10.3直线与平面间的位置关系（第2课时）（六大题型提分练）

10.3直线与平面间的位置关系（第2课时）题型1：直线与平面的垂直的性质定理及有关综合辨析1．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线．推论1

过一点有且只有一个与给定的直线垂直．推论2

这一点有且只有一条与给定的平面垂直．【答案】互相平行平面直线【分析】略【解析】略2．已知直线a，b和平面，且，，则与的位置关系是．【答案】或【分析】考虑和两种情况，根据直线和平面的位置关系得到答案.【解析】因为，，当时，满足条件；当时，.综上所述：或.故答案为：或3．已知不重合的直线a，b和平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【分析】通过空间想象，结合图形直观判断可知ABC错误；根据线面垂直性质定理可判断D.【解析】若，，则有可能平行，有可能异面，A错误；若，，则有可能相交、异面、平行，B错误；若，，则有可能在平面内，C错误；由线面垂直性质定理可知，D正确.故选：D

4．已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是.【答案】a与b相交【分析】根据线面垂直的判定定理可得答案.【解析】由线面垂直的判定定理得到，a与b相交.故答案为：a与b相交5．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b其中正确命题有（填序号）【答案】④【分析】对于①②③：在正方体ABCDA1B1C1D1中，取特殊的平面和直线否定结论对于④：利用线面垂直的性质定理即可证明.【解析】在正方体ABCDA1B1C1D1中，对于①：取平面M为平面ABCD,取直线为直线a，直线为直线b，满足a∥M，b∥M，但是a、b不平行.故①不正确；对于②：取平面M为平面ABCD,取直线为直线a，直线为直线b，满足bM，a∥b，但是aM.故②不正确；对于③：取直线为直线a，直线为直线c，直线为直线b,满足a⊥c，b⊥c，但是a、b不平行.故③不正确；对于④：因为a⊥M，b⊥M，由线面垂直的性质定理可得：a∥b.故④正确.故答案为：④.6．已知，，表示直线，表示平面，给出下列命题：①若，，则∥；②若，∥，则∥；③若，，则；④若，，则∥.其中正确的命题是.（写出所有正确命题的编号）【答案】④【分析】利用线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理分析判断即可【解析】解：对于①，当，时，直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以①错误；对于②，若，∥，则直线有可能在平面内，所以②错误；对于③，若，，则直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以③错误；对于④，由线面垂直的性质定理可知是正确的，故答案为：④【点睛】此题考查线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题题型2：直线与平面的垂直的性质定理的解答证明7．已知直线a、b和平面，若，，求证：．【答案】证明见解析.【分析】利用反正法，根据线面垂直的性质证明即可.【解析】假设不平行，取上不同于垂足B的一点A,过A作，设，连接BC，如图，

则相交直线可确定一个平面ABC，且，，，，又，，在平面ABC内，，这与矛盾，故假设错误，所以.8．如图，平面ABCD，平面ABCD，且，，求EF的长度．

【答案】6【分析】先证四边形是平行四边形，进而可以得到，从而求出结果.【解析】因为平面，平面，所以．又因为，所以四边形是平行四边形．所以．故答案为：6.9．如图所示，在长方体中，平面，平面，且平面.求证：.【答案】见解析.【分析】根据线面垂直的性质可得.【解析】由长方体可得：,，平面，因为平面，故.【点睛】本题考查线面垂直的性质即垂直于同一平面的两条直线是平行的，属于容易题.10．如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交．

求证：.【答案】证明见详解.【分析】连接，，，，根据线面垂直的判定定理，证明平面，推出；同理得到，推出平面；再证明平面；即可得出结论成立.【解析】连接，，，，因为在正方体中，平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，因此；同理可证：，又，平面，平面，所以平面；因为与异面直线、都垂直相交，即，，又在正方体中，与平行且相等，所以四边形为平行四边形，因此，所以，因为，平面，平面，所以平面；因此.

【点睛】本题主要考查证明线线平行，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.题型3：直线与平面的垂直的判定定理11．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：①，则，②，则，③，则，④，则，其中真命题的编号是.（写出所有真命题的编号）【答案】①④【分析】根据立体几何相关定理逐项分析.【解析】对于①，，必然存在一个平面使得，并且，又，正确；对于②，如果，则结论不成立，错误；对于③，如图：

，构造平面，使得，并且，则，在平面内，作直线n，使得，显然，错误；对于④，，又，正确；故答案为：①④.12．给定空间中的直线l及平面，条件：“直线l与平面内无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的（

