《高等数学》(第三版)教案第三章全

《高等数学》（第三版）教案第三章全3.1.1不定积分的概念与积分公式教学目标： （1）理解原函数与不定积分的概念，不定积分的几何意义；（2）掌握不定积分的基本积分公式、运算法则；（3）学会用直接积分法计算函数的不定积分。教学重点： （1）不定积分的概念；（2）用直接积分法计算函数的不定积分。教学难点： 对不定积分的几何意义的理解。授课时数：3课时教学过程过程备注引言介绍本章学习的主要内容。教师讲授5′问题一辆火车以的速度匀速行驶．当启动刹车系统时，火车以固定的减速度停下．设火车在启动刹车系统秒后的速度和位移分别为和，需要解决的问题是：如何用表示和．我们知道，若已知位移函数，则可得到物体运动的速度函数；同样若已知物体运动的速度函数，可得到物体运动的加速度函数．现在要解决的问题与上述过程刚好相反，即(1)已知速度函数的导数，求速度函数；(2)已知位移函数的导数，求速度函数．这是求导数的逆运算问题，是积分学的基本概念之一．教师讲授与学生回答相结合10′1.原函数与不定积分的概念新知识上面两个问题实质上都是在满足函数的情况下如何求原来函数的问题，由此，抽象出原函数的概念．如果在区间上，函数与满足，则称函数是函数在该区间上的一个原函数．教师讲授15′知识巩固例1求函数的原函数．解因为，所以是的一个原函数；因为，所以是的一个原函数；因为（是任意常数），所以对于任意常数，都是的原函数．由例1不难得出：(1)函数的原函数有无穷多个；(2)函数的两个原函数之间只相差一个常数；(3)若函数为函数的一个原函数，则（是任意常数）表示的全部原函数．教师讲授25′新知识函数在区间I上的全部原函数（为任意常数）称为在区间I上的不定积分，记作：，即．（3.1）其中符号称为不定积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数．教师讲授30′知识巩固例2求下列各不定积分(1)；(2)．解(1)因为，所以是的一个原函数，因此．(2)因为，所以是的一个原函数，因此．在教师引领下共同完成40′做一做(1)已知，求；(2)求不定积分．在教师引领下完成55′新知识由不定积分的概念知，函数的不定积分与导数（或微分）互为逆运算，即(1)或．(2)或．教师讲授60′2.不定积分的几何意义探究由知，是的全部原函数．因为的图像可以由抛物线沿轴移动个单位得到，所以的图像是一族抛物线（如图3-1所示），并且每条抛物线上横坐标相同点处切线的斜率相等，都等于．图3-1结合图像动画演示70′结论若是的一个原函数，则称的图形是的积分曲线．因为不定积分是的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族．积分曲线族的特点是：(1)积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条沿y轴平行移动而得到．(2)每条积分曲线上横坐标相同点处，切线斜率相等，都等于，从而使相应点的切线相互平行（如图3-2所示）．图3-2教师讲授80′3.不定积分的基本积分公式、运算法则、直接积分法新知识基本积分公式函数的不定积分与导数（或微分）互为逆运算，因此，对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式．序号1．2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.运算法则不定积分有以下两条运算法则．(1)(2)，（k为不等于零的常数）直接积分法利用运算法则及被积函数的恒等变形，将所求积分转化为基本积分公式表中的积分进行计算．教师讲授95′知识巩固例3求下列不定积分(1)；(2)．解(1)，令，则． 说明：今后计算不定积分时，不必分别加积分常数，只需在最后加一个即可．(2)．例4求下列不定积分(1)；(2)．解(1)．(2)．例5一物体以速度（单位：）作直线运动，当时，物体经过的路程，求该物体的运动方程．解因为，所以．当时，，因此，即，故该物体的运动方程为．教师讲授在教师引领下完成110′教师讲授115′练习3.1.11．求下列不定积分(1)； (2)；(3)； (4)；2．一曲线经过点，且曲线上任意一点处的切线斜率为，求该曲线的方程．学生课上完成130′小结新知识：原函数与不定积分的概念，不定积分的几何意义，不定积分的基本积分公式、运算法则，用直接积分法计算函数的不定积分。