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文档简介

第三章

DISANZHAMQ

三角函数、解三角形

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

^^_回顾教材•夯实基础课本温故追根求源

授课提示:对应学生用书第50页

I基础梳理]

1.任意角的概念

(1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角.

①正角:按逆时针方向旋转形成的角:

②负角:按顺时针方向旋转形成的角;

③零角:如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角.

(2)终边相同角:与。终边相同的角可表示为:(£16=。+2也,依N1.

2.弧度与角度的互化

(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角.

(2)角a的弧度数公式:|旬=々

(3)角度与弧度的换算:-

360=区rad,1。=喘rad,lrad=(臂鹏57。181

(4)扇形的弧长及面积公式:

弧长公式:

2

面积公式:S=1/Lr=1ar.

3.任意角的三连函数

(1)定义:设a是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sina=»

(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在工

轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,

OM,AT分别叫作角a的正弦线、余弦线和正切线.

4.终边相同的角的三角函数

sin(a+/2兀)=sina,

cos(«+k2it)=cosa,

tan(a+Z?27t)=tana(其中k^Z),

即终边相同的角的同一三角函数的值相等.

■知识拓展提升思维能力

1.一个口诀

三角函数值在各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.

2.两个关注点

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.

(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致,不能混用.

3.三角函数定义的推广

设点P(x,y)是角a终边上任意一点且不与原点重合,r=\OP\f则sina=;,cosa

Xv

=-,tana—,

rx

4.四种角的终边关系

(1)/?,a终边相同=£=a+2E,keZ.

(2)四。终边关于x轴对称<=>。=一a+2E,kGZ.

(3)或,a终边关于y轴对称<=>6=兀-a+2E,kGZ.

(4)或,a终边关于原点对称u>8=7t+a+2E,keZ.

[四基自测]

1.(基础点:弧长公式)单位圆中,200。的圆心角所对的弧长为()

A.10KB.9兀

「邱D—

c109

答案:D

2.(易错点:终边相同的角的概念)下列与詈的终边相同的隹的表达式中正确的

是()

A.2E—45。(左£2)

9

B.k.360。+押6Z)

C.^360°-315°UeZ)

5兀

D.E+](Z£Z)

答案:C

3.(基础点:象限符号)若角。满足tanJ>0,sin<9<0,则角。所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案:C

4.(基础点:三角函数定义)己知角a的终边过点(一4,3),贝ijcosa+sina=

答案T

^■_考点分类-深度剖析名师导悟以例示法

授课提示:对应学生用书第51页

考点一终边相同的角及象限角

挖掘1求写终边相同的角或区域角/自主练透

[例1](1)(2020•福州模拂与一2010。终边相同的最小正角是.

[解析]因为一2010。=(-6)><360。+150。,

所以150。与一2010。终边相同,又终边相同的两个角相差360。的整数倍,所以在

0。〜360。中只有150。与一2010。终边相同,故与一2010。终边相同的最小正角是

150°.

[答案]150°

(2)用角的集合表示下面各区域角(阴影部分).

7T1T

[解析]①射线y=x表示a=w的终边,y轴上半轴表示夕=5的终边,其区域角

7T兀

②x轴正半轴表示。=0的终边,其区域角为

7T

rrjr

I乙

irjr

④{a|-g+而

[破题技法]1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写

出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数%赋值来求得

所需角.

2.表示区间角的三个步骤

(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.

(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360。〜360。范围内的角。和人

写出最简区间.

(3)起始、终止边界对应角a,4再加上360。的整数倍,即得区间角集合.

挖掘2已知角a的象限,求分角彳的象限/自主练透

[例2]已知sina>0,cosa<0,贝狈所在的象限是()

A.第一象限B.第三象限

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

JT

[解析]因为sina>0,cosa<0,所以a为第二象限角,即5+2EVaV兀+2E,

kGZ,则;+EV&V歼也,&GZ.当人为偶数时,呼为第一象限角;当&为奇

数时,为第三象限角,故选C.

[答案]c

[破题技法]象限角的两种判断方法

⑴图像法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已

知角是第几象限角.

(2)转化法:先将已知角化为k360o+a(0oWaV360。,2£N)的形式,即找出与已

知角终边相同的角a,再由角。终边所在的象限判断已知角是第几象限角.

n

[拓展]求蓝或〃次〃£N,)所在象限的方法

(1)将。的范围用不等式(含有Q表示.

⑵两边同除以〃或乘以几

(3)对上进行讨论,得到5或〃仇〃£N+)所在的象限.

