专题12.3一次函数的性质（举一反三）（沪科版）

专题12.3一次函数的性质【十大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1确定一次函数经过的象限】 1【题型2确定一次函数的增减性】 4【题型3由一次函数经过的象限求字母的取值范围】 6【题型4由一次函数的增减性求字母的取值范围】 8【题型5比较一次函数值的大小】 10【题型6一次函数中的对称性问题】 12【题型7由两直线的位置关系求解析式】 15【题型8两直线的相交问题】 19【题型9由一次函数解决最值问题】 23【题型10一次函数与几何图形的综合运用】 29知识点1：一次函数的图象与性质一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0)性质k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；（3）k>0，b＝0图像经过一、三象限；（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。【题型1确定一次函数经过的象限】【例1】（2324九年级·上海宝山·期中）如果ab<0，ac<0，则直线y=−abx−A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据ab<0，ac<0，可以−ab>0，且b,c【详解】解：∵ab<0，ac<0，∴a,b异号，a,c异号，∴−ab>0∴−c一次函数y=−a故选B【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．【变式11】（2324九年级·浙江杭州·期中）一次函数y=(m+1)x−2m+3的图象一定经过第象限．【答案】一【分析】由一次函数的定义可知m+1≠0，故可分类讨论：当m+1>0和m+1<0时，分别求出−2m+3的取值范围，结合一次函数的图象与性质即可解答．【详解】解：∵该函数为一次函数，∴m+1≠0，即m≠−1分类讨论：①当m+1>0，即m>−1时，∴−2m+3<5，∴此时该函数图象必经过第一、三象限．当0<−2m+3<5时，经过第二象限，当−2m+3<0时，经过第四象限；②当m+1<0，即m<−1时，∴−2m+3>7，∴此时该函数图象经过第一、二、四象限，综上可知，该函数图象必经过第一象限．故答案为：一．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．掌握一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0，b>0时，其图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，其图象经过第一、三、四象限；当【变式12】（2324九年级·河北唐山·期中）一次函数y=k+1x+3的图像经过点P，且k>−1，则点P的坐标不可能为（A．5,4 B．−1,2 C．−2,−2 D．5,−1【答案】D【分析】由k>−1，即k+1>0，则y的值随x值的增大而增大．又因为3>0，所以一次函数y=k+1【详解】解：∵k>−1，∴k+1>0，∴y的值随x值的增大而增大，又∵3>0，∴一次函数y=k+1∵5,−1在第四象限，∴点P的坐标不可能为5,−1．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系等知识点，由一次函数解析式系数确定一次函数图像的位置是解题的关键．【变式13】（2324九年级·四川达州·期中）如果ab>0，ac<0则直线y=−ab【答案】一【分析】先根据ab＞0，ac＜0讨论出a、b、c的符号，进而可得出ab，【详解】∵ab＞0，ac∵a、b同号，a、c异号，当a＞0，b＞0时，c＜0，∴ab＞0，c∴直线y=abx+c当a＜0，b＜0时，c＞0，∴ab＞0，c∴直线y=−a∴这条直线不经过第一象限，故答案为：一．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是根据ab＞0，ac＜0讨论出a、b、c的符号，进而可得出ab，【题型2确定一次函数的增减性】【例2】（2324九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数(

