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文档简介
第三章
DISANZHAMQ
三角函数、解三角形
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数
^^_回顾教材•夯实基础课本温故追根求源
授课提示:对应学生用书第50页
I基础梳理]
1.任意角的概念
(1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角.
①正角:按逆时针方向旋转形成的角:
②负角:按顺时针方向旋转形成的角;
③零角:如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角.
(2)终边相同角:与。终边相同的角可表示为:(£16=。+2也,依N1.
2.弧度与角度的互化
(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角.
(2)角a的弧度数公式:|旬=々
(3)角度与弧度的换算:-
360=区rad,1。=喘rad,lrad=(臂鹏57。181
(4)扇形的弧长及面积公式:
弧长公式:
2
面积公式:S=1/Lr=1ar.
3.任意角的三连函数
(1)定义:设a是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sina=»
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在工
轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,
OM,AT分别叫作角a的正弦线、余弦线和正切线.
4.终边相同的角的三角函数
sin(a+/2兀)=sina,
cos(«+k2it)=cosa,
tan(a+Z?27t)=tana(其中k^Z),
即终边相同的角的同一三角函数的值相等.
■知识拓展提升思维能力
1.一个口诀
三角函数值在各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
2.两个关注点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致,不能混用.
3.三角函数定义的推广
设点P(x,y)是角a终边上任意一点且不与原点重合,r=\OP\f则sina=;,cosa
Xv
=-,tana—,
rx
4.四种角的终边关系
(1)/?,a终边相同=£=a+2E,keZ.
(2)四。终边关于x轴对称<=>。=一a+2E,kGZ.
(3)或,a终边关于y轴对称<=>6=兀-a+2E,kGZ.
(4)或,a终边关于原点对称u>8=7t+a+2E,keZ.
[四基自测]
1.(基础点:弧长公式)单位圆中,200。的圆心角所对的弧长为()
A.10KB.9兀
「邱D—
c109
答案:D
2.(易错点:终边相同的角的概念)下列与詈的终边相同的隹的表达式中正确的
是()
A.2E—45。(左£2)
9
B.k.360。+押6Z)
C.^360°-315°UeZ)
5兀
D.E+](Z£Z)
答案:C
3.(基础点:象限符号)若角。满足tanJ>0,sin<9<0,则角。所在的象限是()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案:C
4.(基础点:三角函数定义)己知角a的终边过点(一4,3),贝ijcosa+sina=
答案T
^■_考点分类-深度剖析名师导悟以例示法
授课提示:对应学生用书第51页
考点一终边相同的角及象限角
挖掘1求写终边相同的角或区域角/自主练透
[例1](1)(2020•福州模拂与一2010。终边相同的最小正角是.
[解析]因为一2010。=(-6)><360。+150。,
所以150。与一2010。终边相同,又终边相同的两个角相差360。的整数倍,所以在
0。〜360。中只有150。与一2010。终边相同,故与一2010。终边相同的最小正角是
150°.
[答案]150°
(2)用角的集合表示下面各区域角(阴影部分).
7T1T
[解析]①射线y=x表示a=w的终边,y轴上半轴表示夕=5的终边,其区域角
7T兀
②x轴正半轴表示。=0的终边,其区域角为
7T
rrjr
I乙
irjr
④{a|-g+而
[破题技法]1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写
出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数%赋值来求得
所需角.
2.表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360。〜360。范围内的角。和人
写出最简区间.
(3)起始、终止边界对应角a,4再加上360。的整数倍,即得区间角集合.
挖掘2已知角a的象限,求分角彳的象限/自主练透
[例2]已知sina>0,cosa<0,贝狈所在的象限是()
A.第一象限B.第三象限
C.第一或第三象限D.第二或第四象限
JT
[解析]因为sina>0,cosa<0,所以a为第二象限角,即5+2EVaV兀+2E,
kGZ,则;+EV&V歼也,&GZ.当人为偶数时,呼为第一象限角;当&为奇
数时,为第三象限角,故选C.
[答案]c
[破题技法]象限角的两种判断方法
⑴图像法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已
知角是第几象限角.
(2)转化法:先将已知角化为k360o+a(0oWaV360。,2£N)的形式,即找出与已
知角终边相同的角a,再由角。终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
n
[拓展]求蓝或〃次〃£N,)所在象限的方法
(1)将。的范围用不等式(含有Q表示.
