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文档简介
山东省聊城市三年(2020-2022)中考数学真题分类汇编-03解答
题知识点分类
一.分式的化简求值
2
i.(2021•聊城)先化简,再求值:跄❷十日二2包(生L其中“=-3.
二.分式方程的应用
2.(2022•聊城)为了解决雨季时城市内涝的难题,我市决定对部分老街道的地下管网进行
改造.在改造一段长3600米的街道地下管网时,每天的施工效率比原计划提高了20%,
按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务.
(1)求实际施工时,每天改造管网的长度:
(2)施工进行20天后,为了减少对交通的影响,施工单位决定再次加快施工进度,以
确保总工期不超过40天,那么以后每天改造管网至少还要增加多少米?
三.一元一次不等式组的整数解
yx+l<7-yx»
3.(2020•聊城)解不等式组1.并写出它的所有整数解.
3x-2x-4
3办,4'
四.一次函数的应用
4.(2021•聊城)为迎接建党一百周年,我市计划用两种花卉对某广场进行美化.已知用600
元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等,且B种花卉每盆比A种花卉多0.5
元.
(1)A,8两种花卉每盆各多少元?
(2)计划购买A,B两种花卉共6000盆,其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的工,
3
求购买4种花卉多少盆时,购买这批花卉总费用最低,最低费用是多少元?
5.(2020•聊城)今年植树节期间,某景观园林公司购进一批成捆的A,8两种树苗,每捆A
种树苗比每捆B种树苗多10棵,每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和
600元,而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9
倍和1.2倍.
(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元?
(2)如果购进的这批树苗共5500棵,A种树苗至多购进3500棵,为了使购进的这批树
苗的费用最低,应购进A种树苗和8种树苗各多少棵?并求出最低费用.
五.反比例函数系数k的几何意义
6.(2021•聊城)如图,过C点的直线产-L-2与尤轴,y轴分别交于点A,B两点,且
2
BC=AB,过点C作轴,垂足为点“,交反比例函数),=K(x>0)的图象于点£>,
x
连接0£>,△0。”的面积为6.
(1)求Z值和点。的坐标;
(2)如图,连接BD,OC,点E在直线y=-1-2上,且位于第二象限内,若△8OE
2
的面积是△OCQ面积的2倍,求点E的坐标.
六.反比例函数与一次函数的交点问题
7.(2022•聊城)如图,直线y=px+3(p¥0)与反比例函数y=K(k>0)在第一象限内的
x
图象交于点A(2,q),与y轴交于点B,过双曲线上的一点C作x轴的垂线,垂足为点
D,交直线y=px+3于点E,且S&AOB;S^COD=3:4.
(1)求k,p的值;
(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形,求点C的坐标.
8.(2020•聊城)如图,已知反比例函数y=K的图象与直线y=ax+8相交于点A(-2,3),
x
8(1,相).
(1)求出直线的表达式;
(2)在x轴上有一点P使得△肉B的面积为18,求出点尸的坐标.
七.二次函数综合题(共3小题)
9.(2022•聊城)如图,在直角坐标系中,二次函数y=-x?+历:+c的图象与x轴交于A,B
两点,与y轴交于点C(0,3),对称轴为直线x=-l,顶点为点D
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接D4,DC,CB,CA,如图①所示,求证:ZDAC=ZBCO;
(3)如图②,延长。C交x轴于点平移二次函数y=--+公+c的图象,使顶点。
沿着射线DM方向平移到点D1且6=28,得到新抛物线)“,yi交),轴于点N.如果
在户的对称轴和上分别取点P,Q,使以为一边,点M,N,P,Q为顶点的四边
形是平行四边形,求此时点Q的坐标.
图①图②
10.(2021•聊城)如图,抛物线丫=依2+当+。与X轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知
2
A,C两点坐标分别是A(1,0),C(0,-2),连接AC,BC.
(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式;
(2)将△48C沿BC所在直线折叠,得到△O8C,点A的对应点D是否落在抛物线的对
称轴上?若点。在对称轴上,请求出点。的坐标;若点£>不在对称轴上,请说明理由;
(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点,连接4P交BC于点。,连接BP,
△BPQ的面积记为Si,△ABQ的面积记为S2,求」的值最大时点P的坐标.