)A．当x<2时，y随x的增大而增大 B．当x<2时，y随x的增大而减小C．当x>2时，随的增大而增大 D．当x≥2时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】根据函数图象和各点坐标，可得出各段中函数图象的变化情况，即可得答案．【详解】∵A（2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），∴由图象可知：当x＜1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选：C．【点睛】本题考查分段函数的图象及函数的增减性，正确得出对应的横坐标的取值范围是解题关键．【变式21】（2324九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（）A．y=2x B．y=2x+1 C．y=x−4 D．y=−x+3【答案】D【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小，据此即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．【详解】解：A、∵k=2>0，∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；B、∵k=2>0，∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；C、∵k=1>0，∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；D、∵k=−1<0，∴y随x的增大而减小，该选项不合题意；故选：D．【变式22】（2324九年级·安徽蚌埠·期末）在一次函数y=−23x+13的图像上任取不同两点P1xA．y2−y1x2−x1【答案】A【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据一次函数的图像与性质即可求解．【详解】解：∵−2∴y随x的增大而减小，当x2>x∴y2故选：A．【变式23】（2024·浙江杭州·一模）若Ax1,y1，Bx2,【答案】＜【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案．【详解】解：∵一次函数y=−4x+5，y随x增大而减小，∴当x1<x∴x1∴W=x当x1>x∴x1∴W=x故答案为：＜．【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质．【题型3由一次函数经过的象限求字母的取值范围】【例3】（2324九年级·宁夏银川·期中）如果直线y=2−kx+k不经过第二象限，那么k的取值范围是（A．k≤0 B．k<2 C．0≤k<2 D．k<0【答案】A【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据图象不经过第二象限可得2−k>0且k≤0，结合不等式的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的方法即可求解，掌握一次函数图象的性质，不等式的取值方法是解题的关键．【详解】解：∵不经过第二象限，∴2−k>0，且k≤0，∴k≤0，故选：A【变式31】（2324九年级·河南驻马店·期中）已知点A(−1,2)、B(3,2)，若一次函数y=−x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围为．【答案】1≤b≤5【分析】把A、B分别代入y＝﹣x+b，分别求得b的值，即可求得b的取值范围．【详解】解：∵A（﹣1，2），B（3，2），∴若过A点，则2＝1+b，解得b＝1，若过B点，则2＝﹣3+b，解得b＝5，∴1≤b≤5．故答案：1≤b≤5．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标符合解析式是解题的关键．【变式32】（2024九年级·全国·专题练习）平面直角坐标系中，过点−2,3的直线l经过一、二、三象限，若点0,a，−1,b，c,−1都在直线l上，则下列判断正确的是（

）A．a<b B．a<3 C．b<3 D．c<−2【答案】D【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第一、二、三象限且过点−2,3，得出y随x的增大而增大，则3<b<a，再根据点c,−1在直线l上，得出c<−2，即可解答．【详解】解：∵直线l经过第一、二、三象限且过点−2,3，∴y随x的增大而增大．∵−2<−1<0，∴3<b<a，∴A、B、C均错；∵点c,−1在直线l上，∴c<−2．故选D．【变式33】（2324九年级·江苏南通·期中）已知过点1,3的直线y=ax+ba≠0不经过第四象限，设S=a+2b，则S的取值范围为（

A．3<S<6 B．3≤S<6 C．3<S≤6 D．3≤S≤6【答案】B【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，以及不等式的性质．掌握一次函数y=kx+bk≠0中，当k＞0根据一次函数图象与系数的关系可得a＞0，b≥0，将点1,3代入y=ax+ba≠0，得到a+b=3，即b=3−a．由a＞0，b≥0得出不等式组3−a≥0【详解】∵过点1,3的直线y=ax+ba≠0∴a＞0，b≥0，∴b=3−a，∴3−a≥0a>0，解得：0<a≤3∴S=a+2b=a+23−a∵−3≤−a<0，∴3≤6−a<6，即S的取值范围为：3≤S<6，故选B．【题型4由一次函数的增减性求字母的取值范围】【例4】（2324九年级·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数y=−x+1(a≤x≤b，b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则b的取值范围是．

【答案】−1<b≤3【分析】根据函数的增减性、边界值确定a=1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值范围．【详解】解：∵k=1，y随x的增大而减小，∴当x=a时，a+1=2，解得a=1，而x=b时，y=b+1，∴2≤b+1≤2，且b＞a，∴1＜b≤3．故答案为1＜b≤3．【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．【变式41】（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数y=k−2x−1的函数值y随x的增大而增大，则A．1 B．52 C．32 【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数．熟练掌握一次函数的增减性，是解决问题的关键．根据一次函数的增减性质，逐一判断可得答案．【详解】解：∵一次函数y=k−2x−1的函数值y随着∴k−2>0，解得k>2．所以k的值可以是52【变式42】（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数y=x−1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（