⑵两边同除以〃或乘以几
(3)对上进行讨论,得到5或〃仇〃£N+)所在的象限.
考点二扇形弧长、面积公式的应用
挖掘求扇形的弧长、面积、圆心角、半径/自主练透
[例](1)(2020•合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷
一《方田》[三三]:“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”译成
现代汉语其意思为:有一块扇形的田,弧长30步,其所在圆的直径是16步,则
这块田的面积为()
A.120平方步B.240平方步
C.360平方步D.480平方步
[解析]由题意可得:S=:X8X30=120(平方步).
[答案]A
⑵(2020•太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的
弧长是()
A.2B.sin2
[解析]如图:ZAOB=2弧度,过O点作OC_LAB于C,并延长OC交弧AB
于D则N4OZ)=NBOO=1弧度,且AC=%8=1,
AC
在R5OC中,人。=""—sinl,
12
r=~~r,从而弧AB的长为/=a・r=-:—7.
sin1sin1
[答案]c
(3)(2020・成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度
数是.
[解析]设圆的半径为R,则圆内接正方形的边长为&R,因此该圆心角的弧度
数是0='=挈=,1
AA
[答案]
(4)若扇形的周长为20,当扇形所在圆的半径为时,
扇形面积最大,最大值为.
[解析]由题意知,/+2r=20,即/=20—2-,
故S=2^r=2(20-2r)-r=—(r—5)2+25,
当r=5时,S的最大值为25.
[答案]525
[破题技法]应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的瓠长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是瓠度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使
问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
考占三三角函数的定义
挖掘1用三角函数的定义求港/互动探究
[例1](1)(2020•大同模拟)己知角a的终边经过点P(—x,—6),且cosa=一总
则x的值为.
—x5
[解析]・.・cosa=^======q—^=一百,
x>0,
・;x225解得x=1.
/+36=769,
[答案]|
3
(2)已知角a的终边在直线y=-3x上,则10sina+帚的值为
[解析]设a终边上任一点为P(A,-3k)f
则r=NR+(-3Q2=①因.
当火>0时,r=y[Wkf
..Tk3
・应2旃=一而‘
_J__血_后
cosa_k
JlOsina+——=-3回+3/=0;
当LVO时,『一回k,
—3k3
sin而'
i
cosa~k
o___
lOsina+------=3^1^—3^15=0.
cosavv
[答案]0
[破题技法]1.利用角a终边上一点的坐标求三角函数值,由于点P象限不定,
故讨论象限位置.
2.已知角a的终边求三角函数值,其关键点为:
(1)已知角。终边上点P的坐标
①求P到原点的距离.
②利用三角函数定义求解.
(2)已知角。终边所在的直线方程
①根据象限位置,设出。的终边上点尸的坐标.
②利用三角函数定义求解.
挖掘2三角函数值符号的判断/自主练透
[例2]⑴(2020.怀化模拟)sin2-cos3-tan4的值()
A.小于0B.大于0
C.等于0D.不存在
[解析]*<2<3<7C<4<5兀
Asin2>0,cos3<0,tan4>0.
/.sin2-cos3-tan4<0.
[答案]A
(2)已知点尸(cosa,tan㈤在第三象限,则角a的终边在()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
cosa<0,[sina>0,
[解析]由题意可得<则1所以角a的终边在第二象限,故选
Liana<0,[cosa<0,
B.
[答案]B
[破题技法]判断三角函数值符号的关键点
(1)确定a的终边所在的象限位置.
(2)根据。终边上尸的坐标符号:正弦值与纵坐标同号,余弦值与横坐标同号;
横纵坐标同号,正切值为正;异号正切值为负.
考点四三角函数线的应用
[例](1)(2020・石家庄模拟)若一苧S<一看从单位圆中的三角函数线观察sina,
cosa,tana的大小是()
A.sina<tana<cosaB.cosa<sina<tana
C.sina<cosa<tanaD.tana<sina<cosa
[解析]如图所示,作出角a的正弦线MR余弦线OM,正切线AT,观察可得,
AT>OM>MP,故有sina<cosa<tana.
[答案]C
(2)(2018・高考北京卷)在平面直角坐标系中翘,CD,EF,徐是圆f+V=l上
的四段弧(如图),点尸在其中一段上,角a以Ox为始边,。。为终边.若tana
<cosa<sina,则尸所在的圆弧是()
A.ABB.CD
C.EFD.GH
[解析]由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧,
在检上,tan«>sina,不满足;
在近)上,tana>sina,不满足;
在ERE,sina>0,cosa<0,tana<0,且cosa>tana,满足;在G”上,tana
>0,sina<0,cosa<0,不满足.
