2023-2024学年高二数学2019选择性试题1.5平面上的距离（十二大题型）

1．5平面上的距离课程标准学习目标（1）能用坐标法、向量方法推导平面上两点间距离公式，体会向量法和几何法各自的特点，发展逻辑推理、数学运算素养．（2）能用两点间距离公式解决问题，能通过具体例子解释用两点间距离公式解决问题的基本步骤，发展数学运算素养．（1）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、平行直线间的距离公式并会应用.（2）会用坐标法证明简单的平面几何问题．知识点一：中点坐标公式若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式．【即学即练1】已知点，，则线段中点的坐标为.【答案】【解析】点，，所以线段中点的坐标为.故答案为：知识点二：两点间的距离公式两点间的距离公式为．知识点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．【即学即练2】已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为点C在x轴上，设点，则，所以，化简可得：，所以.故选：D.知识点三：点到直线的距离公式点到直线的距离为．知识点诠释：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．【即学即练3】已知到直线的距离等于3，则a的值为（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【解析】由距离公式可得，，即解得或.故选：C知识点四：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．知识点诠释：（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．【即学即练4】若两条平行直线与之间的距离是，则．【答案】3【解析】因为直线与平行，所以，解得且，所以直线为，直线化为，因为两平行线间的距离为，所以，得，因为所以，得，所以，故答案为：3题型一：中点公式例1．（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为.【答案】【解析】因为直线与直线和的交点分别为，设，因为点是线段的中点，由中点公式可得，解得，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.故答案为：.例2．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为.【答案】【解析】设点､，由中点坐标公式得：，解得：，，由直线过点､，直线的方程为：，即.故答案为：.例3．（2023·北京西城·高二统考期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为.【答案】【解析】因为，所以线段的中点，且.所以与垂直的直线的斜率为，所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即.故答案为：变式1．（2023·江苏连云港·高二期末）过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是．【答案】【解析】设线段的中点为,因为点到与的距离相等,故，解得,则点．直线的方程为,即．故答案为：变式2．（2023·江苏·高二海安高级中学校考开学考试）直线l被两条直线l1：4x+y+3＝0和l2：3x﹣5y﹣5＝0截得的线段的中点为P（﹣1，2），则直线l的斜率为.【答案】【解析】设直线l与的交点为，直线l与的交点为.由已知条件，得直线l与的交点为，联立，即，解得，所以，，，直线l的斜率，故答案为：.变式3．（2023·江苏南通·高二统考期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为.【答案】【解析】在平面直角坐标系中，，则为直角三角形，且为斜边，故.故答案为：【方法技巧与总结】两点、，且线段的中点坐标为，则，题型二：两点距离公式例4．（2023·全国·高二专题练习）已知两点，，则（

）A．3 B．5 C．9 D．25【答案】B【解析】因为，，则.故选：B例5．（2023·全国·高二课堂例题）已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设的中点为，由中点坐标公式得，所以，所以．故选：A.例6．（2023·全国·高二课堂例题）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（

）A． B． C．或 D．1或【答案】C【解析】因为点与点之间的距离为5，可得，整理得，即，解得或．故选：C.变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，则A，B两点的距离为（

）A．25 B．5C．4 D．【答案】B【解析】由两点间的距离公式得．故选：B.变式5．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）已知函数与的图像相交于，两点，则，两点间的距离为（

）A．7 B． C．5 D．1【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，如下所示：联立，解得，，即点，，联立，解得，，即点，，所以．故选：．变式6．（2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于直线，即，所以在直线上，设，其中，由两边平方得，即，整理得，由于，所以，其中，根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值，且最大值为，则，解得.故选：A【方法技巧与总结】计算两点间距离的方法（1）对于任意两点两点间的距离公式为．（2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．题型三：由顶点判断三角形的形状例7．（2023·高二课时练习）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【答案】C【解析】，，，，所以三角形是直角三角形.故选：C例8．（2023·高二课时练习）以为顶点的的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】根据两点间的距离公式，得，，，所以，且|，故是等腰非等边三角形.答案：C.例9．（多选题）（2023·高二单元测试）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（