）A．－5 B．－2 C．−32【答案】A【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据函数解析式得到函数y=x−1的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当a≤x≤a+3时，则当x=a时取得最小值2a+4，列方程并解方程即可.【详解】解：∵k=1>0∴函数y=x−1的函数值随着x的增大而增大，当a≤x≤a+3时，则当x=a时取得最小值2a+4，即a−1=2a+4，解得a=−5，故选：A【变式43】（2324九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为y=kx+bk≠0．在我的图象上有两点Ax1,y1，Bx2,y2A．m>0 B．m≥0 C．m=0 D．m<0【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将A，B两点坐标代入一次函数解析式，再将两式相减即可解决问题．【详解】解：将A，B两点坐标分别代入一次函数解析式得，y1两式相减得，y1所以k=y因为k>0，所以y1则(y所以(x则m>0．故选：A．【题型5比较一次函数值的大小】【例5】（2324九年级·山东聊城·期末）一次函数y=−x+b的图象上三个点的坐标分别为−13,y1,−1,A．y1<yC．y3<y【答案】C【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小．根据一次函数y=−x+b中的k=−1<0可得出y随x的增大而减小，根据−1<−13<2【详解】解：∵一次函数y=−x+b中的k=−1<0，∴y随x的增大而减小，∵−1<−1∴y2故选：C．【变式51】（2324九年级·广西崇左·阶段练习）已知点A(1,a)和点B(−2,b)是一次函数y=−12x+c图象上的两点，则a【答案】＜【分析】把A(1,a),B(−2,b)代入一次函数y=−12x+c【详解】解：把A(1,a),B(−2,b)代入一次函数y=−1−①-②得：a−b=−3∴a<b,故答案为：<．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握比较两数大小的几种常用方法．【变式52】（2324九年级·江西抚州·期中）已知一次函数y=−2x+1的图象经过P1m,a，P2m+1,b两点，则a【答案】>【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数图象的增减性进行判断．判断出一次函数的增减性是解题的关键．【详解】解：∵一次函数y=−2x+1中的−2<0，∴该函数图象是直线，且y的值随x的增大而减小，∵m+1>m，∴a>b．故答案为：>．【变式53】（2324九年级·福建厦门·期末）点M(a,2)、N(b,3)是一次函数y=2x−3图像上两点，则ab（填“>”、“=”或”<”）．【答案】<【分析】由k=2>0结合一次函数的性质即可得出该函数为增函数，再结合2＜3即可得出结论．【详解】解：∵k=2>0，∴一次函数y随x增大而增大，同理当y越大时x也越大，∵2＜3，∴a<b．故答案为<．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键确定一次函数的增减性．【题型6一次函数中的对称性问题】【例6】（2324九年级·陕西西安·开学考试）若直线y=kx+2与直线y=−3x+b关于直线x=−1对称，则k、b值分别为（

）A．k=−3、b=−2 B．k=3、b=−2 C．k=3、b=−4 D．k=3、b=4【答案】C【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．先求出一次函数y=kx+2与y轴交点关于直线x=−1的对称点，代入y=−3x+b得到b的值，再求出一次函数y=−3x+b与y轴交点关于直线x=−1的对称点，代入一次函数y=kx+2，求出k的值即可．【详解】解：∵一次函数y=kx+2与y轴交点为0,2，∴点0,2关于直线x=−1的对称点为−2,2，把−2,2代入直线y=−3x+b，可得2=−3×−2解得b=−4，则y=−3x+b=−3x−4，一次函数y=−3x−4与y轴交点为0,−4，0,−4关于直线x=−1的对称点为−2,−4，代入直线y=kx+2，可得−4=−2k+2，解得k=3．故选：C．【变式61】（2324九年级·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A2,m在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=−x+1上，则m的值为（

