山东省聊城市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类

山东省聊城市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答

题知识点分类

一.分式的化简求值

2

i.（2021•聊城）先化简，再求值：跄❷十日二2包（生L其中“=-3.

二.分式方程的应用

2.（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行

改造.在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%,

按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务.

（1）求实际施工时，每天改造管网的长度：

（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以

确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？

三.一元一次不等式组的整数解

yx+l<7-yx»

3.（2020•聊城）解不等式组1.并写出它的所有整数解.

3x-2x-4

3办,4'

四.一次函数的应用

4.（2021•聊城）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化.已知用600

元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5

元.

（1）A,8两种花卉每盆各多少元？

（2）计划购买A,B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的工,

3

求购买4种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？

5.（2020•聊城）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A,8两种树苗，每捆A

种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和

600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9

倍和1.2倍.

（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？

（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树

苗的费用最低，应购进A种树苗和8种树苗各多少棵？并求出最低费用.

五.反比例函数系数k的几何意义

6.(2021•聊城)如图，过C点的直线产-L-2与尤轴，y轴分别交于点A,B两点，且

2

BC=AB,过点C作轴，垂足为点“，交反比例函数)，=K(x>0)的图象于点£>,

x

连接0£>,△0。”的面积为6.

(1)求Z值和点。的坐标；

(2)如图，连接BD,OC,点E在直线y=-1-2上，且位于第二象限内，若△8OE

2

的面积是△OCQ面积的2倍，求点E的坐标.

六.反比例函数与一次函数的交点问题

7.(2022•聊城)如图，直线y=px+3(p¥0)与反比例函数y=K(k>0)在第一象限内的

x

图象交于点A(2,q),与y轴交于点B,过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点

D,交直线y=px+3于点E,且S&AOB；S^COD=3：4.

(1)求k,p的值；

(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标.

8.(2020•聊城)如图，已知反比例函数y=K的图象与直线y=ax+8相交于点A(-2,3),

x

8(1,相).

(1)求出直线的表达式；

(2)在x轴上有一点P使得△肉B的面积为18,求出点尸的坐标.

七.二次函数综合题(共3小题)

9.(2022•聊城)如图，在直角坐标系中，二次函数y=-x?+历:+c的图象与x轴交于A,B

两点，与y轴交于点C(0,3),对称轴为直线x=-l,顶点为点D

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接D4,DC,CB,CA,如图①所示，求证：ZDAC=ZBCO；

(3)如图②，延长。C交x轴于点平移二次函数y=--+公+c的图象，使顶点。

沿着射线DM方向平移到点D1且6=28,得到新抛物线)“，yi交)，轴于点N.如果

在户的对称轴和上分别取点P,Q,使以为一边，点M,N,P,Q为顶点的四边

形是平行四边形，求此时点Q的坐标.

图①图②

10.(2021•聊城)如图，抛物线丫=依2+当+。与X轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知

2

A,C两点坐标分别是A(1,0),C(0,-2),连接AC,BC.

(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；

(2)将△48C沿BC所在直线折叠，得到△O8C,点A的对应点D是否落在抛物线的对

称轴上？若点。在对称轴上，请求出点。的坐标；若点£＞不在对称轴上，请说明理由；

(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接4P交BC于点。，连接BP,

△BPQ的面积记为Si,△ABQ的面积记为S2,求」的值最大时点P的坐标.

S2

与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,垂直于x轴的动直

线/分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对

称轴)沿x轴正方向移动到B点.

(1)求出二次函数y=a?+Z?x+4和BC所在直线的表达式；

(2)在动直线/移动的过程中，试求使四边形OEFP为平行四边形的点尸的坐标；

(3)连接CP,CD,在动直线/移动的过程中，抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,

尸为顶点的三角形与△OCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理

八.平行四边形的判定与性质

12.(2021•聊城)如图，在四边形A8CO中，AC与B力相交于点O,且AO=C。，点E在

8。上，满足NEAO=N£)CO.

(1)求证：四边形AECZ)是平行四边形;

(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形4ECC的面积.

九.菱形的判定

13.(2022♦聊城)如图，Z\ABC中，点。是4B上一点，点E是AC的中点，过点C作CF

//AB,交。E的延长线于点F.