）A．充分条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理即可判定二者间的逻辑关系.【解析】由直线l与平面内无数条直线垂直，可得l与平面相交或或；由直线l与平面垂直，可得直线l与平面内任意一条直线垂直.则“直线l与平面内无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的必要非充分条件.故选：C13．已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．非充分非必要【答案】B【分析】利用线面垂直的判定定理及性质定理，结合充要条件及必要条件的定义即可求解.【解析】直线在平面上，则“直线”成立时，“直线”不一定成立；“直线”⇒“直线”，∴直线在平面上，则“直线”是“直线”的必要非充分条件.故选：B.14．给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的命题共有个．【答案】2【分析】根据线面垂直的定义，以及线面垂直的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【解析】①中，根据线面垂直的判定定理，直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线与平面垂直，所以①不正确；②中，根据直线与平面垂直的定义知，若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直，所以②正确；③中，因为梯形的两腰在同一平面内，且不平行，所以两腰时相交直线，若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，可得直线垂直梯形底面所在的平面，所以这条直线垂直于两底边所在的直线，所以③正确；④中，因为梯形的两底所在的直线相互平行，根据线面垂直判定定理，直线与这个平面不一定垂直，这条直线不一定垂直于两腰所在的直线，所以④不正确.故答案为：2.题型4：证明直线与平面的垂直15．如图，在正方体中，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）要证直线平面，可在平面中找一条线与平行，连接，先证明是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证；（2）结合线面垂直的判定定理，证明直线平面的两条交线即可；【解析】（1）连接，∵是正方体，，，∵，分别是，的中点，∴，.∴是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）由（1）得，∵是正方体.∴平面，∴，∴，∵是正方体，∴是正方体，∴，∴，∵平面，平面，，∴平面.【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题16．如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面【答案】证明见解析【分析】分别利用三角形相似和等腰三角形性质可得、，再由线面垂直的判定定理可得平面，而由可得答案.【解析】由且，可得，所以，又由为的中点，所以，因为为的中点，可得，又因为且平面，所以平面，因为分别为的中点，所以，所以平面．17．如图，在平行六面体中，底面是菱形，E为的中点，．(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）作平面于点I，作于点G，于点K，连接，需证明I在上，再证明，结合，根据线面垂直的判定定理即可证明结论.【解析】（1）证明：如图，在平行六面体中，底面是菱形，连接，交于O点，则O为的中点，连接，因为E为的中点，故,因为平面，平面，故平面；（2）证明：作平面于点I，作于点G，于点K，连接，因为，,故≌,所以,∵平面，平面，∴,故≌,故,又平面，平面,故,又，平面,故平面，平面，故,同理可证,结合，可知I在的平分线上，即I在上，则平面，而平面，平面,故,又底面是菱形，则,平面，故平面.18．如图，为矩形所在平面外一点，平面，若已知，求点到的距离.【答案】【分析】过作于，连接，面，得出OP到直线BD的高，然后计算即可.【解析】过作于，连接，直线PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，则面，为所求的距离，在中，,在中，,19．已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.(1)求证：平面；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接AC，通过证明，利用线面垂直的判定可得答；（2）通过证明面可得答案.【解析】（1）连接AC，由已知F、G分别为和的中点，，又面ABCD，面ABCD，平面；（2）底面是正方形，，又底面，面ABCD，，面，面，面，又面，.题型5：三垂线定理20．已知三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．请用图形语言和数学符号翻译该定理并证明．【答案】答案见解析【分析】按照定理内容转化成符合语言再证明即可.【解析】解：已知三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．如图所示：若，是垂足，斜线，，，证明．证明：，，，，又，都在平面内，平面，平面，．21．已知，如图是平面外一点，是平面的斜线，交于点，过点作平面的垂线，垂足是，直线是在平面上的投影．求证：对平面上任一直线，是的充要条件．【答案】证明见解析【分析】利用线面垂直的判定定理分别证明充分性和必要性即可．【解析】证明：充分性：，，，又，，平面，平面，又平面，，必要性：，，，又，，平面，平面，又平面，，综上，对平面上任一直线，是的充要条件．题型6：直线与平面平行的判定与性质综合、点到平面的距离22．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接，交于点，连接，即可证明，从而得证；（2）依题意可得，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，证得，即可得证.【解析】（1）

连接，交于点，连接，∵是正方形对角线交点，∴为的中点，由已知为线段的中点，∴，又平面，平面，∴平面；（2），为线段的中点，，∵平面，平面，，在正方形中，，又，平面，平面，又平面，，又，平面，平面；23．如图，已知正方体的棱长为.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得、，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）如图，利用等体积法即可求解.【解析】（1）如图，连接，因为平面，平面,则，又因为，且平面，得平面，又平面，所以；因为平面，平面，则，又因为平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面.（2）由为的中点，得，且，所以，由，得，即，解得，即点到平面的距离为.24．如图，在直三棱柱中，，、分别是BC、的中点，.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用直三棱柱的构造特征，结合线面垂直的性质、判定推理即得.（2）由（1）中信息，结合相似三角形的性质求出，再利用等体积法求解即得.【解析】（1）在直三棱柱中，由，是的中点，得，由平面，平面，得，而平面，则平面，又平面，则，而，平面，所以平面.（2）在矩形中，由（1）知，，，于是直角与直角相似，则，即，因此，，，，，，设点到平面的距离为，由，得，，解得，所以点到平面的距离为.25．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为PD的中点，，垂足为，且.

