第2讲三角函数图像及其性质

第2讲三角函数图像及其性质【复习目录】一、三角函数的定义域二、图像法求三角函数最值或值域三、换元法求三角函数最值或值域四、求三角函数的单调区间五、求三角函数的对称轴六、求三角函数的对称中心七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心八、利用三角函数单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数的值九、五点法求三角函数解析式十、三角函数图像的伸缩变换十一、利用图像平移求函数解析式或参数值十二、三角函数综合【知识归纳】1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无2.★★★求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径【题型归纳】题型一、三角函数的定义域1．（2122高一下·山东）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式可得出函数的定义域.【详解】由，可得.解得.故的定义域为.故选：C.2．（2223高一下·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案.【详解】由题意可得：，解得，函数的定义域为.故选：A.3．（2223高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用整体代入法求得正确答案.【详解】由，解得，所以函数的定义域是.故选：D题型二、图像法求三角函数最值或值域4．（2324高一上·广东茂名·期末）函数在区间上的最小值为（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的性质即可得解.【详解】因为，又，则，所以，故，则函数的最小值为0.故选：A．5．（2122高一上·江苏常州·期末）函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由的范围，可得的范围，结合余弦函数的性质进而求出函数的值域．【详解】因为，所以，因为函数在上递增，上递减，又，，，所以即.故选：A．6．（2122高一上·安徽合肥·期末）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作换元,根据已知求得的范围，然后根据正切函数的性质得到所求函数值域，进而作出判定.【详解】设,因为，所以，因为正切函数在上为单调递增函数，且,所以．∴函数的值域为，故选：A．题型三、换元法求三角函数最值或值域7．（2324高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得.【详解】因为，由，故，即.故选：B.8．（2324高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得出，求出二次函数在上的值域即可得解.【详解】因为，则，则，令，所以，，则，则，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，当时，；当时，，则.因此，当时，则函数的值域为.故选：D.9．（2223高一上·重庆北碚·期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合同角三角函数的基本关系式、三角函数的值域、二次函数的性质等知识确定正确选项.【详解】，令，由于，所以，则对于函数，根据二次函数的性质有：当时，；当或时，.所以函数的值域是.故选：D题型四、求三角函数的单调区间10．（2324高一上·重庆·期末）下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合三角函数图象的对称变换，确定各选项中三角函数的周期性与单调性，一一判断各选项，即可求解.【详解】依题意，对于AC，最小正周期为：，所以AC选项不符合题意；对于B：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方，原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：，且在上单调递增，所以B选项不符合题意；对于D：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方，原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：，且在上单调递减，所以D选项符合题意；故选：D11．（2223高一下·上海长宁·期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逐个分析各个函数的周期和单调性即可【详解】对于A，的最小正周期为，而不在函数的定义域内，所以A错误，对于B，的最小正周期为，当时，是严格减函数，所以B正确，对于C，的最小正周期为，而此函数在上是增函数，所以C错误，对于D，的最小正周期为，所以D错误，故选：B12．（2223高一上·福建漳州·期末）函数的单调区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正切函数的性质可得，解得答案.【详解】由，解得，所以函数的单调区间是.故选：A.题型五、求三角函数的对称轴13．（2324高一下·广东·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则（

）A． B．当时，在区间上不单调C．在区间上无最大值 D．在区间上的最小值为【答案】A【分析】把相位看成一个整体变量，再结合正弦曲线，即可分析各选项.【详解】对于A，由，设，则，由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，结合正弦曲线可知直线在线段之间，不含点，可以含，