(1)求证：AD=CF；

(2)连接4F,CD.如果点。是A8的中点，那么当AC与2c满足什么条件时，四边

形AOC/是菱形，证明你的结论.

一十.矩形的判定

14.(2020•聊城)如图，在。ABCC中，E为BC的中点，连接AE并延长交OC的延长线于

点凡连接8凡AC,若AD=A尸，求证：四边形ABFC是矩形.

B

E

一十一.切线的判定与性质

15.(2022•聊城)如图，点。是△ABC的边AC上一点，以点。为圆心，OA为半径作。O,

与8c相切于点E,交AB于点。，连接OE,连接0£＞并延长交C8的延长线于点F,Z

AOD=NEOD.

(1)连接4凡求证：A尸是OO的切线：

点。，过点。作OELBC,垂足为点E.

(1)试证明DE是。。的切线；

(2)若。0的半径为5,AC=6\flO.求此时。E的长.

17.(2021•聊城)如图，在△A8C中，AB=AC,OO是△ABC的外接圆，AE是直径，交

BC于点从点。在京上，连接AC,C。过点E作EF〃BC交A。的延长线于点F,延

长BC交AF于点、G.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若BC=2,AH=CG=3,求EF和CD的长.

一十三.特殊角的三角函数值

2

18.（2022♦聊城）先化简，再求值：至Z1+（a-%里）-其中a=2sin45°+（A）

aaa~22

-i

一十四.解直角三角形的应用-仰角俯角问题

19.（2022•聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代

古槐，称为“宋塔唐槐"（如图①）.数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②

所示，当无人机从位于塔基8点与古槐底。点之间的地面”点，竖直起飞到正上方45

米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CO的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点

B,H,。三点在同一直线上）.已知塔高为39米，塔基8与树底。的水平距离为20米,

求古槐的高度（结果精确到1米）.

（参考数据：sin26.6°^0.45,cos26.6°-0.89,tan26.6°40.50,sin76°七0.97,cos76°

«=0.24,tan76°弋4.01）

BHD

图①图②

20.（2020•聊城）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼

AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m,后站在M点处测

得居民楼CQ的顶端。的仰角为45°,居民楼A8的顶端B的仰角为55°,已知居民楼

CD的高度为166”，小莹的观测点N距地面1.6/n.求居民楼AB的高度（精确到1机）.（参

考数据：sin55°=0.82,cos55°七0.57,tan55°g1.43).

一十五.解直角三角形的应用-方向角问题

21.（2021•聊城）时代中学组织学生进行红色研学活动.学生到达爱国主义教育基地后，先

从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从8处向正东方向走到党

史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑。处，最后

从。处回到A处.已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党

史纪念馆之间的距离（精确到1米）.（参考数据：sin37°^0.60,cos37°30.80,tan37°

心0.75,sin650弋0.91,cos650-0.42,tan65°«2.14)

22.（2021•聊城）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间，开设了书法、健

美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情

况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：

请根据以上的信息，回答下列问题:

（1）抽取的学生有人,〃=

（2）补全条形统计图;

（3）若该校有学生3200人，估计参加书法社团活动的学生人数.

23.（2020•聊城）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为:

4“剪纸”、8“沙画”、C“葫芦雕刻”、。“泥塑”、E“插花”.为了了解学生对每种活动

课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统

（1）本次调查的样本容量为;统计图中的。=,b=

（2）通过计算补全条形统计图；

（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数.

一十七.折线统计图

24.（2022•聊城）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取

50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分.竞

赛成绩如图所示：

（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明;

（2）请根据图表中的信息，回答下列问题.

众数中位数方差

八年级竞赛成781.88

绩

九年级竞赛成a8b

绩

①表中的a=,b=

②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给

哪个年级颁奖?

（3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高?

八年级

九年级

678910分数/分

参考答案与试题解析

一.分式的化简求值

1.(2021•聊城)先化简，再求值：组土L+工刈2(在二其中。=-3.

a+1/_]a_12

2/2

【解答】解：原式=2a+1+.a乌一空zl-阳士)

a+1J-]a-l

—2a+l+a，-2a工2a-a：

a+1a2-]a-1

=2a+l+a(a12).软-1

a+1(a+1)(a-l)-a(a-2)

=2a+l一1

a+1a+1

=2a,

a+1

32义仔

当a=一旦时，原式=一丁二'=6.