S2
与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,垂直于x轴的动直
线/分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对
称轴)沿x轴正方向移动到B点.
(1)求出二次函数y=a?+Z?x+4和BC所在直线的表达式;
(2)在动直线/移动的过程中,试求使四边形OEFP为平行四边形的点尸的坐标;
(3)连接CP,CD,在动直线/移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,
尸为顶点的三角形与△OCE相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理
八.平行四边形的判定与性质
12.(2021•聊城)如图,在四边形A8CO中,AC与B力相交于点O,且AO=C。,点E在
8。上,满足NEAO=N£)CO.
(1)求证:四边形AECZ)是平行四边形;
(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形4ECC的面积.
九.菱形的判定
13.(2022♦聊城)如图,Z\ABC中,点。是4B上一点,点E是AC的中点,过点C作CF
//AB,交。E的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF;
(2)连接4F,CD.如果点。是A8的中点,那么当AC与2c满足什么条件时,四边
形AOC/是菱形,证明你的结论.
一十.矩形的判定
14.(2020•聊城)如图,在。ABCC中,E为BC的中点,连接AE并延长交OC的延长线于
点凡连接8凡AC,若AD=A尸,求证:四边形ABFC是矩形.
B
E
一十一.切线的判定与性质
15.(2022•聊城)如图,点。是△ABC的边AC上一点,以点。为圆心,OA为半径作。O,
与8c相切于点E,交AB于点。,连接OE,连接0£>并延长交C8的延长线于点F,Z
AOD=NEOD.
(1)连接4凡求证:A尸是OO的切线:
点。,过点。作OELBC,垂足为点E.
(1)试证明DE是。。的切线;
(2)若。0的半径为5,AC=6\flO.求此时。E的长.
17.(2021•聊城)如图,在△A8C中,AB=AC,OO是△ABC的外接圆,AE是直径,交
BC于点从点。在京上,连接AC,C。过点E作EF〃BC交A。的延长线于点F,延
长BC交AF于点、G.
(1)求证:EF是。。的切线;
(2)若BC=2,AH=CG=3,求EF和CD的长.
一十三.特殊角的三角函数值
2
18.(2022♦聊城)先化简,再求值:至Z1+(a-%里)-其中a=2sin45°+(A)
aaa~22
-i
一十四.解直角三角形的应用-仰角俯角问题
19.(2022•聊城)我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔,塔旁有一棵唐代
古槐,称为“宋塔唐槐"(如图①).数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度,如图②
所示,当无人机从位于塔基8点与古槐底。点之间的地面”点,竖直起飞到正上方45
米E点处时,测得塔AB的顶端A和古槐CO的顶端C的俯角分别为26.6°和76°(点
B,H,。三点在同一直线上).已知塔高为39米,塔基8与树底。的水平距离为20米,
求古槐的高度(结果精确到1米).
(参考数据:sin26.6°^0.45,cos26.6°-0.89,tan26.6°40.50,sin76°七0.97,cos76°
«=0.24,tan76°弋4.01)
BHD
图①图②
20.(2020•聊城)如图,小莹在数学综合实践活动中,利用所学的数学知识对某小区居民楼
AB的高度进行测量,先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m,后站在M点处测
得居民楼CQ的顶端。的仰角为45°,居民楼A8的顶端B的仰角为55°,已知居民楼
CD的高度为166”,小莹的观测点N距地面1.6/n.求居民楼AB的高度(精确到1机).(参
考数据:sin55°=0.82,cos55°七0.57,tan55°g1.43).