[答案]C________
(3)y=[sinx—乎的定义域为.
[解析]•・飞仙]2坐,作直线y=坐交单位圆于A、B两点,连接。A、OBf则
OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围,故满足条件的角x
的集合为
[答案]卜卜也+全三工W2也+号,AezJ
[破题技法]1.利用三角函数线可求特殊角的三角函数值
如sinO=MP=O,cosO=OM=l,tan()=0.
717T
sing=MP=l,cos/=OM=0.
sinn=MP=0,cosn=0M=~\.
2.判断三角函数值符号
如:若a在第一象限,sina=M尸与y轴方向一致,为正;cosa=OM与x轴方
向一致,为正;
若a在第二象限,sina=MP与y轴方向一致,为正;
cosa=OM与x轴方向相反,为负.
3.研究三角函数定义域
如sina,cosa不论a终边在何处,MP、。用都有意义,故“WR;
7T元
而tana,当[=±5时,作不出正切线,故(左6Z).
K同源异考重在触类旁通
若。£(0,各,tana、sin。及a的大小如何?
答案:lana>a>sina
第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式
^^_回顾教材-夯实基础课本温故追根来源
授课提示:对应学生用书第53页
[基础梳理]
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:sin2x+cos2%=1.
⑵商数关系:兴三她一.
2.三角函数的诱导公式
组数一二三四五六
2E+aTt
角兀+a—a7i—aa
(MN)2~
正弦sina一sins—sinasinacos。cosc
余弦cosa一cosacosc—cos。sina一sina
正切tanatana-tana一tana
一知识拓展提升思维能力
1.“一个口诀”
诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”与“偶”指的是女卷+。
中的整数人是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若火是
奇数,则正、余弦互变;若Z为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是
TTjr
在6+a中,将a看成锐角时后+a所在的象限.
2.两个注意
(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开方结
果进行讨论.
(2)利用诱导公式化简时要对题中整数A是奇数或偶数进行讨论.
3.两个推广
cosatan(^+a)=cosa
sinasina
[四基自测]
1.(基础点:同角关系)已知sina=坐,则tana=()
A.-2B.2
C,2D.—2
答案:D
2.(基础点:诱导公式内吊210。8$120。的值为()
1-近
2A4dB-4
c-3D电
j24
答案:A
3.(基础点:诱导公式)tan225。=.
答案:1
考点分类-深度剖析名师导悟以例示法
授课提示:对应学生用书第54页
考点一同角三角函数关系的应用
挖掘1公式的直接应用/自主练透
[例1](1)(2020・济南质检)若sina=一卷,且。为第四象限角,则tana=()
——o——
v1212
i12
[解析]cosa=q1—sii?1=在
sina5
(=・
■■tanzcosa=—1i2c
[答案]D
(2)已知cosa=Z,MR,a仁百,,则sina=()
A.—yj1B.J]一»
C.±\]T一官D.yj1-\~lc
[解析]由cosa=R,&£R,兀),可知2V0,设角a终边上一点、P(k,y)(y
>0),OP=1,所以[3+丁=1,得y=y]1一9,由三角函数定义可知sina=yj1—R
[答案]B
”变式训练培养应变能力
在本例(1)中,如果只知sina=一卷,则tana=.
答案:*
挖掘2关于sina、cosa的齐次式问题/互动探究
[例2](1)(2020・平顶山联考)已知:巾"+:85"=5,则高底品2a=()
JCOSasina/
3
AB.
55
C.-3D.3
sina+3cosa
[解析]由~z----------:—=5知tana=2
3cosa-sina
3
cos%+sinacosa1+tana-
cos2a+^sin2a=5
sin2a+cos2a1+tan2a
[答案]A
(2)已知tana=-y求2sin2a+sinacosa—3cos%的值.
[解析]Vsin2a+cos2a=1,cosaWO,
.ZsiMa+sinacosa-3cos2aZtaMa+tana-3
sin2a+cos2a-tan2a+1
挖掘3"sina±cosa”“sinacosa”及"1"之间的转化/自主练透
[例3]⑴已知sin夕+cos夕£(0,;),则sin6—cos8的值为()
A当B.—乎
C.gD.