）A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则【答案】AB【解析】如图所示，当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对，当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对，当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误，当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误，故选：AB.变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【解析】，，，，，，，是直角三角形．故选：A．【方法技巧与总结】利用两点间距离公式求出三角形的各边长，然后再判断．题型四：由两点距离公式求最值例10．（2023·全国·高二课堂例题）的最小值为．【答案】【解析】，，如图，设点，，，要求的最小值，即求的最小值．由于，当A，B，C三点共线时，等号成立，且，故的最小值为．故答案为：.例11．（2023·甘肃嘉峪关·高二校考期中）函数的最小值是.【答案】5【解析】因为，设，，，则表示点到点，两点的距离之和，即，点是轴上的点，则点关于轴的对称点为，则，所以，所以的最小值是.故答案为：例12．（2023·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期中），其中，，则二元函数的最小值为【答案】7【解析】，，在由直线、、、围成的矩形区域内（含边界），如图所示：因为所以二元函数表示动点到定点，，，距离的和，在矩形边界及内部任取点，连接，，，，，于是有，当且仅当点在线段上时取等号，，当且仅当点在线段上时取等号，于是，当且仅当点是线段与的交点时取等号，又，所以直线为，即，显然直线与轴的交点为在线段上，即当时，的最小值为7.故答案为：．变式8．（2023·全国·高二专题练习）函数的最小值为．【答案】【解析】，根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和，如图所示，作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，可得，又由，当且仅当点与重合时，等号成立，所以，即函数的最小值为故答案为：变式9．（2023·全国·高二专题练习）函数的最小值为.【答案】【解析】，上式表示轴上一点分别到点距离的和，如图所示，设为点关于轴的对称点，则当点为直线与轴的交点时，点到两点距离的和最小，最小值为两点间的距离.，所以函数的最小值为.故答案为：变式10．（2023·黑龙江鸡西·高二校考阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为．【答案】【解析】设，则，∴的几何意义为点与两定点，之间的距离之和．如图所示：设点关于x轴的对称点为，则的坐标为（2，－4）．则，要求的最小值，即求的最小值，又，即的最小值为．故答案为：.变式11．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考阶段练习）已知点分别在直线：与直线：上，且，点，则的最小值为．【答案】【解析】由平行线距离公式得：，设，则，所以，设点，如下图：则有：即当三点共线时等号成立)，综上，．故答案为：变式12．（2023·山东聊城·高二聊城二中校考阶段练习）已知实数a，b满足，则的最小值为.【答案】5【解析】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和.如图，设点N关于直线对称的点为，则，解得，当三点共线时，最小，即最小所以的最小值为.故答案为：5.题型五：点线距离公式例13．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则.【答案】/4.5【解析】依题意，直线，而点，所以.故答案为：例14．（2023·高二课时练习）已知满足，则的最小值为【答案】/0.8【解析】由满足知，点是直线上的任意点，而表示点到定点的距离的平方，因此的最小值即为点到直线距离的平方，即有，所以的最小值为.故答案为：例15．（2023·高二课时练习）已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为．【答案】/【解析】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，因为到直线的距离，所以的最小值为.故答案为：变式13．（2023·全国·高二专题练习）点到直线的距离为．【答案】【解析】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故答案为：.变式14．（2023·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为.【答案】2【解析】因为表示动点到坐标原点，所以的最小值为到线的距离.故答案为：2.变式15．（2023·全国·高三专题练习）点到直线的距离为.【答案】【解析】点到直线的距离为.故答案为：.【方法技巧与总结】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．（2）点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．（3）直线方程中，或公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解．题型六：面积问题例16．（2023·浙江台州·高一温岭中学校考期末）已知在平面直角坐标系中，三个顶点坐标为(1)求直线方程；(2)求的面积.【解析】（1）由已知得，直线斜率存在，为，所以直线方程为，整理得直线方程为（2）因为，所以，直线方程为，到直线的距离，所以的面积为例17．（2023·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期中）已知的顶点，AB边上的高所在直线为，D为AC中点，且BD所在直线的方程为．(1)求点B的坐标；(2)求的面积．【解析】（1）设所在直线方程为，代入可得所以所在直线方程为，又所在直线方程为由，得.（2）设，又，为中点，则，因为在直线上，在上，所以，得，到直线的距离，又所以的面积为例18．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知平行四边形的三个顶点坐标为、、.(1)求所在的直线方程；(2)求平行四边形的面积.【解析】（1）因为四边形为平行四边形，则，则，所以，直线的方程为，即.（2）直线的方程为，即，且，点到直线的距离为，所以，平行四边形的面积为.变式16．（2023·江苏·高二假期作业）以，，为顶点的三角形的面积等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】由题意知：，直线的方程为，即，则到直线的距离为，故三角形的面积为.故选：A.变式17．（2023·高二单元测试）已知直线和点，在直线上求一点，使过、的直线与以及轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小，则坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设点，则直线的方程为，当时，，所以直线与轴交点，（其中），因为，等号成立当且仅当，即，所以点，故选C.变式18．（2023·高一课时练习）已知点，则的面积等于()A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得：设边上的高为，则，其中，边上的高就是点到直线的距离．AB边所在的直线方程为，即.点到直线的距离为因此，.故选：C变式19．（2023·山东菏泽·高二校考阶段练习）的三个顶点分别为，如果直线将分割成面积相等的两部分，则实数的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】所在的直线方程为，设直线与交于，与交于，则，又点的坐标为，点的坐标为，又,由解得：或（舍）.故选：A.【方法技巧与总结】利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论．题型七：由点线距离求参数例19．（2023·高二单元测试）已知直线过点，且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【解析】当直线的斜率不存在时，其方程为，原点到这条直线的距离为1，符合题意；当直线的斜率存在时，设其方程为，即，∵原点到这条直线的距离为1，∴，解得，∴直线的方程是，即，综上，直线的方程是和.故选：A.例20．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意，设直线：恒过原点，点，那么点到直线的距离为：，因为，所以，且直线的斜率，当直线的斜率不存在时，，所以，当时，，所以，即，因为，所以.故选：A.例21．（2023·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】若直线斜率不存在，即，此时，两点到直线的距离分别为3和5，故距离不相等，舍去；若直线斜率存在时，设直线方程为，由得：或，故直线方程为或，整理得或.故选：D变式20．（2023·全国·高三专题练习）直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直线方程可化为，由可得，所以，直线过定点，当时，原点到直线的距离最大，且，又因为直线的斜率为，解得.故选：B.变式21．（2023·河南焦作·高二统考开学考试）已知直线，点和到直线l的距离分别为且，则直线l的方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】∵点到直线l的距离为，点到直线l的距离为，而，∴，可得，解得或，故直线l的方程为或．故选：C变式22．（2023·广东广州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（