一十五.解直角三角形的应用-方向角问题
21.(2021•聊城)时代中学组织学生进行红色研学活动.学生到达爱国主义教育基地后,先
从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处,再从8处向正东方向走到党
史纪念馆C处,然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑。处,最后
从。处回到A处.已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向,求革命纪念碑与党
史纪念馆之间的距离(精确到1米).(参考数据:sin37°^0.60,cos37°30.80,tan37°
心0.75,sin650弋0.91,cos650-0.42,tan65°«2.14)
22.(2021•聊城)为扎实推进“五育并举”工作,某校利用课外活动时间,开设了书法、健
美操、乒乓球和朗诵四个社团活动,每个学生选择一项活动参加,为了了解活动开展情
况,学校随机抽取了部分学生进行调查,将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图:
请根据以上的信息,回答下列问题:
(1)抽取的学生有人,〃=
(2)补全条形统计图;
(3)若该校有学生3200人,估计参加书法社团活动的学生人数.
23.(2020•聊城)为了提高学生的综合素养,某校开设了五门手工活动课,按照类别分为:
4“剪纸”、8“沙画”、C“葫芦雕刻”、。“泥塑”、E“插花”.为了了解学生对每种活动
课的喜爱情况,随机抽取了部分同学进行调查,将调查结果绘制成如图两幅不完整的统
(1)本次调查的样本容量为;统计图中的。=,b=
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)该校共有2500名学生,请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数.
一十七.折线统计图
24.(2022•聊城)为庆祝中国共产主义青年团成立100周年,学校团委在八、九年级各抽取
50名团员开展团知识竞赛,为便于统计成绩,制定了取整数的计分方式,满分10分.竞
赛成绩如图所示:
(1)你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗?通过计算说明;
(2)请根据图表中的信息,回答下列问题.
众数中位数方差
八年级竞赛成781.88
绩
九年级竞赛成a8b
绩
①表中的a=,b=
②现要给成绩突出的年级颁奖,如果分别从众数和方差两个角度来分析,你认为应该给
哪个年级颁奖?
(3)若规定成绩10分获一等奖,9分获二等奖,8分获三等奖,则哪个年级的获奖率高?
八年级
九年级
678910分数/分
参考答案与试题解析
一.分式的化简求值
1.(2021•聊城)先化简,再求值:组土L+工刈2(在二其中。=-3.
a+1/_]a_12
2/2
【解答】解:原式=2a+1+.a乌一空zl-阳士)
a+1J-]a-l
—2a+l+a,-2a工2a-a:
a+1a2-]a-1
=2a+l+a(a12).软-1
a+1(a+1)(a-l)-a(a-2)
=2a+l一1
a+1a+1
=2a,
a+1
32义仔
当a=一旦时,原式=一丁二'=6.
2多1
二.分式方程的应用
2.(2022•聊城)为了解决雨季时城市内涝的难题,我市决定对部分老街道的地下管网进行
改造.在改造一段长3600米的街道地下管网时,每天的施工效率比原计划提高了20%,
按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务.
(1)求实际施工时,每天改造管网的长度;
(2)施工进行20天后,为了减少对交通的影响,施工单位决定再次加快施工进度,以
确保总工期不超过40天,那么以后每天改造管网至少还要增加多少米?
【解答】解:(1)设原计划每天改造管网x米,则实际施工时每天改造管网(1+20%)x
米,
由题意得:3600-3600=]0,
x(1+20%)x
解得:x=60,
经检验,x=60是原方程的解,且符合题意.
此时,60X(1+20%)=72(米).
答:实际施工时,每天改造管网的长度是72米;
(2)设以后每天改造管网还要增加“米,
由题意得:(40-20)(72+m)>3600-72X20,
解得:236.
答:以后每天改造管网至少还要增加36米.
三.一元一次不等式组的整数解
yx+l<7-^-x»
3.(2020•聊城)解不等式组,并写出它的所有整数解.
3x-2x-4
3
yx+l<7-yx(D
【解答】解:
警号②
解不等式①,x<3,
解不等式②,得x2-匹,
5
原不等式组的解集为-冬Wx<3,
5
它的所有整数解为0,1,2.
四.一次函数的应用
4.(2021•聊城)为迎接建党一百周年,我市计划用两种花卉对某广场进行美化.已知用600
元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等,且B种花卉每盆比A种花卉多0.5
元.
(1)A,8两种花卉每盆各多少元?
(2)计划购买A,B两种花卉共6000盆,其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的工,
3
求购买A种花卉多少盆时,购买这批花卉总费用最低,最低费用是多少元?
