人教版初中八年级数学下册全册全册教材同步练习题含答案解析暑假作业

八年级数学下册教材同步练习题

二次根式

一、选择题(每小题4分，共12分)

1.(•红河中考)计算斤取的结果是()

A.-3B.3C.-9D.9

2.如果a>b,贝一定是()

A.负数B.正数C.非负数D.非正数

3.实数a在数轴上的位置如图所示,则2+J(a—11)2化简后为()

--------11•—।---------->

0--------5----。10

A.7B.-7

C.2a-15D.无法确.定

二、填空题(每小题4分，共12分)

4.计算:7(3.14—II)2-12-兀|=.

5.(•汕头中考)若实数a,b满足|a+2|+正二展0,则襄_______.

b

6.对于任意不相等的两个实数a,b,定义一种运算※如下:aXb=与空,例如,2

b-a

派3百三①疸2=1.那么-3※-2二

3-21---------

三、解答题(共26分)

7.(6分)由(«)2二a(a20)可得"(«)2620),利用a=«i)2(a20)可将任意一

个非负数写成一个非负数的平方的形式,例如,3=(V3)2.参考以上方法在实数范

围内分解因式：

⑴x125.(2)2a2-7.

8.(6分).已知下列二次根式都是整数，求正整数n的最小值及此时二次根式的

值.

⑴V2n—18.

(2)V45n.

9.(6分)若|x|=3,化简|x+317x2-6x+9.

【拓展延伸】

10.(8分)对于题目|；+a2—2,其中a』”，小天和小强的解答不同.

aya?5

小天的解答:}g+a2-24Jg—a)?

当a』时一,原式2a=]0」二竺.

5aaa55

小强的解答:g+J*+a?_2=孑J(a-J

L1

=-+a--a,

aa

当a=：时,原式二ag

小天和小强谁的解答是错误的?为什么？

答案解析

1.【解析】选B.小乖仔二3.

2.【解析】选B.・・•府=|a|2a,且a>b,

・・・丹b,・・・4p-b>0,即后-b一定是正数.

3.【解析】选A.由实数a在数轴上的位置可知5<a.<10,

/.a-4>0,a-11<0,

・•・(疔2+V(a-H)2=a-4-(a-11)=a-4-a+11=7.

4.【解析】J(3.14—冗)2—|2一n|=|3.14-n|一|2一n|=n-3.14-(n-

2)=-1.14.

答案：一1.14

5.【解析】・.・|a+2|+VB^^0,・・・2+2=0,1)—4=0.解得2二一2,1)二4.将2二一2,1)二4彳弋

入胃中，得三立1.

b4

答案：1

6.【解析】-3※-2二止§士里二正吃.

-2-(-3)1

答案：1

7.【解析】(1)X4-25=(X2)2-52=(X2+5)(X2-5)=(x2+5)(x+V5),(x-V5).

(2)2a2-7=(V2a)2-(V7)2=(V2a+V7)(V2a-V7).

8.【解析】(1)8-2n_18=j2(n_9),贝U2(n-9)是完全平方数,，...n-922,.解得

n211,

・,.n取最小值11时，V2n-18=72X(11-9)=<^=2.

(2)\45n=\9X5n=V32X5n,则5n是完全平方数，

当n取最小值5时，^=732x5n=V32X5X5=V32x52=^/(3X5)2=15.

9.【解析】，由|x|二3,得x二±3.

①当x=3时，原式二|.x+31-y/(x—3)2=x+3=6；

②当x--3时，原式二0-6二-6.

10.【解析】小强的解答是错误的.

二次根式的乘除

一、选择题（每小题4分，共12分）

1.（-潍坊中考）实数0.5的算术平方根等于（）

A.2B.V2C.—D.-

22

2.计算3+（-0-（-V3）的结果为（）

A.3B.9C.1D.3V3

222

3.已知yi=V2x,y=—,y=—,y尸—,・・・,贝Uyi•yoi4=（)

2y±3yzya2

A.2x2B.1C.2B.V2

二、填空题（每小题4分，共12分）

4,化简专.

5.二次根式M,V98,V7C,花u，闻落尸子中最简二次根式

是.

6.观察并分析下列数据,寻找规律:0,g-遍3,-2V3,V15,-3V2,-,那么第10

个数据是.

三、解答题《共26分）

7.（8分）.（•泰州中考）先化简，再求值:

三|+（X+2-V其中X=VB-3.

