高考数学第一轮复习导学案(新高考)第45讲数列的综合运用(原卷版+解析)

第45讲数列的综合运用1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．数列在实际问题中的应用2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．1．数列实际应用中的常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．1、（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则，数列的所有项的和为．2、（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．3、（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．4、（2021•乙卷（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前项和．证明：．1、甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．甲、乙开始运动后，相遇的时间为________分钟．A.3 B.7 C.11 D.142、（2023·黑龙江大庆·统考三模）定义，已知数列为等比数列，且，，则（

）A．4 B．±4 C．8 D．±83、对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝________．4、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（）A.B.C.D.考向一数列在数学文化与实际问题中的应用例1、（1）（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列时，发现其递推公式就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则（

）A． B． C． D．（2）（2023·湖南邵阳·统考三模）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（

）A．130 B．132 C．134 D．141（3）（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（

）A．22 B．24 C．25 D．26变式1、（1）(2022·青岛期初考试)《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为A．8B．11C．14D．16（1）、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺（3）、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天考向二数列中的含参问题例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．变式1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足.(1)求公差d；(2)是否存在正整数m，k使得.变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．(1)求，的值；(2)求最小自然数n的值，使得．考向三数列中的“定义型问题”例3、（2023·辽宁大连·统考三模）定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：（1）是的一个排列；（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列：①数列的前项和；②数列：1，2，3，4，5；③数列：1，2，3，4，5，6.具有“性质”的为________；具有“变换性质”的为_________.变式1、(2022·江苏如皋中学高三10月月考)已知数列满足：，且.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足：，定义使为整数叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和.变式2、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*)，则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数．已知an＝2n，且f(m)＝m，数列{bm}的前m项和Sm，若Sm＝30，则m的值为()A．9B．11C．12D．14考向四数列与不等式等知识点的结合例4（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知数列中，，是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．变式1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列的前项和为，若.(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，求证：．1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（

）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）A．105 B．107 C．1012 D．10152、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为．按复利计算，则小李每个月应还（

）A．元 B．元C．元 D．元3、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.4、（2023·云南玉溪·统考一模）在①，②这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．设等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，．（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）(1)请写出你的选择，并求数列和的通项公式；(2)若数列满足，设的前n项和为，求证：．5、（2023·云南·统考一模）记数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设m为整数，且对任意，，求m的最小值．6、（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增等差数列的前三项.第1列第2列第3列第1行723第2行154第3行698(1)求数列的通项公式，并求的前项和；(2)若，记的前项和，求证.7、（2023·安徽安庆·校考一模）数列中，，且满足(1)求，并求数列的通项公式；(2)设，求；(3)设，是否存在最大的；正整数，使得对任意均有成立？若存在求出的值；若不存在，请说明理由.

第45讲数列的综合运用1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．数列在实际问题中的应用2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．1．数列实际应用中的常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．1、（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则，数列的所有项的和为．【答案】48；384．【解析】数列的后7项成等比数列，，，，公比．，又该数列的前3项成等差数列，数列的所有项的和为．故答案为：48；384．2、（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．【解析】（1）设等差数列的公差为，，为的前项和，，，则，即，解得，故；（2）证明：由（1）可知，，，当为偶数时，，，，当为奇数时，，，，故原式得证．3、（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，所以，整理得，①，故当时，，②，①②得：，故，化简得：，，，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以．4、（2021•乙卷（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前项和．证明：．【解析】（1），，成等差数列，，是首项为1的等比数列，设其公比为，则，，，．（2）证明：由（1）知，，，，①，②①②得，，，，．1、甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．甲、乙开始运动后，相遇的时间为________分钟．A.3 B.7 C.11 D.14【答案】：B【解析】：设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋eq\f(n（n－1）,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7或n＝－20(舍去)．2、（2023·黑龙江大庆·统考三模）定义，已知数列为等比数列，且，，则（

）A．4 B．±4 C．8 D．±8【答案】C【详解】依题意得，又，所以．故选：C．3、对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝________．【答案】：－2【解析】：利用导数求得曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，即y＝(n＋1)x－n，它与x轴交于点(xn，0)，则有(n＋1)xn－n＝0xn＝eq\f(n,n＋1)，∴an＝lgxn＝lgeq\f(n,n＋1)＝lgn－lg(n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2．4、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】由题意知：，故，∴，故A错误；，故B正确；，故C正确；，，显然，故D错误；故选：BC考向一数列在数学文化与实际问题中的应用例1、（1）（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列时，发现其递推公式就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由得，所以，.故选：D.（2）（2023·湖南邵阳·统考三模）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（

）A．130 B．132 C．134 D．141【答案】B【详解】由题可知，2到20的全部整数和为，2到20的全部素数和为，所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为.故选：B.（3）（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（