2多1

二.分式方程的应用

2.(2022•聊城)为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行

改造.在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%,

按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务.

(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；

(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以

确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？

【解答】解：(1)设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网(1+20%)x

米，

由题意得：3600-3600=]0,

x(1+20%)x

解得：x=60,

经检验，x=60是原方程的解，且符合题意.

此时，60X(1+20%)=72(米).

答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；

（2）设以后每天改造管网还要增加“米，

由题意得:（40-20）（72+m）>3600-72X20,

解得：236.

答：以后每天改造管网至少还要增加36米.

三.一元一次不等式组的整数解

yx+l<7-^-x»

3.（2020•聊城）解不等式组，并写出它的所有整数解.

3x-2x-4

3

yx+l<7-yx(D

【解答】解:

警号②

解不等式①，x<3,

解不等式②，得x2-匹，

5

原不等式组的解集为-冬Wx<3,

5

它的所有整数解为0,1,2.

四.一次函数的应用

4.（2021•聊城）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化.已知用600

元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5

元.

（1）A,8两种花卉每盆各多少元？

（2）计划购买A,B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的工,

3

求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？

【解答】解：（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元，

根据题意，得：600=_900_,

xx+0.5

解这个方程，得：x=l,

经检验，X=1是原方程的解，并符合题意，

此时，x+0.5=1+0.5=1.5（元），

；.A种花卉每盆1元，8种花卉每盆1.5元；

(2)设购买A种花卉f盆，购买这批花卉的总费用为w元,

由题意,得：w=f+1.5(6000-t)=-0.5什9000,

:士工(60007),

3

解得：/W1500,

；卬是f的一次函数，-0.5<0,

工卬随，的增大而减小，

.•.当f=1500时，w最小，

Wmin=-0.5X1500+9000=8250(元),

,购买4种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是8250元.

5.(2020•聊城)今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A,B两种树苗，每捆A

种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和

600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9

倍和1.2倍.

(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？

(2)如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树

苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用.

【解答】解：(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程，得：

630600…

------------二10，

0.9x1.2x

解这个方程，得x=20,

经检验，x=20是原分式方程的解，并符合题意，

答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；

(2)由(1)可知A种树苗每棵的价格为：20X0.9=18(元)，8种树苗每棵的价格为:

20X1.2=24(元)，

设购进A种树苗/棵，这批树苗的费用为w元，则：

w=18f+24(5500-t)=-6r+132000,

是，的一次函数，上=-6<0,

二卬随r的增大而减小，

又；fW3500,

，当f=3500棵时，w最小，

止匕时，B种树苗有：5500-3500=2000（棵），vv=-6X3500+132000=111000,

答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最

低费用为1110007U.

五.反比例函数系数k的几何意义

6.（2021•聊城）如图，过C点的直线y=-工-2与x轴，y轴分别交于点A,8两点，且

2

BC=AB,过点C作CHLx轴，垂足为点H,交反比例函数y=K（x>0）的图象于点£>,

x

连接OD,△。£>”的面积为6.

（1）求k值和点。的坐标；

（2）如图，连接BQ,OC,点E在直线y=-L-2上，且位于第二象限内，若ABDE

的面积是△OC。面积的2倍，求点E的坐标.

【解答】解：（1）设点O坐标为（m,〃），由题意得上。，・。”=上《〃=6,

22

mn=\2,

♦.•点。在），=K的图象上，

X

••k~mn=12,

・・•直线y=一L一2的图象与X轴交于点A,

2

，点A的坐标为（-4,0）,

；CD_Lx轴，

；.CW〃y轴，

•,丽武T，

：.OH=AO=^,

...点。的横坐标为4.

V点D在反比例函数y=」2的图象上

X

・・・点。坐标为（4,3）；

（2）由（1）知CD〃y轴，

S4BCD=S〉OCD,

S〉BDE=2S“）CD,

S4EDC=3S&BCD,

过点E作七尺LCQ,垂足为点R交y轴于点M,

•：SAEDC=LCD.EF,SABCD=LCD,OH,

22

XcD'EF=3Xl.CD'OH,

22

：.EF=3OH=\2.