8.（8分）长方形的长为3V1C,面积为30泥,要在这个长方形中剪出一个面积最

大的正方形,求这个正方形的面积.

【拓展延伸】

9.（10分）已知,a二呼,b二呼,试比较3与1的大小关系.

•V2014-V2015b

答案解析

1.【解析】选C.V0.5的算术平方根是很，而

2.【解析】选C.3+(-V5)+(-V5)=3乂-^又一!^1.

一仃-V33

3.【解析】选C.Vyi=V2x,.\y2=-=-^=^L=^f.\y3=-=2-^—=2X

yxV2xv2x-v2xy2x

台告急令方x,因此,yby2,…，y20i4的值分别为伍,?,…，每两一个数一循环,

则y2oi4=—,Ayi•y2ou=V2x•-^=2.

4.【解析】方法一警二

V2V2XV2

方法二璋Ng.

V2V2

答案:迎

5.【解析】・・・4=当"礁V72x2=772,740?722-x2-10=21x|同,

；.出V98,闻］不是最简二次根式.二次根式⑺,Vx+2,Jx2+y2符合最简

二次根式的概念.

答案:",VXT2,y/x2+y2

6.【解.析】・・•各个式子正、负相间，且，第n个式子的被开方数为3n-3,・；第10

个数据是«3X10-3二伤二34.

答案：3«

7.(解析］—(X+2-

_x-3,/X2-45\_x-3.X2-9

--------II,

X—2\X—2X—2)X—2x—2

-X-3.X-2:1

x-2(x+3)(x-3)x+3，

当x=V5-3时，原式二」^二三立.

x+3v55

8.【解析】长方.形的宽为30优;3尺=2限,

・・,3、而＞2、/书,

・・・这个正方形的边长为2甩，面积为（2尺）J60.

9.【解析】鬻,曰|色

.a_2013二12014_/2013X2015

*h\12014,\/2015{20142

•?X2015=(2014-1)X(2014+1)=2014-1,

而2014-1<20142.

.2013X2015人

・--------------<1,

20142

二次根式的加减

一、选择题（每小题4分，共12分）

1.下列运算中，正确的是（）

B.(V12-V7)4-V3-1

C.V32^-^V2=2D.（V2+V3）义V3二佰3

2.在算式（―?）口（—?）的口中填上运算符号,使结果最大,这个运算符号是

()

A.+B.-C.XD.4-

3.下列计算正确的是()

A.(3-2V3)(3+273)=9-2X3=3

B.(2Vx+^/y)(2Vx-^/y)=2x-y

C.(3-V3)2=32-(V3)2=6

D.(Vx+Vx+1)(Vx+1-Vx)=1

二、填空题(每小题4分，共12分)

4.计算:旧-屉义/.

5.规,定一种新运算a®b=a2-v'2b,如302=32-vlX2=9-2vl,贝U(2百一1)区

E=.

6.(-f=—F厂1厂+；厂+…+/1/)X(V2014+1)=____________.

V3+V2V4+V3V2014+V2013/

三、解答题（共26分）

7..（8分）计算:（7-4时）（2_«），（2+0（2/+4

8.（8.分）（•德州中考）先化简,再求值:（~|二巳一六其中a-V2-l.

\a2+2aa2+4a+4/a+2

【拓展延伸】

小\2014

9.（10分）阅读下面的分析与计算过程:计算:QX8201；

若根据有理数的混合运算法则，先计算乘方,再计算乘法,明显看出这种方法是

、2014

不可取的.若逆用积的乘方性质a•bn=（ab）n,原式二QX8）二L

仿照上面的方法,计算：（1-V2）2014•（1+V2）2015.

答案解析

1.1.解析】选D.因为6（遥+］）=3+仁4,所以选项A不正确；因为（，得

4-V3=V4-旧2弯,所以选项B不.正确；因为V怎：;捺2dl=8,所以选.项C不

正确；因为（傍C）,X二夜XJ*（V3）2=倔3,所以选项D正确.

2.【解析】选D.因为?尸或，

（-阳-挣。,22

（一步（-务，

所以运算符号是“：”时结果最大.

3.【解析】选D.（Vx+VxTl）（VxTl-Vx）

=（Vx+1）2-（Vx）2=x+1-X=1,

因此选项D正确.

【归纳整合】二次根式混合运算“四注意”

⑴注意运算顺序.(2)注意运算法则.(3)注意运算律和乘法公式的灵活运用.