【解答】解:(1)设A种花卉每盆x元,B种花卉每盆(x+0.5)元,
根据题意,得:600=_900_,
xx+0.5
解这个方程,得:x=l,
经检验,X=1是原方程的解,并符合题意,
此时,x+0.5=1+0.5=1.5(元),
;.A种花卉每盆1元,8种花卉每盆1.5元;
(2)设购买A种花卉f盆,购买这批花卉的总费用为w元,
由题意,得:w=f+1.5(6000-t)=-0.5什9000,
:士工(60007),
3
解得:/W1500,
;卬是f的一次函数,-0.5<0,
工卬随,的增大而减小,
.•.当f=1500时,w最小,
Wmin=-0.5X1500+9000=8250(元),
,购买4种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低,最低费用是8250元.
5.(2020•聊城)今年植树节期间,某景观园林公司购进一批成捆的A,B两种树苗,每捆A
种树苗比每捆B种树苗多10棵,每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和
600元,而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9
倍和1.2倍.
(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元?
(2)如果购进的这批树苗共5500棵,A种树苗至多购进3500棵,为了使购进的这批树
苗的费用最低,应购进A种树苗和B种树苗各多少棵?并求出最低费用.
【解答】解:(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x元,根据题意列方程,得:
630600…
------------二10,
0.9x1.2x
解这个方程,得x=20,
经检验,x=20是原分式方程的解,并符合题意,
答:这一批树苗平均每棵的价格是20元;
(2)由(1)可知A种树苗每棵的价格为:20X0.9=18(元),8种树苗每棵的价格为:
20X1.2=24(元),
设购进A种树苗/棵,这批树苗的费用为w元,则:
w=18f+24(5500-t)=-6r+132000,
是,的一次函数,上=-6<0,
二卬随r的增大而减小,
又;fW3500,
,当f=3500棵时,w最小,
止匕时,B种树苗有:5500-3500=2000(棵),vv=-6X3500+132000=111000,
答:购进A种树苗3500棵,B种树苗2000棵时,能使得购进这批树苗的费用最低,最
低费用为1110007U.
五.反比例函数系数k的几何意义
6.(2021•聊城)如图,过C点的直线y=-工-2与x轴,y轴分别交于点A,8两点,且
2
BC=AB,过点C作CHLx轴,垂足为点H,交反比例函数y=K(x>0)的图象于点£>,
x
连接OD,△。£>”的面积为6.
(1)求k值和点。的坐标;
(2)如图,连接BQ,OC,点E在直线y=-L-2上,且位于第二象限内,若ABDE
的面积是△OC。面积的2倍,求点E的坐标.
【解答】解:(1)设点O坐标为(m,〃),由题意得上。,・。”=上《〃=6,
22
mn=\2,
♦.•点。在),=K的图象上,
X
••k~mn=12,
・・•直线y=一L一2的图象与X轴交于点A,
2
,点A的坐标为(-4,0),
;CD_Lx轴,
;.CW〃y轴,
•,丽武T,
:.OH=AO=^,
...点。的横坐标为4.
V点D在反比例函数y=」2的图象上
X
・・・点。坐标为(4,3);
(2)由(1)知CD〃y轴,
S4BCD=S〉OCD,
S〉BDE=2S“)CD,
S4EDC=3S&BCD,
过点E作七尺LCQ,垂足为点R交y轴于点M,
•:SAEDC=LCD.EF,SABCD=LCD,OH,
22
XcD'EF=3Xl.CD'OH,
22
:.EF=3OH=\2.
:.EM=8,
.。.点E的横坐标为-8
•.•点E在直线y=-1-2上,
2
.,.点E的坐标为(-8,2).
六.反比例函数与一次函数的交点问题
7.(2022•聊城)如图,直线y=px+3(pWO)与反比例函数y=K(氏>0)在第一象限内的
X
图象交于点A(2,q),与y轴交于点"过双曲线上的一点C作x轴的垂线,垂足为点
D,交直线y=px+3于点E,且右40&S^COD=3:4.