:.EM=8,

.。.点E的横坐标为-8

•.•点E在直线y=-1-2上，

2

.,.点E的坐标为（-8,2）.

六.反比例函数与一次函数的交点问题

7.(2022•聊城)如图，直线y=px+3(pWO)与反比例函数y=K(氏＞0)在第一象限内的

X

图象交于点A(2,q),与y轴交于点"过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点

D,交直线y=px+3于点E,且右40&S^COD=3：4.

(1)求Z,p的值；

(2)若OE将四边形30CE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标.

：.B(0,3),

即OB=3,

・・•点A的横坐标为2,

/•x3X2=3，

,*'S^AOB：S&COD=3：4,

设C(/n,—),

m

2m

解得々=8,

•.•点A(2,q)在双曲线y=2上，

X

「•<7=4,

把点A(2,4)代入y=px+3,

得p=L

2

k=8,/?=—；

2

(2)VC(771,K),

m

:.E(m,A/??+3),

2

・・・OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形,

:・SABOE=S〉COE,

9：S^BOE=^-^(/m+3)-4,

',2^2(lm+3)~4)

解得m=4或m=-4(不符合题意，舍去)，

・••点C的坐标为(4,2).

8.(2020•聊城)如图，己知反比例函数)，=K的图象与直线y=ar+b相交于点A(-2,3),

X

3(1,m).

(1)求出直线y=ox+b的表达式；

(2)在x轴上有一点P使得△B4B的面积为18,求出点P的坐标.

【解答】解：(1)将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：2=-2义3=-6,

故反比例函数表达式为：y=-旦，

X

将点8的坐标代入上式并解得：机=-6,故点8(1,-6),

将点A、8的坐标代入一次函数表达式得，3=-2a+b,解得卜=-3,

|-6=a+bIb=-3

故直线的表达式为：-3x-3；

(2)连接AP、BP,

设直线与x轴的交点为E,当y=0时，x=-I,故点E(-l,0),

分别过点A、8作x轴的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,

贝I」S△%B=4P£?G4+4PE・BO=3PE4APE=9P£；=18,解得：PE=4,

22222

故点P的坐标为（3,0）或（-5,0）.

七.二次函数综合题（共3小题）

9.（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y=-f+bx+c的图象与x轴交于A,B

两点，与y轴交于点C（0,3）,对称轴为直线x=-l,顶点为点D

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接D4,DC,CB,CA,如图①所示，求证：ZDAC=ZBCO；

（3）如图②，延长OC交x轴于点M,平移二次函数y=-/+6x+c的图象，使顶点。

沿着射线DM方向平移到点D1且CDi=2CD,得到新抛物线yi,yi交），轴于点N.如果

在V的对称轴和V上分别取点P，。，使以MN为一边，点M,N,P,。为顶点的四边

形是平行四边形，求此时点。的坐标.

【解答】（1）解：由题意得,

,2X(-1)一\

c=3

.fb="2

,Ic=3,

.•.二次函数的表达式为：y=-7-2x+3；

(2)证明：•.•当x=-1时，y=-1-2X(-1)+3=4,

：.D(-1,4),

由-x2-2x+3=0得，

xi=-3,X2=L

・・・A(-3,0),

AAD2=25,

VC(0,3),

：.CD1=2,AC2=18,

222

:.AC+CD=AD9

：.ZACD=90°,

・・・tanNQAC=^=W^=L

AC3723

VZBOC=90°,

/.tanZBCO=-^5.=A,

0C3

：.ZDAC=ZBCO；

作DEly轴于E,作D\FLy轴于F,

：.DE//FD\,

:•△DECS^DIEF,

：.FD\=2DE=29CF=CE=2,

：.D\(2,1),

「・yi的关系式为：y=~(x-2)2+1,

由-(x-2)2+1=0得，

x=3或1=1,

：.M(3,0),

当x=0时，y=-3,

：.N(0,-3),

设尸(2,m),

当口MN0P时，

:・MN〃PQ,PQ=MN,

・・・Q点的横坐标为-1,

当x=-1时，y=-(-1-2)2+l=-8,

：.Q(-1,8),

当口MNPQ时，

同理可得：点Q横坐标为：5,

当x=5时，y=-(5-2)2+1=-8,

：.Q'(5,-8),

综上所述：点。(-1,-8)或(5,-8).