）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】B【详解】设该数列为，当为奇数时，所以为奇数；当为偶数时，所以为偶数数；所以，故选:B.变式1、（1）(2022·青岛期初考试)《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为A．8B．11C．14D．16【答案】B【解析】由题意可知，这位公公9个儿子的年龄从小到大构成等差数列，则可设年龄最小的儿子年龄为a1，则公差为d＝3，由题意，eqS\s\do(9)＝9a\s\do(1)＋\f(9×8,2)×d＝9a\s\do(1)＋36×3＝207，求得a1＝11，即这位公公最年幼的儿子的岁数为11，故答案选B．（1）、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺【答案】D【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为d，根据题意列出方程组求解即可.【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，设其首项为，公差为d，根据题意，∴立秋的晷长为.故选：D（3）、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】C【解析】设该女子第一天织布尺，则，解得，前天织布的尺数为：，由，得，解得的最小值为8．故选：．考向二数列中的含参问题例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】当时，；当时，，将代入上式，可得，则；，，代入不等式，可得，整理可得，当为偶数时，不等式为，令，，当时，，则在上单调递增，由于，故，此时；当为奇数时，不等式为，令，（为奇数且），易知在单调递增，则，此时，综上所述，.故答案为：变式1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足.(1)求公差d；(2)是否存在正整数m，k使得.【解析】（1）因为，，所以，所以，即，解得：或.因为，所以.（2）法一：由（1）得，，，时；时；时；时（舍），当时，，不合题意；满足条件的有三组.法二：由（1）得，，故，所以，且，所以，所以，，.存在满足条件的有三组.变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．(1)求，的值；(2)求最小自然数n的值，使得．【解析】（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，得，，解得，所以，时，集合中元素个数为，时，集合中元素个数为；（2）由（1）知，，时，=2001<2022，时，=4039>2022，记，显然数列是递增数列，所以所求的最小值是11.考向三数列中的“定义型问题”例3、（2023·辽宁大连·统考三模）定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：（1）是的一个排列；（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列：①数列的前项和；②数列：1，2，3，4，5；③数列：1，2，3，4，5，6.具有“性质”的为________；具有“变换性质”的为_________.【答案】①②【详解】解：对于①，当时，，，2，3，为完全平方数数列具有“性质”；对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换性质”，数列为3，2，1，5，4，具有“性质”，数列具有“变换性质”；对于③，，1都只有与3的和才能构成完全平方数，，2，3，4，5，6，不具有“变换性质”．故答案为：①；②．变式1、(2022·江苏如皋中学高三10月月考)已知数列满足：，且.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足：，定义使为整数叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意得，，进而分奇、偶数项求通项公式，再合并即可得答案；（2）根据题意得，故设，，则，再解不等式即可得区间内的“幸福数”，再求和即可得答案.【详解】（1）∵①，∴，②当时，①﹣②得，∴的奇数项与偶数项各自成等差数列，且公差均为2，，∴(为奇数)(为偶数)∴（2）设，，∴，令，，∴∴区间内的“幸福数”为，，…，∴所有“幸福数”的和为.变式2、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*)，则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数．已知an＝2n，且f(m)＝m，数列{bm}的前m项和Sm，若Sm＝30，则m的值为()A．9B．11C．12D．14【答案】B【解析】由题意可知，当m为偶数时，可得2n≤m，则bm＝eq\f(m,2)；当m为奇数时，可得2n≤m－1，则eqb\s\do(m)＝\f(m－1,2)，所以bm＝EQ\B\lc\{(\a\al(\F(m－1,2)(m为奇数),\F(m,2)(m为偶数)))，则当m为偶数时，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝eq\f(1,2)(1＋2＋…＋m)－eq\f(1,2)×eq\f(m,2)＝EQ\F(m\S(2),4)，则EQ\F(m\S(2),4)＝30，因为m∈N*，所以无解；当m为奇数时，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝Sm＋1－bm＋1＝EQ\F((m＋1)\s\up3(2),4)－eq\f(m＋1,2)＝EQ\F(m\S(2)－1,4)，所以EQ\F(m\S(2)－1,4)＝30，因为m∈N*，所以m＝11，故答案选B．考向四数列与不等式等知识点的结合例4（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知数列中，，是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为数列是首项为2，公差为的等差数列，所以，则，得（），两式相减得：，则，（），又适合上式，故．另解：由得（），故为常数列，则，故．（2）由（1）得，所以，则.变式1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列的前项和为，若.(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，求证：．【解析】（1）当时，，解得；当时，由，得，两式相减可得，，又，，即是首项为，公差为的等差数列，因此，的通项公式为；（2）证明：由可知，所以，，因为恒成立，所以，又因为，所以单调递增，所以，综上可得．1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（

）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）A．105 B．107 C．1012 D．1015【答案】C【解析】64个格子放满麦粒共需，麦子大约20000粒，1吨麦子大约粒，，故选：C.2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）小李在2022年1月