）A．5或15 B．5或15C．5或15 D．5或15【答案】D【解析】因为点到直线的距离为1，所以,解得或5.故选:D.变式23．（2023·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）若点和点到直线的距离相等，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】由题意得：，即，解得：或.故选：D.题型八：点关于直线对称例22．（2023·全国·高二专题练习）已知点A（a+2，b+2）和B（ba，b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（）.A．a=1，b=2 B．a=4，b=2C．a=2，b=4 D．a=4，b=2【答案】D【解析】点A，B关于直线对称，则，即，①且AB中点在已知直线上，代入得，②联立①②组成的方程组，解得，故选：D.例23．（2023·四川遂宁·高二统考期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，则，即点A坐标为.故选：C例24．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，，，一束光线从点出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点上．则点D的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出关于的对称点,连接，交于，则D点即为所求，如图，因为所在直线方程为，，设，则，解得，即，由所在直线方程为，，同理可得，所以直线方程为，由解得，故选：C变式24．（2023·河北邢台·高二统考阶段练习）如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直线的方程为，即，设点关于直线AB的对称点为，则，解得，即，又点关于y轴的对称点为，由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长．故选：B.变式25．（2023·全国·高二专题练习）点关于直线的对称点Q的坐标为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得．所以点Q的坐标为.故选：A变式26．（2023·全国·高二专题练习）已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的斜率为（