IA
[解析]因为(sinO+cosO)2=sin20+cos2O+2sin0・cos0=1+2sinOcos0=豆,所
7
以2sin夕cos9=g,则(sin夕一cos0)2=sin2^+cos2^-2sin6^-cos6=1_2sinBcos0
_2
=9,
又因为。£(0,:),所以sinJvcos。,即sin夕一cos9<0,
所以sinO—cos0=一勺.
[答案1B
(2)sin210+sin22°+…+sin289°=.
[解析]因为sinio=cos89。,所以sin210+sin2890=cos2890+sin289o=1,同理
sin220+sin288o=l,•••,sin244o4-sin246°=1,而sin245o=z.故原式=44+,=
[答案144T
(3)(2018•高考全国卷H)已知sina+cosp=1,cosa+sin£=0,则sin(a+")=
[解析]:sina+cos夕=1,①
cosa+sin£=0,②
.•・©2+②2得1+2(sinacos£+cosasin尸)+1=1.
sinacos£+cosasinP=g,
/.sin(a+^)=—
[答案]-1
[破题技法]同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧解读适合题型
主要利用公式tanO=鬻化成正弦、余弦,或者
切弦表达式中含有sin仇
互化利用公式舞=lan。化成正切cos。与tan夕
C/
jr
力”的1=sin2^+cos2<9=cos2t?(1+tan20=tan^=(sin表达式中需要利用
变换“1”转化
6^±cos02+2sinJcos0
和积利用(sin出cos6)2=1±2sinOcos。的关系进行变表达式中含有sin
转换形、转化。上cos0或sinOcos9
(1)对于含有根号的,即形如F(其中A是可以转化
为形如片的三角函数式)的式子,常把根号下的式
次¥
子化为完全平方式,根据二次根式的性质化简或求出现根号或高次幕的
升
降
值.结构形式
(2)对于含有高次的三角函数式,一般借助于因式
分解、约分、构造sin2e+cos20=l来降低次数
考点二诱导公式的应用
1)已知cos仁一,=宗贝gSin(a-第=________.
[例](
sin(a--sin停-a)
[解析]
兀—6+0)]=-sin停+a)
=sir
核备。)]=一。竭—)7
=sir
[答案]-f2
、r2sin(元+a)cosCn-a)-cos(n+«)
(2)设式a)=---------------------z^Z""x--------71""x~~(l+2sina^0).
1d-sin2a4-cos(^~+aj-sin^+aj
①化简Ha);
②若a=一2铲37r,求Az)的值.
…(-2sina)•(—cosa)—(-cosa)
[解析]刨。尸-------1+sin^+sina-cos^------------
2sinacosa+cosacosa(2sina+l)
2sin2ot+sinasina(2sin«+1)
cosa1
sinatana
②当a=一留时,式a)=A—半)=——I
tan
111n
tanl-4元+5^
[破题技法]1.诱导公式的作用是异角化同角:
2.应用诱导公式时,注意:
(1)明确函数名是变,还是不变;
(2)明确函数值符号是正还是负;
(3)明确是否直接用公式;
(4)明确各公式的应用顺序.
3.含2兀整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2兀的整数倍的三角函数式中可直接将
2兀的整数倍去掉后再进行运算.
L变式训练培养应变能力
若本例⑴中条件不变,求si岛+a)的值.
考点三同角关系的诱导公式的综合应用
挖掘1以化为“同名”函数为主线/自主练透
[例1]⑴己知tana=2,则(;05(兀+好85仔+0()的值为.
[解析]依题意得cos(K+a)cosg+a}=cosasin喙:篙器=i£fc=|・
[答案]f2
(2)已知QW(0,冷,tana=2,求
sina-
——=2
[解析]由题意得cosa
.sin2a+cosza=1
a£(0,
・
・・sm•a_诟2,cos。__乐L.
Hit...n
=cosacos^+sm«sin^
=%旨如普
挖掘2以化为“同角”函数为主线/互动探究
[例2](1)已知sinfaIT)+COS"=一坐,则cos[-a
)
A-空B空
A.3氏3
1
C.D.
3
[解析1由sin(a+^)+cosa=一坐,展开化简可得sin(a+?=
—I,所以8$e一。)=
n
cos2~a+等=sin(a+]J=—1.故选C.