所以，得.故A正确；对于B，当，且时，设，则，由正弦函数在区间是单调递减，故B错误；对于C，由，设，则，由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，结合正弦曲线可知，这条对称轴正好取到最大值，故C错误；对于D，由，设，则，由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则说明相邻的那条对称轴不在这个区间内，所以结合正弦曲线可知，这条对称轴正好取到最大值，说明在这个区间内没有取到最小值，故D错误；故选：A.14．（2324高一上·吉林白山·期末）将函数的图象向左平移m个单位（），若所得函数的图象关于直线对称，则m的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】辅助角公式化简解析式，可得平移后的解析式，由图象的对称性，求m的取值，再求最小值.【详解】，则，函数的图象关于直线对称，则，解得，由，则当时，m有最小值.故选：B15．（2324高一上·湖北·期末）设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正切函数的图象与性质计算即可.【详解】由题意可知：（），∴，则，显然当时，是的一个最小正周期．不存在，使得，或.故选：B题型六、求三角函数的对称中心16．（2324高一上·贵州毕节·期末）下列函数中，以点为对称中心的函数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函数的对称性可知，C正确.【详解】的对称中心为，A错误；的对称中心为，B错误；的对称中心为，C正确；令，，不恒等于，的图象不关于成中心对称，D错误，故选：C．17．（2324高一上·北京密云·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得到的解析式，整体法求解函数的对称中心，得到答案.【详解】，令，解得，当时，，故为的一个对称中心，C正确，经检验，其他选项均不合要求.故选：C18．（2021高一上·吉林通化·期末）函数的一个对称中心坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用余弦函数的对称中心，整体代换即可求出函数的对称中心，给赋值，确定正确选项.【详解】由的对称中心为，则可令解得，则函数的对称中心坐标是，令则函数的一个对称中心坐标是.故选：C.题型七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心19．（2324高一上·云南德宏·期末）已知函数，则（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．D．的图象在区间上单调递增【答案】C【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性逐一判断即可.【详解】A：，显然不是最值，所以本选项不正确；B：，显然的图象不关于点对称，所以本选项不正确；C：，由A可知，本选项正确；D：，显然不是的子集，因此本选项不正确，故选：C20．（2023·新疆·模拟预测）对于函数，下列结论中正确的是（

）A．的最大值为B．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到C．在上单调递减D．的图象关于点中心对称【答案】C【分析】由可得的最大值为，故A错误；将的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以B错误；根据余弦函数的减区间可知在上单调递减，所以C正确；由可知D不正确.【详解】，所以当，，即，时，取得最大值为，故A错误；将的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以B错误；由，得，所以是的一个单调递减区间，所以在上单调递减，所以C正确；因为，所以点不是的图象的对称中心，所以D不正确.故选：C.21．（2122高一下·陕西汉中·期末）已知函数，下列说法正确的有（

）①函数最小正周期为；②定义域为③图象的所有对称中心为；④函数的单调递增区间为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.【详解】对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；对②，令，解得，即函数的定义域为，所以②错误；对③，令，解得，所以函数的图象关于点对称，所以③正确；对④，令，解得，故函数的单调递增区间为，所以④正确；故①③④正确；故选：C题型八、利用三角函数单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数的值22．（2324高一上·江苏南通·期末）设函数的最小正周期为.若，且对任意，恒成立，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，由对任意，恒成立，可得，计算即可得.【详解】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，综上，.故选：B.23．（2223高一上·江苏徐州·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先得到平移后的解析式，再根据余弦函数的对称性得到，，即可求出的取值，从而得解.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到，因为关于原点对称，所以，，所以，，所以的最小值为.故选：C24．（2122高一下·辽宁·期中）已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定信息，结合正切函数的性质求出，再列出方程可求解.【详解】由函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则有的周期，解得，于是得，所以的图像的对称中心横坐标方程满足，（），解得，（）,可知为其一个对称中心.故选：C题型九、五点法求三角函数解析式25．（2324高一上·福建莆田·期末）已知函数的部分图象如图所示．则函数的解析式为．【答案】【分析】由函数的图像确定周期，求，由“五点法”，求，即可求函数的解析式.【详解】由图象知，，，，把点代入得，，，，，故答案为：．26．（2324高一上·云南·期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式为．【答案】【分析】根据函数图象求三角函数解析式即可.【详解】由图知：且，则，可得，所以，而，且，所以，故.故答案为：27．（2324高一上·江苏·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是.【答案】（答案不唯一）【分析】根据函数图象得到，从而求出，结合特殊点的函数值得到，得到的解析式，再根据平移变换和伸缩变换得到的解析式.【详解】由函数的图象可得：，可得，解得，则∵函数的图象过点，则，即，由，可得，故，解得，故，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到，再向左平移个单位长度，得到.故答案为：（答案不唯一）题型十、三角函数图像的伸缩变换28．（2324高一上·甘肃陇南·期末）要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的C．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度D．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度【答案】A【分析】由题意利用三角函数的图象变换规律，得出结论．【详解】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的得到．也可以将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的得到，再向左平移个单位长度得到．故选：A.29．（2324高一上·广东广州·期末）函数在一个周期内的图像如图所示,为了得到函数的图象,只要把函数的图象上所有的点（