A．1 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（2，−m），然后再把B点坐标代入y＝−x＋1可得m的值．【详解】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m），将点B的坐标代入直线y＝﹣x+1得：﹣m＝﹣2+1，解得：m＝1，故选：B．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等．【变式62】（2324九年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，A(−3,0),B(1,4)，直线BC交x轴于4,0，过点A作AD∥BC交y轴于点(1)求直线BC和直线AD的关系式；(2)点M在直线AD上，且△ABM与△ABO的面积相等，求点M的坐标．【答案】(1)直线AD的解析式为：y=−43x−4；直线(2)−127【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、平行线间的距离处处相等等知识点，掌握待定系数法是解题关键．（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将B,C两点代入即可求解；设直线AD的解析式为：y=−43x+（2）求出直线AB的解析式，过点O作AB的平行线l，则点M是直线AD与直线l的交点，据此即可求解；【详解】（1）解：设直线BC的解析式为：y=kx+b，则k+b=44k+b=0解得：b=16∴直线BC的解析式为：y=−4∵AD∴设直线AD的解析式为：y=−4则0=−4解得：b∴直线AD的解析式为：y=−4（2）解：如图所示：过点O作AB的平行线l，设直线AB的解析式为：y=mx+n，则−3m+n=0m+n=4解得：m=1n=3∴直线AB的解析式为：y=x+3，则直线l的解析式为：y=x，∵点M在直线AD上，且△ABM与△ABO的面积相等，∴点M是直线AD与直线l的交点则y=xy=−解得：x=−∴M点M−127,−综上所述：点M的坐标为−127【变式63】（2024·江西南昌·一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式．【答案】y＝12x﹣【分析】求出函数y＝2x+1与x轴、y轴的交点坐标，再求出其对称的点的坐标，利用待定系数法1求得函数解析式即可．【详解】y＝2x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣12即函数和x轴的交点为（﹣12所以两点关于直线y＝x对称的点的坐标分别为（0，﹣12设反函数的解析式是y＝kx+b，代入得：b=−1解得：k＝12，b＝﹣1即y＝12x﹣1故答案为y＝12x﹣1【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意求得对称点的坐标是解决问题的关键.知识点2：两直线的位置关系同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系：的关系与的关系与相交，与相交于y轴上的一点，与平行【题型7由两直线的位置关系求解析式】【例7】（2324九年级·福建南平·期末）探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线AB上的三点A1,3，B2,5，C4,9，有kAB=5−32−1=2，kAC=9−34−1=2，kAB=kAC（1）请你应用以上规律直接写出过S−2,−2，T4,2两点的直线ST的斜率探究活动二：数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．（2）如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，且D2,2，E1,4，F4,3．请求出直线DE综合应用：（3）如图3，M1,2，N4,5，请结合探究活动二的结论，求出过点N且与直线【答案】（1）23；（2）1，当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于1；（3）【分析】（1）直接利用公式计算即可；（2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF=1；（3）先求直线MN的斜率kMN，根据探究活动二的结论可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式．【详解】解：（1）根据题意得：kST（2）∵D2,2，E1,4，∴kDE=4−2∴kDE结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于1．（3）设过点N且与直线MN垂直的直线为PQ，解析式为y=k∵M1,2，N∴kMN∵PQ⊥MN，∴kPQ∴kPQ∵直线PQ经过点N4,5∴5=−1×4+b，解得b=9．∴过点N且与直线MN垂直的直线的解析式为y=−x+9．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，新定义：直线斜率；是一道创新题，引入新定义：直线斜率，理解和掌握直线斜率的概念是解题的关键．【变式71】（2324九年级·辽宁鞍山·阶段练习）函数y=kx+bk≠0的图象平行于直线y=3x+2，且交y轴于点0,−1，则其函数表达式是【答案】y=3x−1【分析】本题考查了求一次函数解析式，涉及了两直线平行的问题，熟知两直线平行时，k值相等是解题的关键．根据平行直线的解析式求出k值，再把点的坐标代入解析式求出b值即可．【详解】解：∵函数y=kx+bk≠0的图象平行于直线y=3x+2∴k=3，∴y=3x+b交y轴于点0,−1，∴b=−1，∴函数的表达式是y=3x−1，故答案为：y=3x−1．【变式72】（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线y=12x+3平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点−2,−4，则在线段AB上（包括点A，BA．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】本题考查了平行线的解析式之间的关系．平行线的解析式一次项系数相等，设直线AB为y=12x+b，将点(−2,−4)代入可求直线AB的解析式，可得点A(6,0)，B(0,−3)，再根据x【详解】解：根据题意，设一次函数的解析式为y=1由点(−2,−4)在该函数图象上，得−4=12×(−2)+b所以，y=12x−3．可得点A(6,0)由0≤x≤6，且x为整数，取x=0，2，4，6时，对应的y是整数．因此，在线段AB上（包括点A、B)，横、纵坐标都是整数的点有4个．故选：B．【变式73】（2324九年级·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y=kx+b上的任意三点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3（x1≠x2≠x(1)已知直线y=kx+b经过A2,3，B4,−2两点，请直接写出(2)如图，直线y1⊥y2于点A，直线y1，y2分别交y轴于B，C两点，A，【答案】(1)−(2)−1【分析】（1）直接根据y1（2）根据y1−y2x1−【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,2)，∴k=3−(−2)2−4故答案为：−5（2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)，∴k1=0−42−0∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,1)，∴k1=0−−1∴k1k2=2×12=【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键．【题型8两直线的相交问题】【例8】（2324九年级·四川自贡·阶段练习）已知一次函数y=kx+bk≠0的图像经过点A9,0，且与正比例函数y=−2x交于点B3,m【答案】m=−6，y=x−9【分析】本题考查了求一次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法和步骤．把B3,m代入y=−2x求出m的值，进而得出点B的坐标，把A9,0，B3,−6代入y=kx+bk≠0，求出【详解】解：把B3,m代入y=−2x得：m=−2×3=−6∴B3,−6把A9,0，B3,−6代入9k+b=03k+b=−6解得：k=1b=−9∴一次函数解析式为y=x−9．【变式81】（2324九年级·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线y1=−2x+3和y2=mx−1分别交y轴于点A，（1）求m，n的值；（2）求△ABC的面积．【答案】（1）m=2，n=1；（2）△ABC的面积为2．【分析】（1）先利用直线y1求出点C坐标，再利用直线y（2）两个函数图象与y轴的交点为A、B，即x=0时，可以求出A、B坐标，即可得出三角形面积．【详解】解：（1）∵两直线交于点C∴将C1,n代入y1即：C点坐标为：（1,1）将C（1,1）代入y2=mx−1即：m=2故：m=2，n=1．（2）∵当x=0时，y∴A（0,3）当x=0时，y∴B（0，1）∴SΔABC故：△ABC的面积为2．【点睛】本题属于一次函数的基础题型，根据已知点求出函数解析式，然后利用解析式求出点坐标，并求出三角形面积．【变式82】（2324九年级·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=−23x+2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y2(1)求A、B的坐标；(2)求△ABO的面积；(3)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．