[答案]c
(2)已知〃是第四象限角,且sin
[解析]因为。是第四象限南,
且碰+:)=|,
7T
所以0+e为第一象限角,
所以cos(0+;)=之,
_J°V+4j_4
sin(0+£)'
4
[答案]-3
(3)在平面直角坐标系x。),中,角。与角夕均以Ox为始边,它们的终边关于y轴
对称,若sina=1,则sin.
[解析]a与4的终边关于),轴对称,则a+夕=兀+2也,k^Z.
.•・夕=加一a+2E,kwZ.
••sinp=sin(n—a+2kit)=sin
[答案]|
挖掘3以“变式”为主线/互动探究
[例3]⑴已知函数兀c)=asin(心+。)+庆0式心+协且式4)=3,则共2019)的值
为()
A.-1B.1
C.3D.-3
[解析]因为<4)=3,所以“sina+bcos6=3,
故人2019)=tzsin(2019n+a)-|-Z?cos(2019兀+夕)
=—«sina—bcos夕=一(asina+/?cos6)=3.
[答案]D
,JI
(2)(2020・福州调研)已知a为锐角,且2tan(兀-a)—3cos(5+£)+5=0,tan(7i+a)
+6sin(7i+£)—1=0,则sina=.
[解析]由已知得一2tana+3sin4+5=0①
tana—6sin/一1=0②
tan«=3,
即^^=3,又sii?a+cos2a=1,
“看..35
a为锐用,..sina=Jg.
[答案]嚼
[破题技法]1.先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角。的三角函数,然后
再根据同角三角函数的基本关系求解,用诱导公式时务必先使其符合公式形式:
变其角,合其形,求其值.
2.诱导公式与同角关1式结合起来,进行“三变”,变角、变名、变式
变名:主要是沟通已知与所求函数名之间的联系,进行转化,正弦一余弦,切一
弦.
变角:主要沟通已知角与所求角间的联系:用已知角表示所求角.
第三节三角函数的图像与性质
^^_回顾教材-夯实基础课本温故追根求源
授课提示:对应学生用书第56页
[基础梳理]
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数尸sinx,x£[0,20的图像上,五个关键点是:(0,0),仔1),(兀,
0),僧』(2元,0).
余弦函数旷=85%,2兀]的图像上,五个关键点是:(0,1),住0),(兀,-1),
(竽,0),(271,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中女WZ)
函数y=sinxy=cosxy=tanx
yy
图像)△2》
\\,7a(可克
{小£R,
定义域RRJr
且xWE十m
值域[T,1][-b1]R
周期性2K2兀7t
奇偶性奇函数偶函数奇函数
(&兀一
2E-2kn+5为增;[2hr,2E+句为
单调性减;[2E—兀,2kx]
E+宫为增
2E+52kit+苧为减为增
(E+去0)僵,0)
对称中心(E,0)
对称轴x=kit
3.周期函数
(1)周期函数:对于函数«r),如果存在一个非零常数7,使得当不取定义域内的
每一个值时,都有yu+7)=/ix),那么函数贝1)就叫作周期函数,非零常数了叫
作这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数/U)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这
个最小正数就叫作用0的最小正周期.
18知识拓展提升思维能力
1.一个易混点
jr7T
正切函数y=tan戈的单调性只能说:在(E一弓,E+5)上女为增函数,不能说
为:在定义域上为增函数.
2.一个易错点
求函数),=Asin(cor+9)的单调区间时,应注意口的符号,只有当8>0时,才能
把GX十夕看作一个整体,代入y=sin,的相应单调区间求解,否则将出现错误.
3.三角函数的对称与周期的关系
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,
相邻的对称中心与对称轴之间的距离是:周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
4.关于周期的两个结论
函数y=|sinx|,y=|cosx\ty=|tanx|的周期为兀,函数),=sinx],不是周期函数,
y=tan仅|不是周期函数.
[四基自测]
1.(基础点:正弦函数的单调性)函数y=gsinx,兀,兀]的单调性是()
A.在[―兀,0]上是增函数,在[0,%]上是减函数
B.在[一多句上是增函数,在卜加一句和惨可上都是减函数
C.在[0,兀]上是增函数,在[一兀,0]上是减函数
D.在主兀和一兀,节上是增函数,在一会3上是减函数
答案:B
2.(基础点:正切函数的定义域)函数y=lan2x的定义域是()
[71]
A.j.vxNE+w,k^Z:
B.LV与+/,
I2oJ
C.,jxksZ;
D.{x丘苧+£,Awn}
答案:D
3.(易错点:三角函数的值域)/(x)=cos2x一女osx的最大值为.