）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】由函数的图象的最大值求出,由周期求出,由五点作图法求出,从而可得的解析式.再结合函数的图象平移变换规律即可得出结论.【详解】由函数的部分图像可得再根据五点法作图可得故把的图象向右平移个单位长度,可得的图象.故选：.30．（2223高一下·江西吉安·期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，再把得到的曲线上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象变换，逐项分析判断作答.【详解】把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，对于A，再向左平移个单位长度，得的图象，A错误；对于B，再向左平移个单位长度，得的图象，B错误；对于C，再向右平移个单位长度，得的图象，C错误；对于D，再向右平移个单位长度，得的图象，D正确.故选：D题型十一：利用图像平移求函数解析式或参数值31．（2324高一上·浙江丽水·期末）已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个可能值是（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】结合函数平移法则写出平移后的解析式，进而得解.【详解】的图象向左平移个单位长度后的解析式为，由题知，，所以，所以，即，由题知，当时，.故选：A32．（2324高一上·福建龙岩·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（

）A． B．是奇函数C．在上单调递增 D．【答案】C【分析】首先得到平移后的函数解析式，根据的对称性求出的值，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到，若的图象关于直线对称，则，，解得，，又，所以，故，则，所以为非奇非偶函数，故A、B错误；当，则，又在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确；因为，故D错误.故选：C33．（2324高一上·河南新乡·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数图象的平移变换,结合奇函数，即可得到答案.【详解】依题意函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得，即，因为为奇函数，所以，解得，因为，所以.故选：D.题型十二、三角函数综合34．（2324高一上·河北沧州·期末）已知函数的最大值为1．(1)求实数a的值及函数的单调递减区间；(2)若将函数图象上所有的点向上平移1个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域．【答案】(1)实数a的值为，单调递减区间为，(2)【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式,由最大值求实数a的值，整体代入法求函数的单调递减区间；（2）由函数图象的变换，求函数解析式，由定义区间结合函数解析式求值域.【详解】（1）函数．因为的最大值为1，所以当时，，则，故实数a的值为．所以．令，．解得，．即函数的单调递减区间为，．（2）将图象上所有的点向上平移1个单位长度得到的图象，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，然后向右平移个单位长度得到的图象．因为，所以，则，所以，即函数的值域为．35．（2324高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递减区间；（2）结合平移法则易得，由求出范围，进而得到的范围.【详解】（1）因为，由，解得，所以的递减区间为；（2）由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到．当时，，由方程有解，可得实数的取值范围为．36．（2324高一上·河南安阳·期末）已知函数.(1)解关于的不等式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的最大值与最小值【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为【分析】（1）利用正弦的和差公式及二倍角公式化简函数式，根据三角函数的图象与性质解不等式即可；（2）根据三角函数图象变换结合二次函数的性质及三角函数的图象与性质求最值即可.【详解】（1），即，所以，解得，故的解集为.（2）由题意可知，则，令，则，当时，；当时，，即在上的最大值为，最小值为.【专题强化】一、单选题37．（2324高一上·广东湛江·期末）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】D【分析】设平移距离为，结合三角函数的图象变换，求得，结合选项，即可求解.【详解】设平移距离为，将函数图象上的各点的横坐标平移个单位，可得，因为，则，即，当时，可得，所以D正确.故选：D．38．（2324高一上·河南商丘·期末）若函数在上恰好有4个零点和4个最值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合正弦型函数的性质计算即可得.【详解】当，则，由题意可得，解得，即的取值范围是.故选：A.39．（2223高一上·湖北·期末）已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，所以，从而求出的取值范围．【详解】因为，所以，因为函数在区间上有2个零点，所以，解得，即的取值范围是故选：C.40．（2324高一上·湖北荆州·期末）已知函数，下列结论正确的是（