(1)求Z,p的值;
(2)若OE将四边形30CE分成两个面积相等的三角形,求点C的坐标.
:.B(0,3),
即OB=3,
・・•点A的横坐标为2,
/•x3X2=3,
,*'S^AOB:S&COD=3:4,
设C(/n,—),
m
2m
解得々=8,
•.•点A(2,q)在双曲线y=2上,
X
「•<7=4,
把点A(2,4)代入y=px+3,
得p=L
2
k=8,/?=—;
2
(2)VC(771,K),
m
:.E(m,A/??+3),
2
・・・OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形,
:・SABOE=S〉COE,
9:S^BOE=^-^(/m+3)-4,
',2^2(lm+3)~4)
解得m=4或m=-4(不符合题意,舍去),
・••点C的坐标为(4,2).
8.(2020•聊城)如图,己知反比例函数),=K的图象与直线y=ar+b相交于点A(-2,3),
X
3(1,m).
(1)求出直线y=ox+b的表达式;
(2)在x轴上有一点P使得△B4B的面积为18,求出点P的坐标.
【解答】解:(1)将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得:2=-2义3=-6,
故反比例函数表达式为:y=-旦,
X
将点8的坐标代入上式并解得:机=-6,故点8(1,-6),
将点A、8的坐标代入一次函数表达式得,3=-2a+b,解得卜=-3,
|-6=a+bIb=-3
故直线的表达式为:-3x-3;
(2)连接AP、BP,
设直线与x轴的交点为E,当y=0时,x=-I,故点E(-l,0),
分别过点A、8作x轴的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,
贝I」S△%B=4P£?G4+4PE・BO=3PE4APE=9P£;=18,解得:PE=4,
22222
故点P的坐标为(3,0)或(-5,0).
七.二次函数综合题(共3小题)
9.(2022•聊城)如图,在直角坐标系中,二次函数y=-f+bx+c的图象与x轴交于A,B
两点,与y轴交于点C(0,3),对称轴为直线x=-l,顶点为点D
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接D4,DC,CB,CA,如图①所示,求证:ZDAC=ZBCO;
(3)如图②,延长OC交x轴于点M,平移二次函数y=-/+6x+c的图象,使顶点。
沿着射线DM方向平移到点D1且CDi=2CD,得到新抛物线yi,yi交),轴于点N.如果
在V的对称轴和V上分别取点P,。,使以MN为一边,点M,N,P,。为顶点的四边
形是平行四边形,求此时点。的坐标.
【解答】(1)解:由题意得,
,2X(-1)一\
c=3
.fb="2
,Ic=3,
.•.二次函数的表达式为:y=-7-2x+3;
(2)证明:•.•当x=-1时,y=-1-2X(-1)+3=4,
:.D(-1,4),
由-x2-2x+3=0得,
xi=-3,X2=L
・・・A(-3,0),
AAD2=25,
VC(0,3),
:.CD1=2,AC2=18,
222
:.AC+CD=AD9
:.ZACD=90°,
・・・tanNQAC=^=W^=L
AC3723
VZBOC=90°,
/.tanZBCO=-^5.=A,
0C3
:.ZDAC=ZBCO;
作DEly轴于E,作D\FLy轴于F,
:.DE//FD\,
:•△DECS^DIEF,
:.FD\=2DE=29CF=CE=2,
:.D\(2,1),
「・yi的关系式为:y=~(x-2)2+1,
由-(x-2)2+1=0得,
x=3或1=1,
:.M(3,0),
当x=0时,y=-3,
:.N(0,-3),
设尸(2,m),
当口MN0P时,
:・MN〃PQ,PQ=MN,
・・・Q点的横坐标为-1,
当x=-1时,y=-(-1-2)2+l=-8,
:.Q(-1,8),
当口MNPQ时,
同理可得:点Q横坐标为:5,
当x=5时,y=-(5-2)2+1=-8,
:.Q'(5,-8),
综上所述:点。(-1,-8)或(5,-8).