答案:4
4.(基础点:三角函数大小比较)cos23°,sin68°,cos97。从小到大的顺序是
答案:cos970<cos230<sin68°
考点分类-深度剖析名师导悟以例示法
授课提示:对应学生用书第57页
考点一有关三角函数的定义域、值域、最值问题
挖掘1有关三角函数的定义域(自主练透
[例1]⑴函数y=lgsinx+yjcos――亨的定义域为.
卜inx>0,
[解析]要使函数有意义,则有《1、八
Icosx2*****。,
sinx>0,
即<
cos.制,
2kn<x<n-^-2knf
解得7i,...i兀[c,("£N),
所以2女兀<工或全+2而,kGZ.
所以函数的定义域为卜2EV启亨+2履,k^Z.
[答案]卜2EVxW+2E,k^z\
⑵函数於)=----上”的定义域为.
tan(x+z)
[解析]要使兀0有意义,则有
•\E-]兀VxVE一亲或左兀一袭VE+?
[答案]{出兀一驴VjcVE一5或E一5VxVE+三,&£N}
[破题技法]求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式,常借助于三
角函数线或三角函数图像来求解.
挖掘2利用单调性求最值/互动探究
[例2]⑴函数Ax)=3sin(2_L5)在区间0,方上的值域为(
)
|,3
B.-
_35
D.2,J
[o,时,
[*,劄sin(2x一"1
e
2r-汪oT1,
故3sin(2x一季卜卜方,3,即此时函数段)的值域是一方,3
[答案]B
⑵已知函数fix)=sin2x+^/§sinxcosx.
若加)在区间[一»〃]上的最大值为去求机的最小值.
[解析]兀0=sin2/+小sinxcos工
I।/3
=2-2C0S标+手sin2x
=sin(2x*)+;,由题意知一
所以一次<一工乏加一工
02%020
要使得7U)在区间一小m上的最大值为方
即sin(2r-1]在区间—^,m上的最大值为1.
IF71TL
所以2/H—U4即相。
7T
即机的最小值为太
挖掘3换元法求三角函数的最值(值域)/互动探究
[例3](2017・高考全国卷II)函数y(x)=sin2x+小cosx一芥£0,牛的最大值是
[解析1段)=1-COS2JV+小cosx4=_cos2x+V3cosx+^=-l^cos2~l+
1,网为工£0,微,所以cosx£「0,1],所以当cosx=半上,函数取得最大值
1.
[答案]1
[破题技法]1.形如y=4sin(cwx+3^y=Acos(5+e),(A>0)(x£R)其最值都是
当sin(cox+o)=±l或COS(Q)X+S)=±1时取得的士4.
2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型:
⑴形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=4sin(a)x+w)+c的形式,再求值
域(最值);
(2)形如y=asin2x+/?sinx+c的三角函数,可先设sinx=r,化为关于f的二次函
数求值域(最值);
⑶形如y=asinxcosx+仇sinx±cosx)+c的三角函数,可先设f=sinx土cosx,化
为关于t的二次函数求值域(最值).
对于(2)(3)类型,主要采用换元法.
令r=sinx或f=cosx,进而将三角函数转化为关于t的函数.形如y=asii?x+
加inx+c,可设/=sinx,将其转化为二次函数丁=〃"+初十武/仁[-1,1]);形如
y=〃sinxcosx+伙sinx±cos%)+c,可设r=sinx+cosx,贝]?=l±2sinxcosx,即
sinxcosx=±2(l2—1),将其转化为二次函数)=±%(»—1)+4+c(f£[一啦,
啦]).换元时一定要注意新元的取值范围.
考点二三角函数的单调性
挖掘1求三角函数的单调区间/互动探究
[例1]已知函数段)=45cos2L2sin2(x—G),其中OVQV看且心)=一市一
1.
(1)求a的值;
⑵求/U)的最小正周期和单调递减区间.
[解析]⑴由已知得度)=—仍一2sin2(]—a)=一小一2COS2Q=一小一1,
整理得cos2a=2.
因为OVQV会所以cosa=4,a=^.
(2)由⑴知,J(x)=yj3cos2x—2sin2(x-?)=V3coslx—1+cos(2x—5)=V3cos2x+
T4
Tt
sinlx-1=2sin(2x+g)-1.
易知函数J(x)的最小正周期T=7t.
jr
令,=2x+],则函数«r)可转化为y=2sint—\.