）A． B． C．4 D．【答案】C【解析】设点关于直线对称的点为，则，解得，故，反射线经过点,所以，即反射光线所在直线的斜率为4，故选：C变式27．（2023·全国·高二专题练习）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，解得.故选：A.变式28．（2023·四川达州·高二达州中学校考阶段练习）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】联立解得，所以反射光线过点，取直线上一点关于对称的点为，则有解得，所以反射光线过点和，则反射光线的斜率，根据点斜式得，即，故选:B.【方法技巧与总结】求点关于直线对称的点方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为，两个条件建立方程组解得点方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得题型九：直线关于直线对称例25．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】点关于轴的对称点的坐标为，由题意可知，直线过点，则，解得.故选：A.例26．（2023·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为．【答案】【解析】设直线关于直线对称的直线为，由得：，则点在直线上；在直线上取一点，设其关于直线对称的点为，则，解得：，即；直线的方程为：，即.故答案为：.例27．（2023·全国·高二专题练习）直线关于直线对称的直线方程是.【答案】【解析】设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为，则,得对称点的坐标为，又点在直线上，所以，即.所以所求直线方程为.故答案为：.变式29．（2023·广东梅州·高二校联考阶段练习）已知直线，它关于直线对称的直线方程为.【答案】【解析】设对称的直线方程的点为，对称点为，直线斜率为1，则有，消去得，故答案为：变式30．（2023·高二课时练习）如果直线l与直线关于y轴对称，那么直线l的方程是．【答案】【解析】∵直线的斜率为1，且与y轴交于（0，1）点，又∵直线l与直线关于y轴对称，∴直线l的斜率为1，且过（0，1）点，则直线l的方程为，故答案为：变式31．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）若直线与关于直线对称，则实数a=.【答案】【解析】直线过点，点关于直线对称点为，依题意可知点在直线上，所以.故答案为：变式32．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳市回民中学校考阶段练习）若直线与直线关于轴对称，则.【答案】【解析】直线的斜率，与轴交于点.直线与直线关于轴对称直线与直线的倾斜角互补，且与轴相较于同一点，解得，则.故答案为：.变式33．（2023·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是.【答案】【解析】设所求直线上任意一点，点P关于的对称点为,如图所示：则有，得∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.故答案为：【方法技巧与总结】求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点（或两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程．题型十：平行线间距离公式例28．（2023·全国·高二课堂例题）两平行直线，之间的距离为．【答案】【解析】因为，所以由两平行直线间的距离公式得．故答案为：.例29．（2023·福建宁德·高二统考期中）若直线与平行，则与间的距离是．【答案】2【解析】因为，所以，得，所以与间的距离.故答案为：2例30．（2023·高二课时练习）直线与，之间的距离相等，则直线的方程是．【答案】【解析】根据题意设直线的方程为，因为直线与，之间的距离相等，所以，解得，所以直线方程为，故答案为：变式34．（2023·高二课时练习）已知，则与之间的距离为．【答案】【解析】由题意知两直线平行，所以与之间的距离.故答案为：变式35．（2023·高二课时练习）若直线与直线的距离为，则实数的值为．【答案】或【解析】依题意，解得或.故答案为：或变式36．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l到两条平行直线与的距离相等，则直线l的方程为．【答案】【解析】依题意设直线的方程为，，则，即，解得，所以直线的方程为．故答案为：【方法技巧与总结】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线，且时，；当直线且时，．但必须注意两直线方程中的系数对应相等．题型十一：直线关于点对称例31．（2023·高二课时练习）直线关于点对称的直线的方程为．【答案】【解析】设为上任意一点，则关于点的对称点为，因为在直线l上，所以，即直线的方程为．故答案为：例32．（2023·高二单元测试）直线关于点的对称直线方程是．【答案】【解析】设对称直线为，则有，即解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中.故答案为：.例33．（2023·河北廊坊·高三校考阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为.【答案】【解析】直线关于点对称的直线的方程可设为，其中又点到直线与到直线的距离相等所以，即，所以或（舍）.故所求直线方程为：.故答案为：.变式37．（2023·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）与直线关于点对称的直线方程是.【答案】【解析】因为直线与直线关于点对称，所以，且点到两直线的距离相等，设直线为，则，解得或（舍去），所以所求直线方程为.故答案为：.变式38．（2023·高二课时练习）直线关于点对称的直线的方程是．【答案】【解析】记直线l关于点P对称的直线为，则由题意可知，所以设的方程为，即又点点P到两直线的距离相等，所以整理可得，解得或当时，即为直线l，故所以所求方程为：.故答案为：变式39．（2023·上海闵行·高二校考阶段练习）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为．【答案】【解析】由得：，当时，，；设直线关于点对称的直线方程为，，解得：或（舍），直线关于点对称的直线方程为.故答案为：.变式40．（2023·全国·高二专题练习）直线关于点对称的直线方程为．【答案】【解析】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即，故答案为：【方法技巧与总结】求直线l关于点中心对称的直线求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）．题型十二：将军饮马问题例34．（2023·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学统考期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，设，，，则为点分别到点，的距离之和，点关于轴的对称点的坐标为，连接，则，当且仅当，，三点共线时取等号，故选：B.例35．