⑷计算结果中含二次根式的一定要化成最简二次根式，且分母中不能含有二次

根式.

4.［解析］V24-V18X旧2、用-Jl8x^=2V6-V6=V6.

答案:粕

5.【解析】根据新运算的法则可知(2V5-1)®Ji住(275-1)2-迎•同

=20-4^5+1-2^21-6V5.

答案：21-6百

［解析］原式』就急下+声居津扬+…+存排溪惠券H二^^

6.X

(<IO14+1)=(V2-1+V3-V2+-+V2014-VT013)X(VTOU+D=WTOH-I)X

(<2014+1)=2014-1=

答案：

7.【解析】(7—4C)(2-6)?+(2+V3)(2-V3)+V3

二(7-4V3)(7-4V3)+22-(V3)2+A/3

=(7-4V3)2+4-3+V3

=97-56V3+4-3+v'3=98-55V3.

8.【解析】(字巳―

\az+2aa2+4a+4/a+2

_Fa-2a-11_^a-4

La(a+2)(a+2)"*a+2

~__a__-_4__•-a-+--2-ZZ-----1----

a(a+2)2a-4a(a+2)'

当a=V2-1时，

1

原式二

a(a+2)(V2-l)(V2-l+2)(V2-1)(V2+1)'

9.【解析】原式=(1-方严％9s如乙(1+V2)

=[(1-V2)2014-(1+V2)2014]•(1+V2)

=[(1-V2)-(1+V2)]2014-(1+V2)

=(-1)2014-(1+V2)=1+V2.

勾股定理

一、选择题（每小题4分，共12分）

1.如图,每个小正方形的边长为1,AABC的三边a,b,c的大小关系是（）

A.a<c<bB..a<b<.c

C.c<a<bD.c<b<a

2.（•南京中考）设边长为3的正方形的对角线长为a,下列关.于a的四种说法:

①a是无理数;可以用数轴上的一个点来表示;③3<a<4;是18的算术平方

根.其中,所有正确说法的序号是（）

A.①④B.②③

C.①②④D.①③④

3.如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,则第n个三

角形的面积为（）

A.nB.Vn

C.-

22

二、填空题（每小题4分，共12分）

.4.如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是

-3-2-10A23

5.（•吉林中考）如图,在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分

别为（-6,0）,（0,8）.以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交

正半轴于点C,则点C的坐标为

6.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这

个“田字格”中最多可以作出.长度为次的线段条.

三、解答题（共26分）

7.（8分）在同一直角坐标系中分别描出点A（-3,0）,B（2,0）,C（l,3）,再用线段将

这三点首尾顺次连接起来,求4ABC的面积与周长.

8.（8分）如图所示，在有24个边长为1的小正三角形的网

格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作

格点直角三角形，（即顶点均在格点上的三角形），请你写

出所有可能的直角三角形斜边的长.

【拓展延伸】

9.(10分)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学

知识和人文价值.如图所示,是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规

律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之

和为Sb第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2,第n个正方形和

第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.

请解答下列问题：

(1)Si-.

(2)通过探究,用含n的式子表示Sn,则S..=.

答案解析

1.［解析］选C.VAC=v424-32=5=V25,BC=V424-l2=Vi7,AB二4二行，

/.b>a>c,即c<a<b.

2.【解析】选C.由勾股定理得，正方形的对角线长为a=<32+32=V18=3V2,JL

4<a<5.所以③错误，其他都正确.

3.【解析】选D.根据勾股定理：

在第一个三角町中：OA：=1+1,SF1X14-2..

在第二个三角形中：OAHA?+1=1+1+1,

SFOA1X1+2=VTT1X14-2.

在第三个三角形中：0A；=0A；+1=1+1+1+1,

S3=0A2X1+2=V1+1+1X.14-2;

在第n个三角形中：Sn=VnX14-2=—.

2

4.【解析】图中的直角三角形的两直角边为1和2,所以斜边长为尸”内5

所以7到点A的距离是那么点A所表示的数为V'5-1.

答案:、导［

5.【解析】♦・,点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8),・・・A0=6,B0=8,

AAB=VA02+B02=10,

•・,以点A为.圆心，以AB长为半径画弧，

AAB=AC=10,A0C=AC-A0=4,

・・・交x正半轴于点C,・••点C的坐标为(4,0).