10.(2021•聊城)如图，抛物线>=以2+当+C与X轴交于点A,B,与y轴交于点C,己知

2

A,C两点坐标分别是A(1,0),C(0,-2),连接AC,BC.

(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式：

(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△OBC,点A的对应点。是否落在抛物线的对

称轴上？若点。在对称轴上，请求出点。的坐标；若点。不在对称轴上，请说明理由；

(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交8c于点Q,连接BP,

Si_

△BPQ的面积记为Si,△ABQ的面积记为S2,求」■的值最大时点尸的坐标.

S2

【解答】解：(1)•・,抛物线>=〃/+m+c过点A(1,0),C(0,-2),

2

2玲+c,解得：卜卷.

-2=cc=~2

.♦•抛物线的表达式为尸/X2^X-2・

设直线AC的表达式为>=代+从则

(k+b=°,解得：卜=2

lb=-2lb=-2

直线AC的表达式为y=2x-2.

(2)点。不在抛物线的对称轴上，理由是：

V抛物线的表达式为y^lx2玲x-2，

...点B坐标为(-4,0).

；OA=1,0c=2,

•0A二OC

"'oc"OB"

XvZAOC=ZCOfi=90°,

:.XAOCsXCOB.

：.ZACO=ZCBO.

.•.N4C0+/BC0=/0BC+/8co=90°,

J.ACVBC.

...将△ABC沿8c所在直线折叠，点£)一定落在直线AC上，

延长AC至。，使。C=AC,过点。作。轴交y轴于点E,如图1.

又；ZACO^ZDCE,

AAACO^ADCE(A4S).

/.DE=AO=1,则点。横坐标为-1,

•.•抛物线的对称轴为直线x=-3.

2

故点D不在抛物线的对称轴上.

(3)设过点8、C的直线表达式为〉=〃X+夕,

VC(0,-2),8(-4,0),

过点B、C的直线解析式为)，=_AX_2.

过点4作x轴的垂线交BC的延长线于点M,点例坐标为(1,-立),

2

过点P作x轴的垂线交8c于点N,垂足为H,如图2.

2),

设点尸坐标为(m,-l-m-k|-in-2则点N坐标为(m,—

.".PN--弓+^-111-2)~"2ir'

'JPN//AM,

：.AAQM^/\PQN.

-PQ_PN

*'AQ"AM"

若分别以P。、4Q为底计算△BPQ和△BAQ的面积(同高不等底)，

s

则△3PQ与△8AQ的面积比为世，即-A=EQ.

AQS2AQ

_12

-S1PN_2m4m一1,、24

-S7=AM_A~~T_T(m+2)*.

2

：-A<o,

5

c

...当m=-2时，一L的最大值为匹，此时点P坐标为(-2,-3).

S25

11.(2020•聊城)如图，二次函数y=a?+bx+4的图象与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),

与y轴交于点C,抛物线的顶点为。，其对称轴与线段BC交于点E,垂直于x轴的动直

线/分别交抛物线和线段8c于点P和点尸，动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对

称轴)沿x轴正方向移动到B点.

(1)求出二次函数和BC所在直线的表达式；

(2)在动直线/移动的过程中，试求使四边形。EFP为平行四边形的点尸的坐标；

(3)连接CP,CD,在动直线/移动的过程中，抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,

F为顶点的三角形与△QCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理

由.