135′作业1.通过复习原函数与不定积分的关系，记忆不定积分的基本积分公式；2.完成高等数学习题集“”。3.1.2不定积分的计算教学目标：（1）学会用凑微分法计算函数的不定积分；（2）掌握分部积分法的步骤和关键，学会用分部积分法计算函数的不定积分。教学重点： 用凑微分法和分部积分法计算函数的不定积分。 教学难点： 对“凑微分”公式的理解，分部积分法的步骤和关键。授课时数：4课时.教学过程过程备注做一做完成下面等式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．在教师提示下完成10′探究例6求不定积分．解1．解2令，则，代入原积分中，得，再将回代，得．因为，所以确定是的一个原函数，说明这种方法是正确的．利用这种方法可以很容易的计算出如、等不定积分，不必将被积函数展开，使得计算非常方便．这种做法是否具有普遍性呢？答案是肯定的．师生共同完成20′1.不定积分的换元积分法新知识一般地，若成立，则当是的可导函数时，也成立．这个结论表明：在基本积分公式中，自变量换成可导函数时，积分公式的形式不变，公式仍然成立，这样就扩大了不定积分基本公式的适用范围．通常把这种求不定积分的方法叫做第一类换元积分法，上述积分方法中关键是将被积表达式写成的形式，称为凑微分，因此第一类换元积分法又叫做凑微分法．凑微分法是一种最基本的积分方法，下面分两种基本情况介绍．（1）形式为的不定积分（）考虑到，把被积函数中的凑微分，得，令，然后利用最基本积分公式求解．教师讲授25′知识巩固例7求．解因为，令，则．在运算熟练后，中间变量只需记在心里，而不必写出来，例7的具体写法是：．例8求解．例9求．解．教师讲授在教师引领下完成40′新知识（2）形式为的不定积分把被积函数中的凑微分，得，令，然后利用最基本积分公式求解．教师讲授45′知识巩固例10求．解被积函数中含有和且，因此可以尝试用与凑微分，即，所以．例11求．解被积函数中含有和且，因此可以尝试用与凑微分，即，所以．例12求．解被积函数中含有和且，因此可以尝试用与凑微分，即．所以．教师讲授在教师引领下共同完成60′新知识一般地，当被积函数中的含有，，，，，，，，等因式时，可以考虑将它们与凑微分，即，，，，，，，，．在求解不定积分问题中，所用到的凑微分绝非只有这些．因此，对遇到的具体问题要认真分析，总结规律，逐步掌握这一积分方法．在教师引领下共同完成70′练习3.1.21．用凑微分法求下列不定积分(1)； (2)；(3)； (4)；学生课上完成90′2.不定积分的分部积分法新知识分部积分法是与两个函数乘积的导数运算法则对应的，也是一种基本积分方法．函数，乘积的导数公式是移项，得两边同时求不定积分，得即（3.2）上述公式称为分部积分公式．它可以将求的积分问题转化为求的积分，当积分较容易求出时，利用分部积分公式起到了化难为易的作用．教师讲授100′知识巩固例13求．分析用分部积分法求解，怎样选取和呢？我们做下面的尝试．解1设，，则，．应用分部积分公式，得．解2设，，则，．应用分部积分公式，得．（1）式（1）右端的积分比原来的积分更不易求出，说明这样选取、是不合适的．教师讲授110′新知识由例13可以看到：(1)选取和的原则是：容易求得，比原来的积分容易计算．(2)由求出，实质还是凑微分．因此，使用分部积分公式的一般步骤是：．运算熟练后，、及、只需记在心里，而不必写出来，例13的具体写法是：．教师讲授115′知识巩固例14求．解．有时需要连续两次凑微分，然后应用分部积分公式进行计算．例15求．解．有些积分需要连续几次用分部积分公式才能求出．例16求．解对于继续用分部积分公式，上式．说明当被积函数只有一项时，此函数就是，就是，这时不需要凑微分，直接代入分部积分公式即可．教师讲授在教师引领下共同完成135′练习3.1.22．用分部积分法求下列不定积分(1)；(2)；学生课上完成150′链接软件利用高级计算器可以方便的计算不定积分．计算例16操作如下：1．单击不定积分符号，在命令窗口出现符号后，输入被积函数“”；2．单击“输入”，得到计算结果．即说明利用高级计算器计算不定积分，其结果可能与我们动手计算在形式上不同，两种结果都是正确的，它们可以互化或只差一个常数．演示165′练习3.1.23．用计算器求下列不定积分(1)；(2)；学生课上完成175′小结新知识：不定积分的换元积分法（凑微分）和分部积分法。