答案：(4,0)

6.【解析】如图，由于每个小正方形的边长都为1,那么根据

勾股定理容易得到长度为火的线段，然后可以找出所有这

样的线段.如图，所有长度为次的线段全部画出，共有8条.

答案：8

7.【解析】如图，利用勾股定理得,ACrFi，=5,BC=/F存三限，

AB=2-(-3)=5,

•・.△ABC的周长为AC+BC+AB=5+同+5=10+\/而，面积为工X5X3二二.

8.【解析】通过作图知，以点P为直角的三角形有八种情况，如图，△PCB,Z\PCA,

△PDB,Z\PDA,△PC'Bl/XPC'AlZkPD'B'ZkPD'A',均是以点P为直角的直角三

角形，且△PCB0Z\PC'B',APCA^APCA',ARDB^ARDB',APDA^ARD'A',

故：

在RtAPCB中，BC=，PC2+PB2=12+(V3)2=2=B'C';

在RtAPCA中，ACRPC2+PA2=12+(26)2=；

在RtAPDB中，BD=、PD2+PB2=J2^+(V3)2=V?=B'D'；

在RtAPDA中，AD~PD2+PA2=22+(2V3)2=4=A'D'.

故所有可能的直角三角形斜边的长为4,2,V7,V13.

9.【解析】（1）・・•第一个正方形的边长为1,

.•.正方形的面积为1,

又...直角三角形一个角为30°,

，三角形的一条直角边为:，另一条直角边就是Ji2-Q）2q,

・•・三角形的面积为:X斗：24.・.S产1+9

⑵;第二个正方形的边长为由,它的面积就是,也就是第一个正方形面积的2,

244

同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的2,

,'"(I+T)*依此类推,S3=(1+/)•泊，即S3=(1+•(；)，

n-1

所以Sn=(1+¥)•g)(n为整数).

勾股定理

一、选择题（每小题4分，共12分）

1.（,安顺中考）如图,有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只鸟从

一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）

A.8nB.10mC.12mD.14ir.

2.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1m处折断,树尖B恰

好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（）

A.V5in-B.V3m

C.D.3m

3.如图，图.中有一.长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm的木箱,在它里面放入一根细

木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱,请你算一算,能放入

的细木条的最大长度是（）

A.V41cmB.V34cmC.5/cmD.5V3cm

二、填空题（每小题4分，共12分）

4.如图,在高为3m,斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少需要

叫若楼梯宽2m,每平方米地毯需30元，,那么这块地毯需要花元.

5.如图,要制作底边BC的长为44cm,顶点A到BC的距离与BC长的比为1：4的

等腰三角形木衣架,则腰AB的长至少需要cm.（结果保留根号的形式）

6.一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正

方形DEFH的边长为2m,若NA=30°,ZB=900,BC=6m.当

正方形DEFH运动到什么位置,即当AE=m时,

有DC2=AE2+BC2.

三、解答题（共26分）

7.（8分）如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA—?

±AB于A,CB±AB于B,已知DA=15km,CB=10J<m,现在要在铁/

路AB附近建一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的口

距离相等,则E站应建在距A站多少千米处？

8.（8分）在一棵树的10m高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20m的

池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处,如果两只猴子所经过的路程

相等.，试问这棵树有多高？

【拓展延伸】

9.（10分）小明家住在18层的高楼上.一天,他与妈妈去买竹竿.

如果电梯的长、宽、高分别是1.5m,1.5m,2.2m,那么能放入电梯内的竹竿的最大

长度大约是多少?你能估计出小明家买的竹竿至少是多少米吗（精确到0.1）?

答案解析

1.【解析】选B.如图，设大树高为ABnOm,小树高为CD=4m,

过C点作CELAB于E,则四边形EBDC是长方形，连接AC,

・・・EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6(m),

在RtAAEC中，ACKAE2+EC^Wm.

2.【解析】选C.在Rt△ABC中,AC=1m,AB=2m,由勾股定理，得

BC=VAC24-AB2=V5m;

・•.树的高度为AC+BC=(V5+-1)m.

3.【解析】选3如图，连接BC,BD,在RtAABC

D

中，AB=5cm,AC=4cm,根据勾股定理，得

BC=VAB2+AC2=V41cm,

在RtABCD中，CD=3cm,BC="fem,

BD=VBC2+CD2=5V2(cm)..

【归纳整合】应用勾股定理解决实际问题

(1)解决两点间距离问题：正确画出图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求

第三边.