10.(2021•聊城)如图,抛物线>=以2+当+C与X轴交于点A,B,与y轴交于点C,己知
2
A,C两点坐标分别是A(1,0),C(0,-2),连接AC,BC.
(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式:
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠,得到△OBC,点A的对应点。是否落在抛物线的对
称轴上?若点。在对称轴上,请求出点。的坐标;若点。不在对称轴上,请说明理由;
(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点,连接AP交8c于点Q,连接BP,
Si_
△BPQ的面积记为Si,△ABQ的面积记为S2,求」■的值最大时点尸的坐标.
S2
【解答】解:(1)•・,抛物线>=〃/+m+c过点A(1,0),C(0,-2),
2
2玲+c,解得:卜卷.
-2=cc=~2
.♦•抛物线的表达式为尸/X2^X-2・
设直线AC的表达式为>=代+从则
(k+b=°,解得:卜=2
lb=-2lb=-2
直线AC的表达式为y=2x-2.
(2)点。不在抛物线的对称轴上,理由是:
V抛物线的表达式为y^lx2玲x-2,
...点B坐标为(-4,0).
;OA=1,0c=2,
•0A二OC
"'oc"OB"
XvZAOC=ZCOfi=90°,
:.XAOCsXCOB.
:.ZACO=ZCBO.
.•.N4C0+/BC0=/0BC+/8co=90°,
J.ACVBC.
...将△ABC沿8c所在直线折叠,点£)一定落在直线AC上,
延长AC至。,使。C=AC,过点。作。轴交y轴于点E,如图1.
又;ZACO^ZDCE,
AAACO^ADCE(A4S).
/.DE=AO=1,则点。横坐标为-1,
•.•抛物线的对称轴为直线x=-3.
2
故点D不在抛物线的对称轴上.
(3)设过点8、C的直线表达式为〉=〃X+夕,
VC(0,-2),8(-4,0),
过点B、C的直线解析式为),=_AX_2.
过点4作x轴的垂线交BC的延长线于点M,点例坐标为(1,-立),
2
过点P作x轴的垂线交8c于点N,垂足为H,如图2.
2),
设点尸坐标为(m,-l-m-k|-in-2则点N坐标为(m,—
.".PN--弓+^-111-2)~"2ir'
'JPN//AM,
:.AAQM^/\PQN.
-PQ_PN
*'AQ"AM"
若分别以P。、4Q为底计算△BPQ和△BAQ的面积(同高不等底),
s
则△3PQ与△8AQ的面积比为世,即-A=EQ.
AQS2AQ
_12
-S1PN_2m4m一1,、24
-S7=AM_A~~T_T(m+2)*.
2
:-A<o,
5
c
...当m=-2时,一L的最大值为匹,此时点P坐标为(-2,-3).
S25
11.(2020•聊城)如图,二次函数y=a?+bx+4的图象与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),
与y轴交于点C,抛物线的顶点为。,其对称轴与线段BC交于点E,垂直于x轴的动直
线/分别交抛物线和线段8c于点P和点尸,动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对
称轴)沿x轴正方向移动到B点.
(1)求出二次函数和BC所在直线的表达式;
(2)在动直线/移动的过程中,试求使四边形。EFP为平行四边形的点尸的坐标;
(3)连接CP,CD,在动直线/移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,
F为顶点的三角形与△QCE相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理
由.
