新教材高中数学第4章概率与统计单元质量测评新人教B版选择性必修第二册

第四章单元质量测评时间：120分钟满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则D(2X＋1)等于()A．6B．4C．3D．9答案A解析D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，∴D(2X＋1)＝4×eq\f(3,2)＝6.2．已知一个线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则eq\o(y,\s\up6(－))＝()A．58.5B．46.5C．60D．75答案A解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋7＋5＋13＋19,5)＝9，因为回来直线必过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，所以eq\o(y,\s\up6(－))＝1.5×9＋45＝13.5＋45＝58.5.故选A.3．甲、乙、丙三人参与某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.16B．0.24C．0.96D．0.04答案C解析三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.4．设随机变量ξ听从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝()A.eq\f(1,2)＋pB．1－pC．1－2pD.eq\f(1,2)－p答案D解析P(－1<ξ<0)＝eq\f(1,2)P(－1<ξ<1)＝eq\f(1,2)[1－2P(ξ>1)]＝eq\f(1,2)－P(ξ>1)＝eq\f(1,2)－p.5．若随机变量X的分布列如表，且E(X)＝6.3，则D(X)的值为()X4a9P0.50.1bA．－14.39B．7C．5.61D．6.61答案C解析依题意，0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝7，所以D(X)＝E(X2)－E2(X)＝16×0.5＋49×0.1＋81×0.4－6.32＝5.61.故选C.6．将两枚质地匀称的骰子各掷一次，设事务A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,18)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,4)答案A解析出现点数互不相同的共有6×5＝30种，∴P(A)＝eq\f(5,6)，A∩B共有5×2＝10种，∴P(A∩B)＝eq\f(5,18)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,3).7．某校14岁女生的平均身高为154.4cm，标准差是5.1cm，假如身高听从正态分布，那么在该校200个14岁女生中身高在164.6cm以上的约有()A．5人B．6人C．7人D．8人答案A解析设某校14岁女生的身高为Xcm，则X～N(154.4，5.12)．由于P(154.4－2×5.1<X≤154.4＋2×5.1)≈0.9544，所以P(X>164.6)≈eq\f(1,2)×(1－0.9544)＝0.0228.因为200×0.0228＝4.56，所以身高在164.6cm以上的约有5人．8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分状况)，则ab的最大值为()A.eq\f(1,48)B.eq\f(1,24)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,6)答案B解析由已知得3a＋2b＋0×c＝1，即3a＋2b＝1，所以ab＝eq\f(1,6)·3a·2b≤eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋2b,2)))2＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,24)，当且仅当3a＝2b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,4)时取“等号”．故选B.二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．设成年儿子身高y(单位：英寸)与父亲身高x(单位：英寸)具有线性相关关系，依据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法求得的回来直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝33.73x＋0.516，则下列结论中正确的是()A．y与x正相关B．若eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，则回来直线过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若父亲身高增加1英寸，则儿子身高约增加33.73英寸D．若父亲身高增加1英寸，则儿子身高增加量必为33.73英寸答案ABC解析∵回来直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝33.73x＋0.516中，33.73>0，∴y与x正相关，故A正确；∵回来直线必过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，故B正确；回来直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝33.73x＋0.516表示一种不确定的关系，即若父亲身高增加1英寸，则儿子身高约增加33.73英寸，故C正确，D错误．故选ABC.10．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝eq\f(1,\r(2π)σi)e－eq\f(x－μi2,2σ2i)(x∈R，i＝1,2,3)的图像如图所示，则下列结论正确的是()A．σ1＝σ2B．μ1>μ3C．μ1＝μ2D．σ2<σ3答案AD解析依据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图像越靠近右边，所以μ1<μ2＝μ3，B，C错误；又σ越小数据越集中，图像越瘦长，所以σ1＝σ2<σ3，A，D正确．故选AD.11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事务；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事务，则下列结论中正确的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事务B与事务A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事务答案BD解析易知A1，A2，A3是两两互斥的事务，由题意知P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事务发生所确定的，P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，P(B|A1)＝eq\f(PB∩A1,PA1)＝eq\f(\f(1,2)×\f(5,11),\f(1,2))＝eq\f(5,11).故选BD.12．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜爱抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜爱抖音的人数占男生人数的eq\f(4,5)，女生喜爱抖音的人数占女生人数的eq\f(3,5)，若有95%的把握认为是否喜爱抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有()附表：P(χ2≥k)0.0500.010k3.8416.635附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)A．25人B．45人C．60人D．75人答案BCD解析设男生可能有x人，依题意可得列联表如下：喜爱抖音不喜爱抖音总计男生eq\f(4,5)xeq\f(1,5)xx女生eq\f(3,5)xeq\f(2,5)xx总计eq\f(7,5)xeq\f(3,5)x2x若有95%的把握认为是否喜爱抖音和性别有关，则χ2>3.841，由χ2＝eq\f(2x·\f(4,5)x·\f(2,5)x－\f(3,5)x·\f(1,5)x2,\f(7,5)x·\f(3,5)x·x·x)＝eq\f(2x,21)>3.841，解得x>40.3305，由题意知x>0，且x是5的整数倍，所以45,60和75都满意题意．故选BCD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”做了一次调查，其中女生人数是男生人数的eq\f(1,2)，男生追星的人数占男生人数的eq\f(1,6)，女生追星的人数占女生人数的eq\f(2,3).现随机选择一名学生，则这名学生追星的概率是________．答案eq\f(1,3)解析记A1代表女生，A2代表男生，B代表追星．设女生人数为x，则男生人数为2x，总人数为x＋2x＝3x，所以P(A1)＝eq\f(x,3x)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(2x,3x)＝eq\f(2,3)，P(B|A1)＝eq\f(2,3)，P(B|A2)＝eq\f(1,6)，所以这名学生追星的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).14．