）A．函数周期为 B．函数在上为增函数C．函数是偶函数 D．函数关于点对称【答案】D【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得.【详解】对于A，由于，，因此，A错误；对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误；对于C，由于，因此函数是奇函数，不是偶函数，C错误；对于D，，因此函数的图象关于对称，D正确，故选：D.41．（2324高一上·湖北武汉·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于点对称 B．为奇函数C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称【答案】D【分析】根据函数图象求得，然后根据三角函数的对称性、单调性、奇偶性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题可知，又因，所以，则，，则，，所以，，由于，所以，所以，则.对A：，故A错误；对B：为偶函数，故B错误；对C：，则，函数不具有单调性，故C错误；对D：当时，，则是函数的一条对称轴，故D正确.故选：D.42．（2324高一上·陕西榆林·期末）已知函数，将函数的图像沿着轴向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得平移后的函数解析式，即得答案.【详解】因为函数的图像沿着轴向左平移个单位长度，所以，.故选：D.43．（2324高一上·天津河西·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数是（

）①函数最小正周期为；②为函数的一个对称中心；③；④函数向右平移个单位后所得函数为偶函数．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据图象可得函数的周期，判断①，进而求得，结合函数对称中心求得，可得函数解析式，代入验证可判断②，代入求值判断③，根据函数图象的平移变换结合函数的奇偶性可判断④，即得答案.【详解】对于①，设函数的最小正周期为T，则，即，①正确；对于②，由，得；由在函数图象上，得，即，故，因为，故，即，则，即不是函数的一个对称中心，②错误；对于③，，正确；对于④，函数向右平移个单位后所得函数为，该函数为偶函数，④正确，故正确的个数是3，故选：C44．（2324高一上·天津和平·期末）将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再沿轴向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为.关于函数，现有如下命题：①函数的图象关于点对称；②函数在上是增函数：③当时，函数的值域为；④函数是奇函数.其中真命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据给定变换求出函数的解析式，再逐项判断即可.【详解】依题意，，对于①，，因此函数的图象关于点不对称，①错误；对于②，当时，，而函数在是增函数，因此函数在上是增函数，②正确；对于③，当时，，，因此函数的值域为，③正确；对于④，显然函数是偶函数，不是奇函数，④错误，所以真命题的个数为2.故选：B【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.二、多选题45．（2324高一上·浙江·期末）已知函数在区间上单调递增，则下列判断中正确的是（

）A．的最大值为2B．若，则C．若，则D．若函数两个零点间的最小距离为，则【答案】ABD【分析】利用函数的周期性、单调性等有关的性质逐一进行分析，判断各选项是否正确.【详解】函数在区间上单调递增，所以该函数的最小正周期T满足,所以，当时，成立，所以的最大值为2，A正确；因为在区间上单调递增，故有：，当时，，所以，所以，.所以，又，故，可得.故B正确；由于，故当时，，故C错误；令，两个零点分别设为，，则：，因为，所以.故D正确.故选：ABD46．（2324高一上·广西贺州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．将的图象向右平移个单位，得到的图象C．，都有D．函数的减区间为【答案】AC【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解.【详解】由图知，,,即,所以.将代入中，得，解得,又因为，所以当时，所以的解析式为：.对A，，故A正确；对B，将的图象向右平移个单位，得的图象，故B错误；对C，由三角函数的性质知，，所以，都有，故C正确；对D，由,得，所以函数的减区间为，故D错误.故选：AC.47．（2324高一上·广西百色·期末）已知函数，给出下列四个结论，不正确的是（