【解答】解:(1)将点A(-1,0),B(4,0),代入),=0?+法+4,
得:!0=a-b+4
l0=16a+4b+4
解得"a=-l,
Ib=3
.•.二次函数的表达式为:y=-f+3x+4,
当x=0时,y=4,
:.C(0,4),
设8c所在直线的表达式为:y^mx+n,
将C(0,4)、B(4,0)代入)
得:产n,
I0=4m+n
解得:gl,
In=4
所在直线的表达式为:),=-x+4;
(2):Z)E_Lx轴,P/JLx轴,
C.DE//PF,
只要。E=PF,四边形。EFP即为平行四边形,
"'y—-X2+3X+4=-(x-3)2+—,
24
.•.点。的坐标为:(3,至),
24
将x=3■代入y--x+4,即y--—+4=—,
222
.。.点E的坐标为:(旦,5),
22
.♦.。£;=空-$=耳
424
设点P的横坐标为t,
则尸的坐标为:(f,-»+3f+4),尸的坐标为:(3-f+4),
PF=-P+3/+4-(-/+4)=-?+4z,
由DE=PF得:-尸+4/=工,
4
解得:“=旦(不合题意舍去),
22
当/=旦时,-J+SrHu-(.5.)2+3X-5.+4=.?-k,
2224
...点P的坐标为(立,21);
24
(3)存在,理由如下:
如图2所示:
由(2)得:PF//DE,
:.ZCED=ZCFP,
又与NOCE有共同的顶点C,且NPCF在/OCE的内部,
,NPCF于NDCE,
,只有NPCF=NCDE时,/\PCF^/\CDE,
.PF=CF
**CEDE
VC(0,4)、E(X5),
22
由(2)得:OE=匹,PF=-?+4/,尸的坐标为:(t,-f+4),
4
•**CF=Vt2+[4-(-t+4)]2=近3
.-12+4tV2t
24
VMO,
.•.至(-z+4)=3,
4
解得:r=西,
5
当工=_1^•时,-»+3r+4=-(JA)2+3X.lg+4=_W£
55525
.♦.点p的坐标为:(a@,送).
八.平行四边形的判定与性质
12.(2021•聊城)如图,在四边形48CD中,4c与B。相交于点O,且AO=CO,点E在
8。上,满足NEAO=NOCO.
(1)求证:四边形AEQ9是平行四边形;
(2)若A8=BC,CD=5,4c=8,求四边形4ECD的面积.
【解答】(1)证明:在△AOE和△CO。中,
'NEAO=/DCO
-AO=CO,
ZAOE=ZCOD
.♦.△AOE安△C。。(ASA),
:.OD=OE,
又;AO=CO,
...四边形AEC。是平行四边形;
(2)解:':AB=BC,AO=CO,
OBA.AC,
平行四边形4EC。是菱形,
:AC=8,
.♦.C0=LC=4,
2
在Rt/XCOO中,由勾股定理得:00=352_(:02r52_42=3,
:.DE=2OD=f>,
二菱形AECQ的面积=LCX。E=工><8X6=24.
22
九.菱形的判定
13.(2022•聊城)如图,ZVIBC中,点。是4B上一点,点E是4c的中点,过点C作C尸
//AB,交QE的延长线于点F.
(1)求证:A£>=CF;
(2)连接4F,CD.如果点。是AB的中点,那么当AC与8c满足什么条件时,四边
形AOC尸是菱形,证明你的结论.
A
:.NADF=/CFD,ZDAC^ZFCA,
•.•点E是4c的中点,
:.AE=CE,
:.(AAS),
:.AD=CF;
(2)解:当4CL8c时,四边形ADC尸是菱形,证明如下:
由(1)知,AD=CF,
':AD//CF,
...四边形ADCF是平行四边形,
':AC±BC,
.••△ABC是直角三角形,
:点。是A8的中点,
:.CD=1AB=AD,
2
...四边形ADC产是菱形.
一十.矩形的判定
14.(2020•聊城)如图,在nABCZ)中,E为BC的中点,连接AE并延长交。。的延长线于
点尸,连接BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
AD
【解答】证明::四边形ABC。是平行四边形,
J.AB//CD,
:.ZBAE=ZCFE,NABE=NFCE,
为BC的中点,
:.EB=EC,
.•.△ABEg"CE(A4S),
:.AB=CF.
,JAB//CF,
四边形ABFC是平行四边形,
":AD=BC,AD=AF,
:,BC=AF,
四边形ABFC是矩形.
一十一.切线的判定与性质
15.(2022•聊城)如图,点。是△4BC的边AC上一点,以点。为圆心,OA为半径作O。,
与BC相切于点E,交48于点。,连接OE,连接。。并延长交CB的延长线于点RZ
AOD=ZEOD.
(1)连接AF,求证:AF是。。的切线;
(2)若尸C=10,AC=6,求F£)的长.