⑵解决折叠问题：正确画出折叠前.、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题.

⑶解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面可构成直角三角形，利用勾股

定理等知识解题.

(4)解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决

表面距离最短的问题.

4.【解析】在RtZ\ABC中，AC'+BCJAB：

所以AC2=AB2-BC2=52-32=25-9=16.所以AC=4(m).所以地卷长度为AC+BC二

4+3=7(m).

所以地毯总面积为7X2=14(m2).所以需花30X14=420(元).

答案：74.20

5.【解析】如图，作AD_LBC于D,

VAD:BC=1：4,A

且BC二44cm,AD=11cm.

BDC

又・；AB=AC,

J在RtAABD中,AD=11cm,BD=-BC=22cm,

2

・•・AB2=AD2+BD2,AAB=V1124-222=11V5(cm),

AB的长至少为11V5cm.

答案:11、丐

6.【解析】TNA二30°,NB=90°,BC=6叫JAC=12m,

设AE=xm,可得EC=(12-x)m,

・.♦正方形DEFH的边长为2m,即DE=2m,

.\DC2=DE2+EC2=4+(12-x)2,HC

AE2+BC2=X2+36,

VDC2=AE2+BC2,

.\4+(12-X)2=X2+36,

解得.:x哼

答案:史

3

7.【解析】设AE=xkm,因为C,D两村至uE站的距离相等，所以DE=CE,即DEJCE;

由勾股定理，得152+x2=102+(25-x)2,x=10.

故E点应建在距A站10km处.

8.【解析】如图所示：

设BD=x,则CD=BD+BC=x+10.

.*.BC+CA=BD+AD=30,

/.AD=30-BD=30-x.

在RtAADCAD-CD2+AC2,

A(30-X)2=(X+10)2+20.2,解得x=5.

ACD=5+10=15(m).

答:这棵树高15m.

9.【解析】VZADB=90°,

AAB2=AD2+BD2

=1.52+1.52=4.5.

VZABC=90°,

.\AC-AB2+BC2

=4.5+2.22=9.34.

而3.12=9.61,

所以能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是3m,

小明家买的竹竿至少是

3.1m.

勾股定理的逆定理

一、选择题（每小题4分，共12分）

1.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则NABC的度数为

（）

,A.90°B.60°C.45°D.30°

2.如图所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中

能构成直角三角形三边的线段是（）

A.CD,EF,GH

B.AB,EF,GH

C.AB,CD,GH

D.AB,CD,EF

3,将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（）

A.仍是直角三角形B.可能是锐角三角形

C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形

二、填空题（每小题4分，共12分）

4.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a24-b2=c2"

的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式:.

5.观察以下几组勾股数,并寻找规律：

①3,4,5;

②5,12,13;

③7,24,25;

@9,40,41;-

请你写出有以上规律的第⑤组勾股数:.

6.若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高的长是h,给出下列结论：

①以a；b[c?的长为边的三条线段能组成一个三角形;②以「，伤，衣的长为边

的三条线段能组成一个三角形;③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角

三角形;④以；:」的长为边的三条线段能组成直角三角形.

abc

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题（共26分）

7.（8分）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两

艘巡逻艇立即从相距13nmile的A,B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地

将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120nmile,乙巡逻艇每小时航行50nmile,航

向为北偏西40°,问：甲巡逻艇的航向是多少？

8.（8分）如图，每个小正方形的边长均为1.求四边形ABCD的面积和周长（精确到

0.1）.

.【拓展延伸】

9.（10分）王伟准备用一段长3.0米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养

家兔.已知第一条边长为am,由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2

倍多2m.

（1）请用a表示第三条边长.

（2）问第一条边长可以为7m吗?为什么？请说明理由，并求出a的取值范围.

C3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说出你的

围法;若不能，请说明理由.

答案解析

1.【解析】选C.根据勾股定理可以得到：AC二BC75ABKn.

V（V5）2+（V5）2=（Vic）2,

.\AC2+BC2=AB2.AAABC是等腰直角三角形.

...NABC=450.

2.【解析】选B.AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,

所以AB2+EF2=GH2.

3•【解析】选A.设直角三角形的三边分别为a,b,c,且满足a'+b?二扩大相同倍

数后各边分别为na,nb,nc,

因为(na)2+(nb)2-n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2,

所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形.