【答案】（1）A(3，0)，B(0，2)；（2）3；（3）P(34，32【分析】（1）已知直线y1的解析式，分别令x=0和y=0即可求出A和B的坐标；（2）根据（1）中求出的A和B的坐标，可知OA和OB的长，利用三角形的面积公式即可求出S△ABO；（3）由（2）中的S△ABO，可推出S△APC的面积，求出yp，继而求出点P的坐标，将点C和点P的坐标联立方程组求出k和b的值后即可求出函数解析式．【详解】解：（1）∵一次函数的解析式为y1=23令x=0，得y1=2，∴B(0，2)，令y1=0，得x=3，∴A(3，0)；（2）由（1）知：OA=3，OB=2，∴S△ABO=12OA•OB=1（3）∵12S△ABO=12×3=∴S△APC=12AC•yp=12×(31)×yp=解得：yp=32又点P在直线y1上，∴32=2解得：x=34∴P点坐标为(34，3将点C(1，0)、P(34，30=k+b3解得：k=−6b=6故可得直线CP的函数表达式为y=6x+6．【点睛】本题是一道一次函数综合题，考查了一次函数的性质、三角形的面积公式、待定系数法求解一次函数的解析式等知识点，解题关键是根据S△APC=12AC•yp【变式83】（2324九年级·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知直线AB:y1=kx+3分别与y轴，x轴交于A，B两点，直线CD:y2=ax+b分别与x轴，y轴交于点C(−6,0)，点