【解答】(1)证明:在△AO尸和尸中,
OA=OE
<ZAOD=ZEOD-
OF=OF
:.^AOF^/\EOFCSAS),
:.4OAF=4OEF,
与OO相切,
J.OELFC,
.\ZOAF^ZOEF=90Q,
即OA1AF,
,:OA是。。的半径,
是O。的切线;
(2)解:在RtZ\C4F中,NCAF=90°,FC=10,AC=6,
."MF=^FC2_AC2=8,
:NOCE=/FC4=90°,
:./\OEC^/\FAC,
•EOCO
•♦而W
设00的半径为r,则三£三,
810
解得厂=区,
3
在RtZ\fi4。中,ZMO=90°,AF=8,AO=B,
3
0/?=VAF2+AO2":-|VTO'
.•.F£>=OF-0£>=旦7!5-里
33
即FD的长为图JTU-1.
33
16.(2020•聊城)如图,在△ABC中,AB=BC,以△ABC的边AB为直径作。0,交AC于
点及,过点。作。E_L8C,垂足为点E.
(1)试证明OE是。。的切线;
(2)若。。的半径为5,AC=6V10,求此时OE的长.
a
【解答】(1)证明:连接。4BD,
TAB是。。直径,
AZADB=90°,
:.BDLACf
•:AB=BC,
・・・。为AC中点,
•:OA=OB,
:.OD//BC,
V£)E±BC,
J.DELOD,
TO。为半径,
・・・OE是的切线;
(2)由(1)知8。是AC的中线,
,A。=C。=,AC=3VI3,
・・・。0的半径为5,
:.AB=10,
ABD=VAB2-AD2=Vio2-(3V10)
*:AB=BC,
:.ZA=ZC,
•:/ADB=NCED=90°,
AACDE^AABD,
ACDJE;即3V15=DE,
••瓦句io7TT
:.DE=3.
一十二.相似三角形的判定与性质
17.(2021•聊城)如图,在aABC中,AB=AC,。。是△ABC的外接圆,AE是直径,交
8C于点,,点。在金上,连接AD,C£>过点E作E/〃8c交4。的延长线于点凡延
长8c交AF于点G.
(1)求证:EF是。。的切线;
(2)若BC=2,AH=CG=3,求E尸和CO的长.
;•AB=AC.
是直径,
•••BE=CE.
:.ZBAE=ZCAE,
又:A8=AC,
:.AELBC,
又,:EF//BC,
:.EFLAE,
是O。的切线;
(2)连接OC,设00的半径为r,
VAE1BC,
,CH=BH=LBC=I,
2
:・HG=HC+CG=4,
・•・AG=A/AH2+HG2=也+16=5,
在RtzXCWC中,o用+afl=od,
/.(3-r)2+1=J,
解得:r=旦,
3
:.AE=^-,
3
,JEF//BC,
△4EFS/\AHG,
•••A--H二H一G,
AEEF
.J_=A
22.EF'
3
:.EF=^-,
9
;AH=3,BH=1,
.•.•=、皿2+5评=7^71=\/15,
:四边形ABCD内接于。0,
:.ZB+ZADC=\SO°,
VZADC+ZCDG=1SO°,
:"B=/CDG,
又,:NDGC=NAGB,
:.丛DCGS/XBAG,
•CDCG
"AB=AG"
•-•C—D,_—3—,
V105
5
一十三.特殊角的三角函数值
2
18.(2022•聊城)先化简,再求值:曳二1+(“-4a-4)-上一其中〃=2sin45°+(1)
aaa-22
-1
2
【解答】解:三二1+(〃-如生)
aaa-2
=(a+2)(0-2)*a_2
a(a-2)2a-2
=a+2_2
a-2a-2
=3,
a-2
Va=2sin450+(A)
2
=2X2/2_+2
2
=&+2.
代入得:原式:卢+2=&+1;
V2+2-2
故答案为:_2_;72+1.
a-2
一十四.解直角三角形的应用-仰角俯角问题
19.(2022•聊城)我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔,塔旁有一棵唐代
古槐,称为“宋塔唐槐"(如图①).数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度,如图②
所示,
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