4.【解析】逆命题为：三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,这个三角形是直角三角

形，逆命题改写成“如果……，那么……”的形.式:如果三角形三边长a,b,c,满足

a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

答案：如果三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形

5.【解析】从上边可以发现.第一个数是奇数，且逐步，递增2,故第5组第一个数

是11,又发现第二、第三个数相差为1,故设第二个数为x,则第三个数为x+1,根

据勾股定理得：1/+乂2=(x+1)[

解得x=60,则得第⑤组勾股数是11,60061.

答案：11,60,61

6.【解析】①直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2,因而以a?,b*c?的长为

边的三条线段不能满足两边之和大于第三边，故不能组成一个三角形，故错误；

②直角三角形的三边有a+b>c(a,b,c中c最大)，而在Yb,\'c三个数中立最

大，如果能组成一个三角形，则有、石+&成立，即(v,a+>/b)2>(<c)2,即

a+b+2、0E>c(由a+b>c),则不等式成立，从而满足两边之和大于第三边，则以

\a,Vb,八的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；③a+b,c+h,h这三个

数一中c+h-(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch,

又,；2ab=2ch;4s人孙・・・(a+b)2+h2=(c+h)：根据勾股定理的逆定理即以a+b,c+h,h

的长为边的三条线段能组成直角三角形，故正确；④假设a,=3,b=4,c=5,则；工」的

abc

长为:以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角形，故错误.

345

答案:②③

7.【解析】AC=120X-^12(nmiIe),BC=50X-^=5(nmiIe),又因为AB=13nmiIe,所

6060

以AC2+BC2=AB2,所以AABC是直角三角形，可知NCAB+NCBA=90°,由NCBA=50°,

知NCAB=40°,所•以甲巡逻艇的航向为北偏东50°.

8.【解析】根据勾股定理得到：

AD=y72+12=V5C,

AB=722+42=V2C,

CD=V32+42=5；

BC=Vl2+22=V5,

・•・四边形ABCD的周长是

AB+BC+CD+ADr公府5+国％8.8.

连接AC,BD,则AC=<424-32=5.

V(2V5)2+(V5)-52,52+52=(5V2)2,

AAB2+BC2=AC2,AC2+CD2=AD2.

・•・NABC和NACD是直角.

・・・四边形ABCD的面积二直角△ABC的面积+直角△ACD的面积

』BC•AB+-AC•CD=17.5.

22

【归纳整合】勾股定理与其逆定理的联系和区别

联系：⑴两者都与a?+b2=c2有关.⑵两者所讨论的问题都是直角三角形.

区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三

角形三边的数量关系，"aZ+b?=c?”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三

边满足a?+b2=c?”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，是判别一个三

角形是否是直角三角形的一个方法.

9•【解析】⑴I第二条边长为2a+2,

・・・第三条边长为30-a-(2a+2)=28-3a.

(2)当a=7时,三边长分别为7,16,7.

由于7+7<16,所以不能构成三角形，即第一条边长不能为7m.

由［野+々+'>煦一热可解得2a<欠即a的取值范围是2a〈里

((2a+2)-a<28-3a,3232

⑶在⑵的条件下，a为整数时,a只能取5或6.

当a二5时，三角形的三边长分别为5,12,13.

.由52+122=132知，恰好能构成直角三角形.

当a二6时，三角形的三边长分别为6,14,10.

由62+1。2手14?知，此时不能构成直角三角形.

综上所述，能围成满足条件的小圈，它们的三边长分别为5m,12m,13m.

矩形

一、选择题(每小题4分，共12分)

1.（•包头中考）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上,

若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是SbS2,则SbS2的大小关系是（）

A.Si>S2B.S.=S2C.Sj<S2D.3s尸2s2

2.（•南充中考）如图,把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落

在AD边的B'处，若AE=2,DE=6,ZEFB=6.0°,则矩形ABCD

的面积是（）

A.12B.24C.12V3D.1673

3.如图，ZM0N=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON

上，当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD

的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中，点D到点0

的最大距离为（）

A.V2+1B.V5C.逗D.-

52

二、填空题（每小题4分，共12,分）

4.（•北京中考）如图,0是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点，若

AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为

5.（•漳州中考）如图，在RtAABC中，NACB=90°,点D

是斜边AB的中点,DE1AC,垂足为E,若DE=2,CD=2<5,

则BE的长为

6.如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线

上,连接DE交AB于点F,ZAED=2ZCED,点G是DF的

中点，若BE=1,AG=4,则AB的长为.