(1)求k，a，b的值．(2)连接OM，试说明S△BCM(3)若x轴上存在点P，使得S三角形APM=12【答案】(1)k=1，a=−(2)证明见解析(3)P−6,0或【分析】（1）把M−4,−1代入y1=kx+3，求出k（2）求出A,B,D的坐标，分别求出S△BCM（3）设Pm,0，利用S【详解】（1）解：∵直线y1=kx+3和直线y2∴−1=−4k+3，∴k=1；又直线y2=ax+b与坐标轴交于∴−1=−4a+b0=−6a+b，解得：a=−（2）由（1）知：y1=x+3，当x=0时，y1=3,y2=−3∴A0,3∴AO=3,OD=3,OB=3,BC=3，∴S△BCM∴S△BCM（3）设Pm,0

∴BP=∵S△ADM∴S△APM∴m+3=3∴m=−6或m=0；∴P−6,0或P【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练的利用待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．【题型9由一次函数解决最值问题】【例9】（2324九年级·四川内江·期中）对于几个实数a、b、c，我们规定符号min{a,b,c}表示a、b、c中较小的数，如：min{2,−1,4}=−1．按照这个规定，已知函数：y=minx,1【答案】3717/【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，求不等式组的解集，分3种情况列出不等式组求出x的取值范围，再结合一次函数的性质求解即可．【详解】解：当x≤13x+1则y=x，∵y随x的增大而增大，∴当x=32时，y取的最大值当13x+1≤x1则y=1∵y随x的增大而增大，∴当x=6017时，y取的最大值当−45x+5≤则y=−4∵y随x的增大而减小，∴当x=6017时，y取的最大值综上可知，y的最大值是3717故答案为：3717【变式91】（2024·四川南充·二模）如图，直线y=kx+3与直线y=−12x交于点A−2,1，与y轴交于点B，点Mm,y1在线段AB上，点N【答案】52/21【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，先利用A−2,1求出直线解析式为：y=x+3，再求出B0,3，根据点Mm,y1在线段AB【详解】∵直线y=kx+3与直线y=−12x∴将A−2,1代入y=kx+3，有：−2k+3=1解得：k=1，即直线解析式为：y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，即B0,3∵点Mm,y1在线段AB上，点N∴y1=m+3，y2∴y1∵−2≤m≤0，∴当m=−2时，y1−y故答案为：52【变式92】（2324九年级·北京海淀·期中）在平面直角坐标系xoy中，已知点M4,3，N−3,2，

(1)若一次函数y=2x+b的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；(2)当k>14时，在图中用阴影表示直线y=kx+1运动的区域，并判断在点M，N，P中直线y=kx+1不可能经过的点是【答案】(1)8(2)图见解析，N【分析】本题考查一次函数的图象和性质得应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，y随x的增大越明显．（1）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求b的最大值，那么把第二象限内的点代入即可；（2）求的当k=14时直线与x轴的交点，进而根据经过点0,1和k>1【详解】（1）解：∵一次函数的比例系数为2，2>0，∴一次函数一定经过第一、三象限．∵求b的最大值，∴图象还应该经过第二象限的点N−3,2∴3×−3∴b=8答：b的最大值为8；（2）当k=14∵图象必过点0,1，k>1∴直线y=kx+1运动的区域为过点−4,0和点0,1的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）．∴直线y=kx+1不可能经过的点是N．故答案为：N．