（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小，由题知，点满足：，解得：，，即点，因为，所以“将军饮马”的最短总路程为，故选：D例36．（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】点关于直线的对称点为，如下图所示：在直线上任取一点，由对称性可知，所以，，当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立，故“将军饮马”的最短总路程为.故选：B.变式41．（2023·全国·高一专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）．A．5 B． C．45 D．【答案】B【解析】因为点关于直线的对称点为，所以即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为．故选：B．变式42．（2023·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期中）已知点在直线上，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得，∴，又，∴.故选：C.变式43．（2023·高二课时练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，设关于直线对称的点为，则有，可得，可得，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，此时，故选：D.变式44．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点的三等分点，过点作的平行线.(1)求直线的方程；(2)已知两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标.【解析】（1）因为与直线平行，直线的方程为，故可设直线的方程为，由已知，过点作直线，交直线与点，交直线与点，因为，，所以，，因为，所以,又，所以,所以，则或，结合图形检验可得与条件矛盾，所以，故直线的方程为；（2）设点关于直线的对称点，则，所以，当且仅当三点共线时等号成立，连接与直线交与，即点与点重合时，取最小值，由已知，，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，联立可得，所以点的坐标为，故点的坐标为时最小.变式45．（2023·辽宁沈阳·高二校联考阶段练习）已知平面上两点和，在直线上求一点M．(1)使最大值；(2)使最小．【解析】（1）若为关于直线的对称点，则中点在直线上，所以，得，则，由，则，要使最大，只需共线，.（2）如上图，要使最小，只需共线，所以.变式46．（2023·全国·高二专题练习）已知点，直线．(1)在上求一点，使的值最小；(2)在上求一点，使的值最大．【解析】（1）由题意知，点、在直线的同一侧．由平面几何的知识可知，先作出点关于直线的对称点，然后连接，则直线与的交点为所求．设，则且，解得，，，直线的方程为．由，解得，即为所求；（2）连接，则与直线的交点即为所求，易得直线的方程为，联立，解得，即为所求．变式47．（2023·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，直线.(1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标；(2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标.【解析】（1）设点关于的对称点为，则，解得，即，所以直线的方程为，即.当为直线与直线的交点时，最小.由，解得，所以，从而的最小值为.（2）由题意知直线的方程为，即.当为直线与直线的交点时，最大.由，解得，所以，从而的最大值为.【方法技巧与总结】由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线上求一点，使这点到两定点、的距离之差最大的问题，若这两点、位于直线的同侧，则只需求出直线的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若、两点位于直线的异侧，则先求、两点中某一点（如A）关于直线的对称点，再求直线的方程，再求它们与直线的交点即可．对于在直线上求一点，使到平面上两点、的距离之和最小的问题可用类似方法求解．1．（江西省景德镇市20222023学年高二上学期期中数学试题）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．4 B．5 C． D．【答案】A【解析】如图，设点关于直线对称的点为，则，解得，则“将军饮马”的最短总路程为．故选：A．2．（2023·湖南长沙·高一周南中学校考开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，所以，此时周长最小，即，由，直线方程为，所以，解得，所以，可得直线方程为，即，由，解得，所以，令可，所以.故选：C.3．（2023·全国·高二专题练习）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得，即，相互平行，的斜率为，故.故选：C.4．（2023·广东汕头·高二校考期中）若直线与平行，则间的距离是（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【解析】由题设，则，可得或，时，，，满足题设；时，，，显然重合，不满足；所以，此时，，它们距离为.故选：C5．（2023·高二课时练习）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【解析】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，则，即，∴点M在直线上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即.故选：A.6．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】由直线方程，令，解得，则直线过，由直线的倾斜角为，则该直线的斜率，故直线方程为：，化简可得：，则点到直线的距离.故选：C.7．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知，满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】如图，过点作点关于线段的对称点，则.设，则有，解得，所以.设，则，所以，又，所以点到轴的距离为，所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.过点作轴，则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置.因为，所以的最小值为.故选：B．8．（2023·安徽·校联考二模）在平面直角坐标系中，定义两点间的折线距离，该距离也称曼哈顿距离．已知点，若，则的最小值与最大值之和为（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，．令，作出所表示的平面区域如图中实线所示，则，而表示点到原点的距离的平方，结合图形可知的最小值为2，最大值为4，故的最小值与最大值之和为，故选：B．9．（多选题）（2023·浙江温州·高二校联考期中）若两直线与互相平行，则（