三、解答题（共26分）

7.（8分）（•湘西中考）如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点，连接

AF,CE.

（1）求证：ABEC四△DFA.

⑵求证：四边形AECF是平行四边形.

8.（8分）已知：如图,矩形ABCD中,AC,BD相交于点0,AE平分NBAD,若NEA0二

15°,求NB0E的度数.

【拓展延伸】

9.（10分）阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角

形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩

形”.如图①所示,矩形ABEF即为4ABC的“友好矩形”.显然，当4ABC是钝角

三角形时，其“友好矩形”只有一个.

（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.

（2）如图②,若4ABC为直角三角形,且NC=90°,在图②中画出4ABC的所有“友

好矩形”，并比较这些矩形面积的大小.

（3）若aABC是锐角三角形,且BOAOAB,在图③中画出aABC的所有“友好矩形”,

指出其中周长最小的矩形并加以证明.

A

答案解析

1.【解析】选B.矩形ABCD的面积S尸2s9眈，而Sc=-S,所以SFS.

AAB222

2.【解析】选D.由两直•线平行，内错角相等，

知NDEF=NEFB二60°,AZAEF=ZA'EF=120°,

・・・ZA'EB'=60°,A'E=AE=2,求得A'B'二2禽，

AAB=2\<3,矩形ABCD的面积为S=2Vl义8=16JI

【归纳整合】解决矩形中折叠问题的两个思路

⑴运用矩形的对边相等、对角线相等、四个角是直角等性质.

⑵运用轴对称的性质，找出折叠.前后相等的角、线段.

3.【解析】选A.取AB的中点E,连接OE,DE,OD,

贝U0E=;AB=1,AE=1,，DE=VZ当D,E,0三点共线时，0D=OE+DE,否贝|OD<OE+DE,

AOD长的最大值是遮+1.

4.【解析】由勾股定理得AC=13,

VBO为直角三角形斜边上的中线,

AB0=6.5,

由三角形中位线定理得MO=2.5,

...四边形ABOM的周长为：6.5+2.5+6+5=20.

答案：20

5.【解析】YNACB=90°,点D是斜边AB的中点，DE_LAC,・・・BC=2DE=4.

AAB=2CD=4V5,

JACrABZ-BgJ(4V5)2-42=8.

.'・CE二二4,BE=VBC2+CE2=V424-42=4V2.

答案：4位

6.【解析】•・•四边形ABCD是矩形，

・・・AD〃BC.JNCED二NADE.

四边形ABCD是矩形,.,・NBAD=90°.

・・•点G是DF的.中点,

JAG二KF=DG.・•・ZAGE=2ZADE=2ZCED.

2

又*NAED=2NCED,・・・NAGE=NAED,

AAE=AG=4.

在RtAABE中AB=VAE2-BE^V^2-12=VT!.

答案:限

7.【证明,】⑴:四边形ABCD是矩形，

AAB=CD,AD=BC.

又TE,F分别是边AB,CD的中点，

・・・BE=DF,

V^ABEC^ADFA中，

(BC=DA,

ZB=ZD,AABEC^ADFA(SAS).

(BE=DF,

⑵由⑴得，CE=AF,又CF二AE,

故可得四边形AECF是平行四边形.

8.【解析】VAD/7BC,

・・.NDAE;NAEB.

VAE平分NDAB,JZDAE=ZBAE.

/.ZBAEFZAEB,AAB=BE.

VZBAD=90°,ZBAE=ZEAD,AZBAE=45°.

VZEA0=15°,AZBA0=45°+15°=60°.

V0A=0B,AAAOB是等边三角形，JBO=AB.

VAB=BE,.\BO=BE.,ANBOE二NBEO.

VZABE=90°,ZAB0=60°,AZ0BE=30°.

在ABOE中，；ZB0E+ZBE0+Z0BE=180°,

AZB0E=-(180°-ZOBE)=75°.

2

9.【解析】(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平

行四边形的一边重合，三角,形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称

这样的平行四边形为三角形的“友好平行四.边形”.

(2)此时共有2个“友好矩形”，如图，矩形BCAD,矩形ABEF.

易知，矩形BCAD,矩形ABEF的面积都等于aABC面积的20A

倍,B*

•二△ABC的“友好矩形”的面积相等.E

（3）此时共有3个“友好矩形”，如，图中矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK,其中

矩形ABHK的周长最小.

