基础课27 平面向量的概念及其线性运算

第五单元平面向量及其应用、复数基础课27平面向量的概念及其线性运算课时评价·提能基础巩固练1.（改编）下列说法：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若a=b，则③若四边形ABCD满足AB=DC，则四边形④若m=n，n=⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段；⑥任何一个非零向量都可以平行移动.其中不正确的个数是（B）.A.2 B.3 C.4 D.5[解析]对于①，当两个向量相等时，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若a=b，方向不确定，则a,b不一定是相等向量或相反向量，②对于③，若AB=DC，则AB,DC不一定相等，所以四边形ABCD不一定是平行四边形，③对于④，若m=n，n=k，则对于⑤，因为向量没有固定的起点，所以向量不是有向线段，但向量可以用有向线段表示，⑤错误；对于⑥，任何一个非零向量都可以平行移动，⑥正确.综上，不正确的是②③⑤，共3个，故选B.2.（改编）下列说法正确的是（C）.A.零向量没有方向B.平行向量不一定是共线向量C.对于任意向量a,b，必有aD.若a,b满足a>b且a与b[解析]对于A，零向量的方向是任意的，故A错误；对于B，平行向量就是共线向量，故B错误；对于C，若a,b同向共线，则a+b=a+b，若a,b反向共线，则a+b≤a+b，若a,b不共线，则根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知a+b对于D，两个向量不能比较大小，故D错误.故选C.3.化简以下各式：①AB+BC+CA；②AB+A.1 B.2 C.3 D.4[解析]对于①，AB+BC+CA=对于②，AB+AC−BD+对于③，OA−OD+AD=对于④，NQ+QP+MN−故结果为零向量的个数是3.故选C.4.设a，b是单位向量，则下列四个结论正确的是（D）.A.a=b B.a//b C.[解析]由a,b是单位向量知，a=b=1，但单位向量的方向不确定，所以A，B和C均错误，D正确5.在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB=a，CA=b，a=A.23a+13b B.1[解析]因为CD平分∠ACB，所以BDDA=BCAC=ab=26.（改编）如图，在平面四边形ABCD中，−2AF=CA，A.EF=12C.EF=−12[解析]由题意可知，FE=又DA+所以FE=12−AB−CD7.（改编）设a，b是两个不共线的向量，且向量a+λb与3λ+2A.13 B.−1 C.−1或1[解析]因为向量a+λb与3λ+2a+b是平行向量，所以存在唯一的实数k，使3λ+21=kλ，则3λ+2λ=1，即3λ2+8.如图，已知平面向量OA,OB,OC满足OA=OB=OC,⟨OA,OBA.2OA+OBC.2OA+3[解析]设OF=−OC，过点F分别作OA,OB的平行线，分别交OB,OA于点E，D,不妨设OA=OB=OC=3，因为所以∠EOF=∠OFD=90∘,∠从而−OC=OF=OD+OE综合提升练9.（多选题）设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（ACDA.若AM=12AB+B.若AM=2AB−ACC.若AM=−BM−CM，则点D.若BM=2[解析]对于A,由AM=12AB+12AC，可得AM−AB=AC−AM，即BM对于B,由AM=2AB−AC，可得AM−AB=AB−AC，即BM=CB，对于C,设BC的中点为D，则AM=−BM−CM=MB+MC=2MD，由三角形重心的性质可知，点M对于D,因为BM=23BC，则AM−AB=23AC−AB10.（多选题）下列说法正确的是（BD）.A.若a//b，bB.两个非零向量a，b，若a−b=a+C.若a//b，则存在唯一实数λD.若2OA+OB+3OC=0，S[解析]对于A，若a//b，b//c，则当b=0时，不一定有a对于B，两个非零向量a,b，若a−b=a+b，则a与b共线且反向对于C，若b=0，则不存在唯一的实数λ，使得非零向量a=λb，对于D，因为2OA+OB+3OC分别取BC，AC的中点E,F，则4OF=−2OE，即2OF=−OE，所以O，E，F三点共线，故OE=2OF，OE=23EF，所以OE=13AB11.关于非零向量a有如下说法：①2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a的方向相同；②−13a的长度是a的长度的13，且−13a与a的方向相反；③若λ=[解析]对于①，2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a的方向相同，故①正确；对于②，−13a的长度是a的长度的13，且−13a与a的方向相反，故②正确；对于③，若λ=0,则λa=0，不是零，故③错误；对于④，若12.（双空题）已知在△ABC中,M,N分别是边AB,AC上的点（不包括端点）,CM与BN交于点P,若AP=37AB+17AC[解析]设AM=mAB0<m<1,AN=nAC0<n<1,由AP=37AB+17AC,可得AP=37mAM+17AC,AP=37AB+17n应用情境练13.勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，书中的“勾股圆方图”被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB=a，AD=b，E为BF的中点，则AE=4[解析]AE=AB+BE14.某石碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形ABCDEFGH，如图所示，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且AC=xAB+[解析]由图可知，外角θ=45∘，作平行四边形AHCM，则∠BCM=180∘−2θ=90∘，设八边形的边长为1，则创新拓展练15.已知M为△ABC所在平面内一动点，且M满足AM=13λAB+231−λAC，AC=[解析]如图，设AD=13AB,AE因为M满足AM=13λAB+231−λAC，所以AM=λAD+1−λAE，所以M,D,E三点共线，所以点M的轨迹为直线DE.因为点M的轨迹与直线AB，AC围成的封闭区域的面积为32，所以116.已知在△ABC中，P为△（1）若点P在边BC上，且BP=13PC，用AB，（2）若点P是△ABC①求证：PA+②若35sinA[解析]（1）如图1,过点P作PD//CA交AB于点D，PE//BA交AC于点E，则四边形所以AP=AD+AE，由BP=13同理，AEAC=BPBC=14（2）①如图2,延长AP交BC于点F，因为点P是△ABC的重心，所以F为BC的中点，且AP=2PF，所以PA=−又PB+