【解答】解：(1)将点A(-1,0),B(4,0),代入)，=0?+法+4,

得：！0=a-b+4

l0=16a+4b+4

解得"a=-l,

Ib=3

.•.二次函数的表达式为：y=-f+3x+4,

当x=0时，y=4,

：.C(0,4),

设8c所在直线的表达式为：y^mx+n,

将C(0,4)、B(4,0)代入)

得:产n,

I0=4m+n

解得：gl,

In=4

所在直线的表达式为：)，=-x+4；

(2)：Z)E_Lx轴，P/JLx轴,

C.DE//PF,

只要。E=PF,四边形。EFP即为平行四边形，

"'y—-X2+3X+4=-(x-3)2+—,

24

.•.点。的坐标为：(3,至)，

24

将x=3■代入y--x+4,即y--—+4=—,

222

.。.点E的坐标为：(旦，5),

22

.♦.。£；=空-$=耳

424

设点P的横坐标为t,

则尸的坐标为：(f,-»+3f+4),尸的坐标为：(3-f+4),

PF=-P+3/+4-(-/+4)=-?+4z,

由DE=PF得：-尸+4/=工，

4

解得：“=旦(不合题意舍去)，

22

当/=旦时，-J+SrHu-(.5.)2+3X-5.+4=.？-k,

2224

...点P的坐标为(立，21)；

24

(3)存在，理由如下:

如图2所示：

由（2）得：PF//DE,

：.ZCED=ZCFP,

又与NOCE有共同的顶点C,且NPCF在/OCE的内部,

，NPCF于NDCE,

，只有NPCF=NCDE时，/\PCF^/\CDE,

.PF=CF

**CEDE

VC(0,4)、E(X5),

22

由(2)得：OE=匹，PF=-?+4/,尸的坐标为：(t,-f+4),

4

•**CF=Vt2+[4-(-t+4)]2=近3

.-12+4tV2t

24

VMO,

.•.至(-z+4)=3,

4

解得：r=西，

5

当工=_1^•时，-»+3r+4=-(JA)2+3X.lg+4=_W£

55525

.♦.点p的坐标为：(a@,送).

八.平行四边形的判定与性质

12.（2021•聊城）如图，在四边形48CD中，4c与B。相交于点O,且AO=CO,点E在

8。上，满足NEAO=NOCO.

（1）求证：四边形AEQ9是平行四边形;

（2）若A8=BC,CD=5,4c=8,求四边形4ECD的面积.

【解答】（1）证明：在△AOE和△CO。中,

'NEAO=/DCO

-AO=CO，

ZAOE=ZCOD

.♦.△AOE安△C。。（ASA）,

：.OD=OE,

又；AO=CO,

...四边形AEC。是平行四边形；

(2)解：'：AB=BC,AO=CO,

OBA.AC,

平行四边形4EC。是菱形，

：AC=8,

.♦.C0=LC=4,

2

在Rt/XCOO中，由勾股定理得：00=352_(：02r52_42=3,

：.DE=2OD=f>,

二菱形AECQ的面积=LCX。E=工><8X6=24.

22

九.菱形的判定

13.(2022•聊城)如图，ZVIBC中，点。是4B上一点，点E是4c的中点，过点C作C尸

//AB,交QE的延长线于点F.

(1)求证：A£>=CF；

(2)连接4F,CD.如果点。是AB的中点，那么当AC与8c满足什么条件时，四边

形AOC尸是菱形，证明你的结论.

A

：.NADF=/CFD,ZDAC^ZFCA,

•.•点E是4c的中点，

：.AE=CE,

：.（AAS）,

：.AD=CF；

（2）解：当4CL8c时，四边形ADC尸是菱形，证明如下：

由（1）知，AD=CF,

'：AD//CF,

...四边形ADCF是平行四边形，

'：AC±BC,

.••△ABC是直角三角形，

:点。是A8的中点，

:.CD=1AB=AD,

2

...四边形ADC产是菱形.

一十.矩形的判定

14.（2020•聊城）如图，在nABCZ）中，E为BC的中点，连接AE并延长交。。的延长线于

点尸，连接BF,AC,若AD=AF,求证：四边形ABFC是矩形.

AD

【解答】证明：：四边形ABC。是平行四边形,

J.AB//CD,

：.ZBAE=ZCFE,NABE=NFCE,

为BC的中点,

：.EB=EC,

.•.△ABEg"CE(A4S),

：.AB=CF.

,JAB//CF,

四边形ABFC是平行四边形,

"：AD=BC,AD=AF,

：,BC=AF,

四边形ABFC是矩形.

一十一.切线的判定与性质

15.（2022•聊城）如图，点。是△4BC的边AC上一点，以点。为圆心，OA为半径作O。,

与BC相切于点E,交48于点。，连接OE,连接。。并延长交CB的延长线于点RZ

AOD=ZEOD.