）A．B．C．与之间的距离为D．与、距离相等的点的轨迹方程为【答案】ACD【解析】因为两直线与互相平行，所以，解得或，当时，，，此时两直线与互相平行满足题意；当时，，，此时两直线与重合，不合题意.综上有两直线与互相平行时，.故A正确，B错误；与的距离为，故C正确；设与、距离相等的点为，则，整理得，所以与、距离相等的点的轨迹方程为，故D正确.故选：ACD10．（多选题）（2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知直线，，，则下列结论正确的是（

）A．当，到直线距离相等时， B．当时，直线的斜率不存在C．当时，直线在轴上的截距为2 D．当时，直线与直线平行【答案】CD【解析】对选项A：，解得或，错误；对选项B：时，，直线斜率为，错误；对选项C：时，，取，则，正确；对选项D：时，，，不过A点，，，正确；故选：CD11．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知点，，，则下列说法正确的是（

）A．若A、B、C三点共线，则

B．存在实数m，使得C．若三角形是直角三角形，则或D．设，当时，三角形与三角形的面积相等【答案】AD【解析】由题意在直线上，如图，选项A，则已知，解得，A正确；选项B，由已知，，，若存在实数，使得，则，此方程无解，因此不存在，B错误；选项C，若三角形是直角三角形，由图可知若，则，解得，若，则，解得，若，则，解得，C错误；选项D，与不共线，而到直线（即直线）的距离相等，因此角形与三角形的面积相等，D正