180′作业1.梳理不定积分的凑微分法、分部积分法；2.完成高等数学习题集“”。3.2.1定积分的概念教学目标：理解定积分的概念及几何意义。教学重点： 定积分的概念。教学难点： 定积分的概念的理解。授课时数：2课时.教学过程过程备注探究1．面积问题图3-5如何计算由曲线和直线、、围成的图形（图3-4）的面积呢？图3-5图图3-4回想第1章曾介绍利用“割圆术”求圆周长的方法，现在继续用这种思想求上述图形的面积．设所求面积为．第1步：以矩形面积做面积的近似值．通过作直线，，……，把面积分成个条形，再过上述直线与曲线的交点做平行于轴的直线，即可得到个矩形（图3-5），这些矩形面积的和就是面积的近似值．容易看出：每个矩形的宽都是，高分别为函数在点，，……，，处的函数值，于是．利用公式得，．第2步：利用极限思想求面积．由图3-5可以看到，随着矩形个数的增加（当增大时），和越接近．因此，所求面积为矩形面积和的极限，即．一般地，由曲线和直线、、围成的的平面图形称为曲边梯形（图3-6）．下面来计算曲边梯形的面积．图3-图3-7图3-6 （1）用直线，，……，将面积分成个等宽的小曲边梯形（如图3-7所示），每个小曲边梯形的宽都是．这时，区间被分成个小区间：，，……，（其中，）， （2）用宽为、高分别为函数在每个小区间右端点处的函数值的矩形面积来近似代替对应的小曲边梯形面积，这些矩形面积的和就是面积的一个近似值．于是． （3）上述和的极限就是所求曲边梯形的面积，即．事实上，可以用区间上任意一点处的函数值代替其右端点的函数值（1，2，……，）作为小矩形的高，每个小区间的长度即小矩形的宽也可以是不相等的，，……．在最大的小区间长度趋向零的条件下，可得到计算曲边梯形面积的更一般的结果其中，，如图3-8所示．ξξi图3-82．路程问题作直线运动的物体，若在固定的时间内速度是不变的，则路程可以用公式路程速度时间求出．但是，如果速度是变化的，路程不能用上述公式计算．那么，怎样计算做变速直线运动的物体在固定时间内经过的路程呢？我们看下面的例子．某物体做变速直线运动，已知速度为是时间的连续函数，采用类似于计算曲边梯形面积的方法，计算该物体在时间段经过的路程．（1）把时间区间分成个小段，，……，，……，（其中，）， （2）记第段时间的长度为．任取一点，用这一刻的速度代替小段时间上的速度，得到第段时间物体经过的路程的近似值（1，2，……，）．将物体在每小段时间经过路程的近似值相加，可以得到在时间段经过路程的近似值，即． （3）在最大的小段时间长度趋向于零的条件下，的极限就是所求的路程，，其中，．动画演示图3-4面积的求法总结求解步骤演示曲边梯形的面积的求法总结求解步骤强调更一般的结果在教师引领下共同完成50′新知识上面两个问题，虽然实际意义不同，但解决问题的方法完全相同，都是计算一种和式的极限．类似的问题还有很多，因此我们有必要对一般的这类和式的极限问题进行研究，这就是定积分问题．设函数在区间上有定义，任取分点，把分成个小区间，记，，在每个小区间上任取一点，做乘积的和式，如果时上述和式的极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为．（3.3）其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量，区间称为积分区间，、分别称为积分下限和积分上限．此时也称函数在区间上可积，否则称不可积．根据上述结论，可知(1)由曲线和直线，，围成的曲边梯形的面积为．(2)做变速直线运动的物体，已知速度为是时间的连续函数，该物体在时间段经过的路程为．关于定积分的几点说明(1)定积分是一个确定的常数，它只与被积函数及积分上、下限有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即．(2)为讨论方便，规定：；．图3-10图3-9(3)在区间上，当时，表示如图3-6所示的曲边梯形的面积；当时，表示如图3-9所示的曲边梯形的面积，所以；当有正有负时，表示如图3-10所示图形各面积的代数和，即．图3-10图3-9教师讲授70′练习3.2.11．求的值．2．已知，求的值．3．利用定积分的几何意义求定积分的值．在教师引领下学生课上完成85′小结新知识：定积分的概念及几何意义90′作业1.