证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令.其为S.设矩形BCDE,矩形CAFG及矩

形ABHK的周长分别为LbL2,L3,△ABC的边长BC=a,CA二b,AB=c,则

L=32a,L2二至+2b,L3二%2c.

abc

.\L-L2=(y+2axm+2b>2(a-b)X絮，而ab>S,a>b,AL-L2>0,即L>L2.

同理可得，l_2>L3,

・・・1_3最小，即矩形ABHK的周长最小.

矩形

一、选择题（每小题4分，共12分）

L在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上,一个合作学习小组的

4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（）

A.测量对角线是否相等

B.测量两组对边是否分别相等

C.测量一组对角是否都为直角

D.测量其中三个角是否都为直角

2.口ABCD中,AC交BD于点0,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的

是（）

A.AB=ADB.OA=OB

C.AC=BDD.DC±BC

3.如图，AABC中,AC的垂直平分线分别交A£,AB于点D,F,BE±DF交DF的延长

线于点E,已知NA=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是（）

A.2V3B.V3C.4D.3V3

二、填空题（每小题4分，共12分）

4.如图,在AABC中,AB=AC,将2XABC绕点C旋转180°得到

△FEC,连接AE,BF.当NACB为度时，四.边形ABFE

为矩形.

5.（好和浩特中考）如图,在四边形ABCD中,对角线AC±BD,

垂足为0,点E,F,G,H分别为边AD,AB„BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形

EFGH的面积为

6.如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形

EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,则边AD的长是cm.

三、解答题（共26分）

7.（8分）已知:如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点

0,BE±AC于E,DF±AC于F,点0既是AC的中点，又是EF

的中点.一

（1）求证：ZiBOE乌ZiDOF.

⑵若OA^BD,则四边形ABCD是什么特殊四边形?说明理由.

2

8.（8分）（•新疆中考）如图,oABCD中，点0是AC与BD的

交点,过点0的直线与BA,DC的延长线分别交于点E,F.

（1）求证：ZXAOE且△COF.

⑵请连接EC,AF,则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF

是矩形，并说明理由.

【拓展延伸】

9.（10分）如图,在aABC中.，点0是AC边上（端点除外）的一个动点,过点0作直

线MN〃BC.设MN交NBCA的平分线于点E,交NBCA的邻补角的平分线于点F,连

接AE,AF.那么当点0运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

答案解析

1.4解析】选D.根据矩形的判定，三个角都为直角的四边形是矩形.故选D.

2.【解析】选A.根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）可

得：DC_LBC可证四边形ABCD是矩形.故D选项能判定四边形ABCD为矩形；矩形的

对角线相等且相互平分,0A=OB,AC二BD可证四边形ABCD为矩形，故B,C选项能判

定四边形ABCD为矩形；AB二AD时，可证四边形ABCD的四条边都相等，不能证四边

形ABCD为矩形.

3.【解析】选A.〈DE是AC的垂直平分线，F是AB的中点，

.\DF#BC,AZC=90°,又易知NCDE=NBED二90°,

・•・四边形BCDE是矩形.

VZA=30°,ZC=90°,BC=2,.\AB=4,

.•.AC=V42-22=2V3.ADC=V3.

J四边形BCDE的面积为2X佰2/3.

4.【解析】如果四边形ABFE为矩形，

根据矩形的性质，那么AF=BE,AC=BC,

又因为AC=AB,那么三角形ABC是等边三角形，

所以NACB=60°一

答案：60

5.［解析】•・•点E,F分别为四边形ABCD的边AD,AB的中点，，EF//BD,且EF=-BD=3.

2

同理求得GH〃BD,且GH」BD=3,EH〃AC〃GF,且EH二GF』AC=4,

22

...四边形EFGH为平行四边形.

5CVAC±BD,AEFXFG.

・・・四边形EFGH是矩形.

・•・四边形EFGH的面积:EF•EH=3X4=12,.

即四边形EFGH的面积是12.

答案：12

6.【解析】•・・NHEM二NAEH,NBEF二NFEM,

AZHEF=ZHEM+ZFEM=-X1800=90°,

2

同理可得：NEHG二NHGF二NEFG二90°,

.••四边形EFGH为矩形.

AEH=FG,HG=EF,ZEHA=ZGFC,

又NA二NC二90°,

AAAEH^ACGF,.\AH=CF,ABF=HD.

TAD=AH+HD=HM+MF=HF,.

HF=VEH24-EF2=V32+42=5,；.AD=5cm