广东省深圳市福田区华富中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.已知，下列式子一定成立的是(

)A. B. C. D.3.等腰三角形的一个角是，它的底角度数为(

)A. B. C.或 D.或4.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是边形．A.三 B.四 C.五 D.六5.下列命题中，假命题的是(

)A.矩形的对角线相等 B.平行四边形的对角线互相平分

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形6.某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是(

)A. B.

C. D.7.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是(

)A.2021 B.2022 C.2023 D.20248.已知，中，，，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上

任意一点，，交直线BC于F点为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点若，，则CE的长为(

)

A.7 B.8 C.9 D.10二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.因式分解：______.10.如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解是______.

11.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，，，则的度数是______.

12.如图，在▱ABCD中，小平行四边形沿对角线AC平移两次就到了图中的位置阴影部分，若小平行四边形的面积是2，则▱ABCD面积是______.

13.如图在中，，，点D为AB的中点，且，的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将沿在BC上，F在AC上折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是______.

三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.本小题8分

计算

解不等式组：

解分式方程：15.本小题6分

化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值.16.本小题8分

如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，和关于点D成中心对称.

画出对称中心D，并写出点D的坐标；

画出绕点O逆时针旋转后的并标明对应字母；

画出与关于点O成中心对称的并标明对应字母.17.本小题8分

在中，，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点

试说明AF与DE互相平分；

若，，求DO的长．18.本小题8分

某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．

问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？

该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？19.本小题11分

定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”.如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”.又如求的等和积分式，可设其为B，由定义有，去分母得，解得解答以下问题：

判断分式与分式是不是等和积分式，说明理由；

求分式的“等和积分式”；

①观察的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式”______；

②用发现的规律解决问题：

若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值.20.本小题12分

【课本再现】

如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动.则下列结论正确的是______填序号即可

①≌；

②；

③四边形OEBF的面积总等于；

④连接EF，总有

【类比迁移】

如图2，矩形ABCD的中心O是矩形的一个顶点，与边AB相交于点E，与边CB相交于点F，连接EF，矩形可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明；

【拓展应用】

如图3，在中，，，，直角的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，求线段EF的长度.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；

B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】C

【解析】解：A、不等式两边同时减去1，不等号方向不变，即，故这个选项不符合题意；

B、当时，，故这个选项不符合题意；

C、不等式两边同时乘以，不等号方向不变，式子成立，故这个选项符合题意；

D、不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，即；不等式两边同时加上3，不等号方向不变，即，故这个选项不符合题意．

故选：

利用不等式的性质判断即可．

本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．3.【答案】D

【解析】解：分两种情况：

当等腰三角形的顶角是时，

它的底角度数；

当等腰三角形的一个底角是时，另一个底角也是，

它的顶角度数；

综上所述：它的底角度数为或，

故选：

分两种情况：当等腰三角形的顶角是时；当等腰三角形的一个底角是时；然后分别进行计算即可解答．

本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．4.【答案】B

【解析】解：设多边形的边数为

根据题意得：，

解得：

故选：

任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可．

本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为和多边形的内角和公式是解题的关键．5.【答案】D

【解析】解：A、矩形的对角线相等，是真命题；

B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；

C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；

D、对角线平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，是假命题；

故选：

根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的对角线进行判断即可．

本题考查了从对角线来判断特殊四边形的方法：对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形为菱形；对角线互相平分且相等的四边形为矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．也考查了真命题与假命题的概念．6.【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．

设原计划每天挖x米，则实际每天挖米，由题意可得等量关系：原计划所用时间-实际所用时间，根据等量关系列出方程即可．

【解答】

解：设原计划每天挖x米，由题意得：

7.【答案】B

【解析】解：设k是正整数，

，

除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；

，

除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，

B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．

故选：

设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案．

本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记是解题的关键．8.【答案】B

【解析】【分析】

连接DG，易证G是的斜边CH的中点，可得，进一步可知，证明≌，可得，根据勾股定理，可得即可．

本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等相关知识，本题综合性较强．

【解答】

解：连接DG，如图所示：

，

，

，G是EF的中点，

，

在中，，，且CD为边AB上的中线，

，，

，，

，

，

，

，

是CH的中点，

，

，

，

，，

，，，

，

，

，

≌，

，

在中，根据勾股定理得，

故选：9.【答案】

【解析】解：

，

故答案为：

先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．

本题主要考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键．10.【答案】

【解析】解：当时，，

即不等式的解集为

故答案为

观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于x的不等式的解集为

本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．11.【答案】

【解析】解：是BD的中点，E是AB的中点，

是的中位线，

，

同理，，

，

，

，

故答案为：

根据三角形中位线定理得到，，在，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．

本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．12.【答案】18

【解析】解：过A作，过F作，

在▱ABCD中，小平行四边形沿对角线AC平移两次就到了图中的位置阴影部分，

，，

小平行四边形的面积是2，

，

，

故答案为：

过A作，过F作，根据平移可得，，然后再根据平行四边形的面积公式可得▱ABCD面积．

此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式．13.【答案】

【解析】解：如图，连接OB、OC，

，AO为的平分线，

，

又，

，

是AB的垂直平分线，

，

，

，

为的平分线，，

，

点O在BC的垂直平分线上，

又是AB的垂直平分线，

点O是的外心，

，

将沿在BC上，F在AC上折叠，点C与点O恰好重合，

，

，

在中，

故答案为：

连接OB、OC，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．14.【答案】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

原不等式组的解集为：；

，

方程两边同乘，得：，

解得：，

检验：当时，

是原分式方程的解．

【解析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可；

先将分式方程化为整式方程求解，再检验方程的解即可．

本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，掌握相关解法是解题关键．15.【答案】解：原式

，

，2，4，，

或3，

当时，原式

【解析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．

本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的性质是关键．16.【答案】解：点坐标

如图，画出；

如图，画出

【解析】连接、，交点即为点D；

分别作出点、、绕点O逆时针旋转后的对应点，然后把对应点顺次连接即可得到；

分别作出点、、关于点O成中心对称的对应点，然后把对应点顺次连接即可得到

本题主要考查了中心对称、旋转作图，解题的关键是熟练掌握中心对称和旋转的性质．17.【答案】解：、F分别是BC、AC的中点，

是的中位线，

且

又，即，

，，

四边形AEFD是平行四边形，

与DE互相平分；

在中，，，，

由勾股定理得

又由知，，且，

在中，，，，

由勾股定理得

【解析】结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；

根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度．

本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．18.【答案】解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

则

答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．

设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个，

由题意得：，

解得：，

答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．

【解析】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；

设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可．19.【答案】

【解析】解：是；

，

分式与分式是“等和积分式”；

设分式的“等和积分式”为A，

则，

，

，

即分式的“等和积分式”为；

①分式的“等和积分式”为，理由如下：设分式的“等和积分式”为M，

则，

，