梳理运用求“和式的极限”解决问题思路，写出求解步骤。2.完成高等数学习题集“”。定积分的性质及微积分基本公式教学目标：（1）了解定积分基本性质；（2）介绍牛顿—莱布尼茨公式及用该公式计算定积分的方法。教学重点：（1）定积分基本性质（2）牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 对牛顿—莱布尼茨公式的理解。授课时数：1课时.教学过程过程备注新知识1．定积分的性质定积分的一些基本性质，将有助于计算一些简单的积分．下面性质的介绍中，假设有关函数都是可积的．性质1对于任意的常数，有．性质2两个函数代数和的定积分等于个函数定积分的代数和，即．注意：性质2还可以推广到有限多个函数的代数和的情形．性质3被积函数中的常数因子可以提到积分号的外面，即（是常数，且）．性质4对于任意三个数，，，总有．教师讲授10′知识巩固例1已知，，求．解应用性质1、性质2、性质3，得．例2已知，，求．解应用性质4，得．在教师引领下共同完成20′探究设一质点沿直线运动，其速度，现需要计算该质点从到这段时间经过的路程．一方面，由定积分的概念知：；另一方面，由路程函数与速度函数之间的关系知：，即，因为当时，故，所以，从而．将上述两方面结合起来，可以得到，其中，即是的一个原函数．在教师引领下共同完成27′新知识2．微积分基本公式可以将上述结论推广到一般情形．一般地，若函数在区间上连续，且是在区间上的一个原函数，则．（3.4）式（3.4）称为牛顿莱布尼兹公式，也叫做微积分基本公式．为书写方便，经常把上式中的记为或，因此牛顿莱布尼兹公式又可以写成或．牛顿莱布尼兹公式把求定积分归结为求被积函数的原函数，使得定积分的计算通过不定积分的计算来完成．教师讲授35′练习3.2.21．已知，，求的值．2．已知，，求的值．3．已知是的一个原函数，求的值学生课上完成42′小结新知识：定积分基本性质，牛顿-莱布尼兹公式。45′作业完成高等数学习题集“”。3.2.3定积分的计算教学目标：（1）学会直接应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分；（2）学会应用定积分的分部积分法则计算定积分。（3）学会对分段函数求定积分。教学重点： 定积分的计算方法。 教学难点： 定积分的分部积分法则。授课时数：3课时.教学过程过程备注1．直接应用牛顿莱布尼兹公式计算新知识在计算定积分时，若能够直接应用不定积分的基本公式或第一类换元积分法则求出原函数，则可直接应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分．教师讲授5′知识巩固(1)直接应用不定积分的基本公式求原函数例3计算．解第1步，计算不定积分求出原函数．因为，所以．第2步，分别将积分上、下限代入求差．熟练后，第一步不必写出来，直接应用牛顿莱布尼兹公式即可．例4计算．解．(2)应用第一类换元积分法则求原函数例5计算．解．例6计算．解．例7计算．解．教师讲授在教师引领下共同完成35′2．应用定积分的分部积分法则计算新知识将不定积分的分部积分法则与牛顿莱布尼兹公式结合，可得到定积分的分部积分法则．设函数函数和在区间上有连续导数，则定积分．（3.5）教师讲授40′知识巩固例8计算．解．例9计算．解．在教师引领下共同完成55′3．分段函数的定积分新知识当被积函数为分段函数时，需要利用定积分的性质4，分段进行积分．教师讲授60′知识巩固例10已知求．解被积函数是分段函数，其图像如图3-11所示．用分段函数的分段点，将积分区间分为和，故图3-11图3-11．例11计算．解由于是分段函数，函数的分段点为，积分区间为和，故．教师讲授在教师引领下共同完成75′练习3.2.31．计算下列各定积分．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)．学生课上完成105′链接软件利用高级计算器可以方便地计算定积分．例如计算操作如下：1．单击定积分符号，在命令窗口出现符号后，输入积分上、下限及被积函数“”；2．单击“输入”，得到计算结果．即．演示115′练习3.2.32．用高级计算器求下列定积分．(1)；(2)．学生课上完成125小结新知识：定积分的各种计算方法。135′作业1.梳理节中几种不同的计算方法;2.完成高等数学习题集“作业”。3.2.4广义积分教学目标：学会计算无穷区间上的广义积分。