【变式93】（2324九年级·天津蓟州·期末）如图，直线l1:y1=x+1与x轴交于点A，直线l2:y2=kx+4与

(1)求直线l2的解析式及点M(2)点P是直线l1①当S△ABP=5时，求点②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当QP+QM取最小值时，直接写出点Q的坐标．【答案】(1)点M的坐标为52(2)①点P的坐标为1,2或点−3,−2；②点Q的坐标为−1,0或1711【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短进是解题的关键．（1）利用待定系数法求出直线l2（2）①先求出点A的坐标，然后设点Px,x+1，根据S②利用①的结论分两种情况讨论，利用两点之间线段最短进行解题即可．【详解】（1）解：将点B4,0代入y2=kx+4，得0=4k+4∴y解方程组y=x+1y=−x+4，解得x=∴点M的坐标为52（2）解：①令y=0，则x+1=0，解得x=−1，∴直线l1与x轴的交点A设点Px,x+1∴S∴x+1=2，即x+1=2或x+1=−2，解得x=1或x=−3则点P的坐标为1,2或−3,−2；②当点P的坐标为1,2时，如图，作点M关于x轴的对称点M′，连接PM′交x

此时QP+QM=PM∵点M的坐标为52∴点M′的坐标为5设PM′的解析式为则52a+b=−7∴PM′的解析式为令y=0，则−11解得x=17∴点Q的坐标1711当点P的坐标为−3,−2时，如图，

当点Q与点A重合时，此时QP+QM=AP+AM=PM有最小值，∴点Q的坐标为−1,0；综上，点Q的坐标为−1,0或1711【题型10一次函数与几何图形的综合运用】【例10】（2324九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(2,0)，B(0,4)，C(−3,2)．(1)求三角形ABC的面积．(2)若点P的坐标为(m，0)，①请直接写出线段AP的长为；(用含m的式子表示)②当S△PAB=2S(3)若AC交y轴于点M，求点M的坐标．【答案】(1)8(2)①|m−2|；②10或−6(3)0,【分析】本题考查了坐标与图形性质、三角形面积的计算方法、待定系数法求直线的解析式；熟练掌握坐标与图形性质是解题的关键．（1）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点B作BE⊥CM，交MC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交EB延长线于F，由题意得出M(−3,0)，E(−3,4)，F(2,4)．得出AM=5，CM=2，BE=3，CE=2，DE=4，BF=2，AF=4．S△ABC（2）①根据题意容易得出结果；②由三角形面积关系得出方程，解方程即可；（3）与待定系数法求出直线AC的解析式，即可得出点M的坐标．【详解】（1）解：过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点B作BE⊥CM，交MC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交EB延长线于F．如图1所示：∵A(2,0)，B(0,4)，C(−3,2)∴M(−3,0)，E(−3,4)，F(2,4)，OB=4．∴AM=5，CM=2，BE=3，CE=2，ME=4，BF=2，AF=4．∴=AM⋅DE−1答：△ABC的面积是8．（2）解：①根据题意得：AP=|m−2|；故答案为：|m−2|；②∵∴1∴AP=|m−2|=8，∴m−2=8或m−2=−8，∴m=10或m=−6；（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，根据题意得：2k+b=0−3k+b=2解得：k=−25，∴直线AC的解析式为y=−2当x=0时，y=4∴M0,【变式101】（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（

）A．k=32，b=34 B．kC．k=−34，b=−32 D．k【答案】D【分析】首先由图可知A(2,0)，B(2,3)，再把A、B的坐标分别代入解析式，解方程组，即可求得．【详解】解：由图可知A(2,0)，B(2,3)，把A、B的坐标分别代入解析式，得−2k+b=02k+b=3解得k=3故选：D．【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，结合题意和图形得到A、B的坐标是解决本题的关键．【变式102】（2024·陕西·一模）问题探究：（1）将一直角梯形ABCD放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形ABCD的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形ABCD分成面积相等的两部分；（画出一种即可）（2）如图2，l1∥l2，点A、D在l1上，点B、C在l2上，连接AC、BD，交于点O，连接问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形ABCDE是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，CD边在x轴正半轴上，AE平行于x轴，AE的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在CD上找一点Q，使PQ将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿PQ修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．①请你利用有刻度的直尺在图中画出PQ的位置，并简要说明作图过程；②若点A的坐标为(2,4)，OB=1，OC=4，OD=12，AE=6，请求出直线PQ的解析式．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线PQ的解析式为y=−【分析】本题考查同底等高的三角形