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)线性相关，两者之间有如下表所示的数据，依据数据得到其回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋b，现要使销售额达到100万元，则广告费支出约为________万元．x24568y3040605070答案12.7解析∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，又(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))满意eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋b，∴50＝32.5＋b，∴b＝17.5，∴当y＝100时，x＝eq\f(100－17.5,6.5)≈12.7万元．15．已知随机变量X，Y满意X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)＝________，D(Y)＝________.答案22.4解析∵随机变量X，Y满意X＋Y＝8，X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4，E(Y)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4.16．将一颗骰子连续抛掷4次，至多有2次点数为1的概率为________．答案eq\f(425,432)解析抛掷骰子一次可视为一次试验，连续抛掷4次可看作进行了4次独立重复试验，若记事务A表示“抛掷一颗骰子出现点数为1”，则P(A)＝eq\f(1,6)，于是事务A发生的次数X满意X～B4，eq\f(1,6)，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)×eq\f(1,6)k×eq\f(5,6)4－k，k＝0,1,2,3,4.故所求概率为P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\f(1,6)0×eq\f(5,6)4＋Ceq\o\al(1,4)×eq\f(1,6)1×eq\f(5,6)3＋Ceq\o\al(2,4)×eq\f(1,6)2×eq\f(5,6)2＝eq\f(425,432).四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，A表示被检验者患肝癌，B表示此法诊断被检验者患肝癌．由于种种缘由使检验方法带有误差．假定P(B|A)＝0.95，P(eq\o(B,\s\up6(－))|eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.90，又设人群中患肝癌的比例为P(A)＝0.0004.现在若有一人被此法诊断为患肝癌，求此人真正患肝癌的概率P(A|B)．解＝eq\f(0.0004×0.95,0.0004×0.95＋0.9996×0.1)≈0.0038.18．(本小题满分12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为eq\f(1,2)，乙每次击中目标的概率为eq\f(2,3).(1)记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布列及数学期望E(X)；(2)求乙至多击中目标2次的概率；(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．解(1)X的概率分布列为X0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)E(X)＝0×eq\f(1,8)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(3,8)＋3×eq\f(1,8)＝1.5或E(X)＝3×eq\f(1,2)＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(19,27).(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事务A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事务B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事务B2，则A＝B1＋B2.B1，B2为互斥事务，P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝eq\f(3,8)×eq\f(1,27)＋eq\f(1,8)×eq\f(2,9)＝eq\f(1,24).所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为eq\f(1,24).19．(本小题满分12分)随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成果，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50,60)，2；[60,70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x；[90,100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题．(1)求样本容量及x的值；(2)从成果不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成果不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望．解(1)由题意，得分数在[50,60)内的频数为2，频率为0.008×10＝0.08，所以样本容量n＝eq\f(2,0.08)＝25，x＝25－(2＋7＋10＋2)＝4.(2)成果不低于80分的人数为4＋2＝6，成果不低于90分的人数为2，所以ξ的全部可能取值为0,1,2，因为P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(2,3).20．(本小题满分12分)为抗击新型冠状病毒，普及防护学问，某校开展了“疫情防护”网络学问竞赛活动．现从参与该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的竞赛成果(满分为100分)分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值，并估计这100名学生的平均成果(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成果不低于80分为“优秀”，竞赛成果低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并推断是否有99%的把握认为“竞赛成果是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k)0.050.010.0050.001k3.8416.6357.87910.828解(1)由题可得(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋a＋0.010)×10＝1，解得a＝0.025.∵45×0.05＋55×0.1＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.1＝74，∴估计这100名学生的平均成果为74.(2)由(1)知，在抽取的100名学生中，竞赛成果优秀的有100×(0.25＋0.1)＝100×0.35＝35人，由此可得完整的2×2列联表：优秀非优秀合计男生104050女生252550合计3565100χ2＝eq\f(100×10×25－25×402,35×65×50×50)＝eq\f(900,91)≈9.890>6.635，∴有99%的把握认为“竞赛成果是否优秀与性别有关”．21．(本小题满分12分)某爱好小组欲探讨昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差状况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x(℃)1011131286就诊人数y222529261612该爱好小组确定的探讨方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回来方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月数据的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请依据2至5月份的数据求出y关于x的线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)若由线性回来方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回来方程是志向的，试问该小组所得线性回来方程是否志向？参考公式：.解(1)设抽到相邻两个月的数据为事务A.从6组数据中选取2组数据，共有15种状况，每种状况都是等可能出现的．其中，抽到相邻两个月的数据的状况有5种．所以P(A)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)由数据求得eq\o(x,\s\up6(－))＝11，eq\o(y,\s\up6(－))＝24，由公式求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(18,7)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝－eq\f(30,7)，所以y关于x的线性回来方程为y＝eq\f(18,7)x－eq\f(30,7).(3)当x＝10时，eq