(1)求证:平面ACE;(2)求证:平面ABCD.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）如图，由题意可得，结合线面平行的判定定理即可证明；（2）如图，先证，进而，则，利用线面垂直的判定定理与性质可得，由直角三角形的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明.【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，则，又平面，平面，所以平面；（2）由（1）知且，又，所以为的中点，因为，所以为等腰三角形，则，又，所以，连接，则，又平面，所以平面，而平面，则.因为，，所以，即，又平面，所以平面.26．如图，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段AD的三等分点，平面AEC外一点满足平面．(1)证明:;(2)求点到平面FED的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的性质证明，从而可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）利用等体积法求解即可.【解析】（1）∵点为的中点，且为直径，∴，∵平面，平面，∴，又平面，∴平面，∵平面，∴；（2）∵平面，且平面，∴，又∵，∴，∴，∵平面，平面，∴，∴，∵，∴，∴，∴点到平面的距离.一、填空题1．已知平面，四边形是平行四边形，若，则平行四边形一定是．【答案】菱形【分析】根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面，可得，从而可得出结论.【解析】解：因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为四边形是平行四边形，所以平行四边形一定是菱形.故答案为：菱形.2．过三角形所在平面外一点，作，垂足为，若，且，则点是边的点．【答案】中【分析】分析出，，，利用勾股定理可得出，可得出为的外心，再由可得出结论.【解析】因为，、、，则，，，因为，，，，所以，，所以，为的外心，因为，则的外心为的中点.故答案为：中.3．如图，设P为矩形ABCD所在平面外一点，直线PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为.【答案】【分析】要求点P到直线BD的距离，需要作出P到直线BD的高，然后计算即可.【解析】过作于，连接，直线PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，则面.为所求的距离，在中，,在中，,故答案为：4．如图，在正方体中，M、N、P分别是、和AB的中点，则下列关系：①BM⊥AB；②BM∥平面；③；④⊥平面，正确的编号为．【答案】①②④【分析】①，由AB⊥面，得AB⊥BM，；②，取的中点O，可得PO∥BM⇒BM∥面；③，若，可得BM⊥面，与已知矛盾；④，取中点，可得面，，即可得平面【解析】对于①，∵AB⊥面，BM⊂面，∴AB⊥BM，故正确；对于②，如图1，取A1C1的中点O，连接，又为中点，,且,为中点，,，，且，，且，所以四边形为平行四边形，所以，面，面，面，故正确；对于③，若，由①知AB⊥BM，即,，且面，BM⊥面，面，显然与已知矛盾，故错误；对于④，如图2，取中点H，根据平面几何关系，，所以，，得到，为中点，故得面，面，面，所以面,而面，所以正方体中，，面，面，又，面，所以面，而面，所以，面所以面，故正确故答案为：①②④.5．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是（填上所有正确的序号）．①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.【答案】①②④【分析】连接MN交AE于点P，对于①，根据面面平行的判定和性质可判断；对于②，根据线面垂直的判定和性质可判断；对于③，由NP∥AB可得不论D折至何位置（不在平面ABC内）都不可能有MN∥AB；对于④，由在折起的过程中，根据线面垂直的判定和性质可判断．【解析】解：连接MN交AE于点P，则MP∥DE，NP∥AB，∵AB∥CD，∴NP∥CD.对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确；对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确；对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置（不在平面ABC内）都不可能有MN∥AB，故③不正确；对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确．故答案为：①②④.二、单选题6．如图，BC是的斜边，过A作所在平面的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，则图中直角三角形的个数是（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面垂直的性质即可判断作答.【解析】依题意，，，则，即都是直角三角形，又，则，而，，平面，因此，平面，平面，即，又AD是的斜边上的高，点D与B，C都不重合，于是得都是直角三角形，所以给定图中共有8个直角三角形.故选：D7．在正方体中，点分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（

）

A．①②均正确 B．①②均不正确C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确【答案】D【分析】根据正方体的线面关系证明平面，来验证命题①；求证平面，来验证命题②即可得结论.【解析】对于①，如图，连接

在正方体中，有正方形，所以，又，