（1）连接AF,求证：AF是。。的切线;

(2)若尸C=10,AC=6,求F£)的长.

【解答】（1）证明：在△AO尸和尸中,

OA=OE

<ZAOD=ZEOD-

OF=OF

：.^AOF^/\EOFCSAS),

：.4OAF=4OEF,

与OO相切，

J.OELFC,

.\ZOAF^ZOEF=90Q,

即OA1AF,

,：OA是。。的半径，

是O。的切线；

(2)解：在RtZ\C4F中，NCAF=90°,FC=10,AC=6,

."MF=^FC2_AC2=8,

：NOCE=/FC4=90°,

：./\OEC^/\FAC,

•EOCO

•♦而W

设00的半径为r,则三£三，

810

解得厂=区,

3

在RtZ\fi4。中，ZMO=90°,AF=8,AO=B,

3

0/?=VAF2+AO2":-|VTO'

.•.F£>=OF-0£>=旦7!5-里

33

即FD的长为图JTU-1.

33

16.(2020•聊城)如图，在△ABC中，AB=BC,以△ABC的边AB为直径作。0,交AC于

点及，过点。作。E_L8C,垂足为点E.

(1)试证明OE是。。的切线；

(2)若。。的半径为5,AC=6V10,求此时OE的长.

a

【解答】(1)证明：连接。4BD,

TAB是。。直径，

AZADB=90°,

：.BDLACf

•:AB=BC,

・・・。为AC中点，

•：OA=OB,

：.OD//BC,

V£)E±BC,

J.DELOD,

TO。为半径，

・・・OE是的切线；

(2)由(1)知8。是AC的中线，

，A。=C。=,AC=3VI3，

・・・。0的半径为5,

：.AB=10,

ABD=VAB2-AD2=Vio2-(3V10)

*：AB=BC,

：.ZA=ZC,

•：/ADB=NCED=90°,

AACDE^AABD,

ACDJE；即3V15=DE,

••瓦句io7TT

：.DE=3.

一十二.相似三角形的判定与性质

17.(2021•聊城)如图，在aABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圆，AE是直径，交

8C于点，，点。在金上，连接AD,C£＞过点E作E/〃8c交4。的延长线于点凡延

长8c交AF于点G.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若BC=2,AH=CG=3,求E尸和CO的长.

；•AB=AC.

是直径，

•••BE=CE.

：.ZBAE=ZCAE,

又：A8=AC,

：.AELBC,

又,：EF//BC,

：.EFLAE,

是O。的切线；

(2)连接OC,设00的半径为r,

VAE1BC,

，CH=BH=LBC=I,

2

:・HG=HC+CG=4,

・•・AG=A/AH2+HG2=也+16=5,

在RtzXCWC中，o用+afl=od,

/.(3-r)2+1=J,

解得:r=旦,

3

：.AE=^-,

3

,JEF//BC,

△4EFS/\AHG,

•••A--H二H一G,

AEEF

.J_=A

22.EF'

3

：.EF=^-,

9

；AH=3,BH=1,

.•.•=、皿2+5评=7^71=\/15,

:四边形ABCD内接于。0,

：.ZB+ZADC=\SO°,

VZADC+ZCDG=1SO°,

:"B=/CDG,

又,：NDGC=NAGB,

:.丛DCGS/XBAG,

•CDCG

"AB=AG"

•-•C—D,_—3—,

V105

5

一十三.特殊角的三角函数值

2

18.(2022•聊城)先化简，再求值：曳二1+(“-4a-4)-上一其中〃=2sin45°+(1)

aaa-22

-1

2

【解答】解：三二1+(〃-如生)

aaa-2

=(a+2)(0-2)*a_2

a(a-2)2a-2

=a+2_2

a-2a-2

=3，

a-2

Va=2sin450+(A)

2

=2X2/2_+2

2

=&+2.

代入得：原式:卢+2=&+1；

V2+2-2

故答案为：_2_；72+1.

a-2

一十四.解直角三角形的应用-仰角俯角问题

19.(2022•聊城)我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代

古槐，称为“宋塔唐槐"(如图①).数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②

所示，