显然函数y=2sint—1与y=sint的单调性相同,
jr37r
当函数y=sint单调递减时,■(女£N),
即2&九+2<2¥+§《2也+爹(左wZ),
7T71E
解得E+五WxWE十五(攵£Z).
所以函数於)的单调递减区间为[E+专,E+赖&£Z).
[破题技法]求三角函数单调区间的方法
就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角〃(或。,
代换法
利用基本三角函数的单调性列不等式求解
图像法画出三角函数的图像,结合图像求它的单调区间
&变式训练培养应变能力
本例题中若求函数段)在[号,争上的单调递减区间呢?
解析:由本题可得,函数寅x)=2sin(2r+^)—1的单调递减区间为伙H+吉E+
J14
奇(左£N).当k=—\时,函数外)的单调递减区间为[一皆,—ff],与给定区
间的交集为[一会—软;当&=0时,函数加)的单调递减区间为哈,居],与给
定区间的交集为信,合.所以函数於)在[一'上的单调递减区间为一居]
和[芨,升
挖掘2利用单调性比较大小/自主练透
[例2]己知函数/(x)=2sin(x+令,设「=若),十=龙),c=启),则■。的
大小关系是()
A.a<c<bB.c<a<b
C.bVa〈cD.b〈c<a
[解析]a=畤)=2sin聚,
,〜兀、_.71
8=«d)=2sin],
因为y=sinx在[0,多上单调通、,所以cVqVb.
[答案]B
[破题技法]利用三角函数的单调性比较两个三角函数值的大小,关键是将这两
个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值.对于正弦函
数来说,一般将两个角转化至十一去引或其用内;对于余弦函数来说,一般将
两个角转化到[一兀,0]或[0,幻内.
〜变式训练培养应变能力
将本例题中函数改为yU)=2cosCr+》,则a,b,c的大小如何?
]3
解析:〃=7弓)=285行兀,
,c兀-兀
b=y(d)=2cos?
nTI
c=_A])=2cosi=0,
挖掘3利用单调性求参数/互动探究
[例3](1)(2018・高考全国卷II)若/(x)=cosx-sinx在[―a,a]是减函数,则。
的最大值是()
.冗B,^
A-4
-3兀_
C.彳D.兀
[解析]/(x)=cosx-sinx
=V^fsinx-^2
,「兀31c兀「兀兀1,
当问一不利即”一片[一子5」时,
y=sin(x—单调递增,y=一啦sin卜一争单调递减.
:函数/(x)在[―a,a]是减函数,
[~afa]Q
・・・ov〃W,•"的最大值为;.
故选A.
[答案]A
(2)已知口>0,函数贝X)=COS(Q»+;)在修兀)上单调递增,则co的取值范围是
)
一151-
--rl7
•--
A.242
C・
一
一B.471
一39--
-D.3-
-•-
甲424
一
一
[解析]函数y=cosx的单调递增区间为[—兀+2E,2kn],则
等+£2一兀+2々兀,kGZ,
<
①兀+;W2E,keZ,
解得以一|<①又由我一|一3一加0,%£Z且2—(>0"£N,
r37-
d--
l24
-
得D
SI
7r7r7T
⑶若函数外)=sins■(①>0)在[0,上单调递增,在区间中51上单调递减,则
3=.
[解析]法一:由于函数*x)=sincor(切>0)的图像经过坐标原点,由已知并结合
正弦函数的图像可知,三为函数应¥)的周期,故号=与,解得/=,.
JT7T
法二:由题意,得7(X)max=AQ)=SinQ①=1.
由已知并结合正弦函数图像可知,*y=^+2E(&£Z),解得刃=|+6&(&£Z),
3
所以当2=0时,①=,
3
[答案]5
[破题技法已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法
求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不
子集法
等式(组)求解
由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某
反子集法
个单调区间的子集,列不等式(组)求解
周期法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离列不等式(组)求解
考点三三角函数的奇偶性、对称性、周期性
挖掘1三角函数的周期性、奇偶性/互动探究
[例1](1)(2018・高考全国卷III)函数於)=般容的最小正周期为()
11ianx
c兀
B,2
C.itD.2兀
sinxsm%
由已知得/)=常常=COSXCOSX
[解析]-=—2~0=sinx-cosx
2cosXi"sin*x
1+
露)COS2X
sin2xf所以/(x)的最小正周期为7=号=兀
故选C.
[答案]
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