）A．函数是周期为的偶函数B．函数在区间上单调递减C．函数在区间上的最小值为D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合【答案】AC【分析】根据给定的函数，利用余弦函数的图象性质依次判断ABC；利用给定变换求出解析式判断D.【详解】对于A，由于，，即，则不是偶函数，A错误；对于B，当时，，而余弦函数在上单调递减，因此函数在区间上单调递减，B正确；对于C，当时，，，C错误；对于D，将函数的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，所以所得图象与的图象重合，D正确.故选：AC48．（2324高一上·湖南娄底·期末）函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（

）A．函数的最小正周期为 B．函数的表达式C．函数的一个对称中心为 D．函数图象是由图象向左平移个单位而得到【答案】BD【分析】对于AB，由图可求得和函数表达式即可判断；对于C，代入检验即可判断；对于D，由函数平移法则验算即可.【详解】对于A，由图可知函数的最小正周期满足，解得，即函数的最小正周期为，故A错误；对于B，由得，由图可知，且，解得，又因为，所以只能，所以函数的表达式，故B正确；对于C，，即不是函数的对称中心，故C错误；对于D，由图象向左平移个单位得到图象所对应的函数解析式为，故D正确.故选：BD.49．（2324高一上·福建南平·期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于点对称B．在上单调递减C．若，则D．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度【答案】BC【分析】对于A，直接代入检验即可；对于B，由余弦函数、复合函数单调性即可判断；对于C，由诱导公式即可判断；对于D，由平移变换法则验算即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，当时，，且在内单调递减，可知在上单调递减，故B正确；对于C，若，则，故C正确；对于D，把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，所得函数图象对应函数表达式为，故D错误.故选：BC.50．（2324高一上·贵州毕节·期末）已知函数的图象为，以下说法中正确的是（

）A．函数的最大值为B．图象相邻两条对称轴的距离为C．图象关于中心对称D．要得到函数的图象，只需将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位【答案】CD【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为，所以函数的最大值为，故A错误；函数的最小正周期，所以图象相邻两条对称轴的距离为，故B错误；因为，所以图象关于中心对称，故C正确；将的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到，再将向右平移个单位得到，故D正确.故选：CD．三、填空题51．（2324高一上·安徽安庆·期末）若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是．【答案】【分析】时，结合正弦函数的图像和性质，确定的范围，由不等式求解的取值范围.【详解】因，，所以，因函数在上有且仅有三个零点，所以，解得．则的取值范围是.故答案为：52．（2324高一上·天津·期末）函数的部分图象如图所示，则的值是．【答案】【分析】根据求出，根据函数在取最小值求出，根据求出，则函数的解析式可求出，进而求即可.【详解】由图可知，得，所以，得，又根据函数在取最小值可得，解得，又，所以，所以，所以，得，所以，所以.故答案为：.53．（2324高一上·陕西西安·期末）将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的解析式为.【答案】【分析】由函数图像伸缩变化和平移变化的规律，求函数解析式.【详解】函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得函数的图像，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则.故答案为：54．（2324高一上·福建泉州·期末）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若对于任意，总存在唯一的.使得，则的取值范围为.【答案】【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解.【详解】由题意得，当时，有，此时，令，则，因为时，所以，因为对于的任意取值，在上有唯一解，即在上有唯一解，如图所示：由图可知，，所以.故答案为：.【点睛】关键点睛：关键是得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解.四、解答题55．（2324高一下·广东·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，然后把曲线上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图像．(1)求函数的解析式；(2)若，求函数的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助三角函数平移变换与伸缩变换的性质推导即可得；（2）由的范围，可得的范围，即可得函数的值域．【详解】（1）的图象向左平移个单位长度得的图像，再将其纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图像；（2）设，由，得，则，即在区间上的值域为．56．（2324高一上·湖北武汉·期末）如图是函数（，，）图象的一部分(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据图中的最值和周期求出和，再利用特殊点求得，即可得解；（2）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解.【详解】（1）由图可得，函数的最小正周期为，则，所以，因为，则，因为，所