教学重点： 无穷区间上的广义积分的概念和计算。教学难点： 广义积分概念的理解授课时数：1课时.教学过程过程备注探究计算由曲线，直线，围成图形的面积．观察图3-12看出，该图形的右侧是“开口”的，那么这个面积如何计算呢？图图3-12图3-13为了求出这个面积，首先作直线．图3-13中阴影部分的面积为． 显然，直线越向右移动，越接近所求的面积．由极限的概念可知：，即在教师的引领下寻求解决问题的方法8′新知识在上面问题中，我们按照“首先求出定积分，然后再求极限”的方法得到这种开口曲边梯形的面积．采用这种方法可以将在无穷区间上的定积分定义为有限区间上的定积分的极限．一般地，设函数分别在区间、及上连续，则(1)对于任意的，把极限称为函数在无穷区间上的广义积分，记为，即． 若极限存在，称广义积分收敛；若极限不存在，称广义积分发散．(2)对于任意的，把极限称为函数在无穷区间上的广义积分，记为，即． 若极限存在，称广义积分收敛；若极限不存在，称广义积分发散．(3)在无穷区间上的广义积分，记为，且对于任意的常数C，．当和都收敛时，广义积分收敛．教师讲授18′知识巩固例12计算广义积分．解．计算无穷区间的广义积分时，为书写方便，在形式上可以沿用牛顿莱布尼兹公式的写法．例如，．例13计算广义积分．解．例14判断广义积分的敛散性．解．所以广义积分收敛．例15判断广义积分的敛散性．解． 所以广义积分发散．教师讲授在教师引领下共同完成30′练习3.2.4 计算下列各广义积分，并说明其敛散性．(1)；(2)；(3)；(4)．学生课上完成42′小结新知识：广义积分的概念及计算方法。45′作业完成高等数学习题集“作业”。3.3.1定积分的微元法教学目标：理解定积分的微元法。教学重点：定积分的微元法。 教学难点： 定积分的微元法。授课时数：1课时.教学过程过程备注知识回顾回顾求曲边梯形面积的问题．求如图3-14所示的曲边梯形面积的总的思路是：(1)把区间分成个长度分别为的小区间，相应的曲边梯形被分成个窄曲边梯形，用矩形面积代替第个窄曲边梯形的面积，即，(2)求和，得的近似值，(3)求极限，得的精确值．图图3-14图3-15为应用方便，可以把上述步骤简化．若用表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，用如图3-15所示的矩形面积作为的近似值，即或，称为面积微元．于是曲边梯形面积就是．在教师引领下共同完成15′新知识由上面讨论可知：符合下列条件的所求量可以考虑用定积分来计算：(1)是与一个变量的变化区间有关的量；(2)对于区间具有可加性，即若把区间分成许多部分区间，则相应地分成许多部分量，而等于所有部分量之和．用定积分计算所求量的步骤是：(1)选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间．例如：选取为积分变量，它的变化区间为．(2)任取小区间，求出相应于这个小区间的部分量的近似值，称为的微元．(3)所求量是在区间上的定积分，即．上述方法通常称为定积分的微元法．教师讲授30′已知某物体做变速直线运动，速度是时间的连续函数，现利用定积分计算物体在时间段经过的路程．请指出：（1）积分变量与积分区间；（2）路程S的微元；（3）路程S．在教师提示下完成42′小结新知识：定积分的微元法。45′作业完成高等数学习题集“”。3.3.2定积分在几何上的应用教学目标：（1）学会求由上、下两条曲线和（）及直线，围成图形的面积；（2）学会求由曲线（），直线，及围成图形绕轴旋转所成旋转体的体积。教学重点： 求上述面积、体积的方法。 教学难点： 用定积分表示上述面积、体积。授课时数：2课时.教学过程过程备注新知识图3-161．由上、下两条曲线和（）及直线，围成图形的面积图3-16如图3-16所示：选取为积分变量，在任取一个小区间．面积微元为，于是所求面积为．容易看出，上式中的被积函数可以看做是上边曲线的方程与下面曲线的方程的差．用定积分的几何意义解释，所求面积可以看做分别以曲线和为曲边的两个曲边梯形面积的差．即．（3.6）特殊情形是：当时，．教师讲授10′知识巩固图3-17例1求由曲线，直线，，，所围成图形的面积．图3-17解如图3-17所示，根据上面结论得所求面积为．例2求由两条抛物线和所围成图形的面积．图3-18解如图图3-18解方程组得两曲线的交点为、．所以，所求面积为．教师讲授在教师引领