方向向量s=(1，2，－1)，又平面π的法向量n=(1，一1，一1)，所以n.s=1—2+1=0，故直线L与平面π平行，但点(2，3，一1)不在平面π上，所以直线L不在平面π上．9、已知D={(x，y)｜0≤x≤