考点二扇形弧长、面积公式的应用

挖掘求扇形的弧长、面积、圆心角、半径/自主练透

[例](1)(2020•合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷

一《方田》[三三]:“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”译成

现代汉语其意思为:有一块扇形的田,弧长30步,其所在圆的直径是16步,则

这块田的面积为()

A.120平方步B.240平方步

C.360平方步D.480平方步

[解析]由题意可得:S=:X8X30=120(平方步).

[答案]A

⑵(2020•太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的

弧长是()

A.2B.sin2

[解析]如图:ZAOB=2弧度,过O点作OC_LAB于C,并延长OC交弧AB

于D则N4OZ)=NBOO=1弧度,且AC=%8=1,

AC

在R5OC中,人。=""—sinl,

12

r=­~~r,从而弧AB的长为/=a・r=-:—7.

sin1sin1

[答案]c

(3)(2020・成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度

数是.

[解析]设圆的半径为R,则圆内接正方形的边长为&R,因此该圆心角的弧度

数是0='=挈=,1

AA

[答案]

(4)若扇形的周长为20,当扇形所在圆的半径为时,

扇形面积最大,最大值为.

[解析]由题意知,/+2r=20,即/=20—2-,

故S=2^r=2(20-2r)-r=—(r—5)2+25,

当r=5时,S的最大值为25.

[答案]525

[破题技法]应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的瓠长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是瓠度.

(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使

问题得到解决.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.

考占三三角函数的定义

挖掘1用三角函数的定义求港/互动探究

[例1](1)(2020•大同模拟)己知角a的终边经过点P(—x,—6),且cosa=一总

则x的值为.

—x5

[解析]・.・cosa=^======q—^=一百,

x>0,

・;x225解得x=1.

/+36=769,

[答案]|

3

(2)已知角a的终边在直线y=-3x上,则10sina+帚的值为

[解析]设a终边上任一点为P(A,-3k)f

则r=NR+(-3Q2=①因.

当火>0时,r=y[Wkf

..Tk3

・应2旃=一而‘

_J__血_后

cosa_k

JlOsina+——=-3回+3/=0;

当LVO时,『一回k,

—3k3

sin而'

i

cosa~k

o___

lOsina+------=3^1^—3^15=0.

cosavv

[答案]0

[破题技法]1.利用角a终边上一点的坐标求三角函数值,由于点P象限不定,

故讨论象限位置.

2.已知角a的终边求三角函数值,其关键点为:

(1)已知角。终边上点P的坐标

①求P到原点的距离.

②利用三角函数定义求解.

(2)已知角。终边所在的直线方程

①根据象限位置,设出。的终边上点尸的坐标.

②利用三角函数定义求解.

挖掘2三角函数值符号的判断/自主练透

[例2]⑴(2020.怀化模拟)sin2-cos3-tan4的值()

A.小于0B.大于0

C.等于0D.不存在

[解析]*<2<3<7C<4<5兀

Asin2>0,cos3<0,tan4>0.

/.sin2-cos3-tan4<0.

[答案]A

(2)已知点尸(cosa,tan㈤在第三象限,则角a的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

cosa<0,[sina>0,

[解析]由题意可得<则1所以角a的终边在第二象限,故选

Liana<0,[cosa<0,

B.

[答案]B

[破题技法]判断三角函数值符号的关键点

(1)确定a的终边所在的象限位置.

(2)根据。终边上尸的坐标符号:正弦值与纵坐标同号,余弦值与横坐标同号;

横纵坐标同号,正切值为正;异号正切值为负.

考点四三角函数线的应用

[例](1)(2020・石家庄模拟)若一苧S<一看从单位圆中的三角函数线观察sina,

cosa,tana的大小是()

A.sina<tana<cosaB.cosa<sina<tana

C.sina<cosa<tanaD.tana<sina<cosa

[解析]如图所示,作出角a的正弦线MR余弦线OM,正切线AT,观察可得,

AT>OM>MP,故有sina<cosa<tana.

[答案]C

(2)(2018・高考北京卷)在平面直角坐标系中翘,CD,EF,徐是圆f+V=l上

的四段弧(如图),点尸在其中一段上,角a以Ox为始边,。。为终边.若tana

<cosa<sina,则尸所在的圆弧是()

A.ABB.CD

C.EFD.GH

[解析]由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧,

在检上,tan«>sina,不满足;

在近)上,tana>sina,不满足;

在ERE,sina>0,cosa<0,tana<0,且cosa>tana,满足;在G”上,tana

>0,sina<0,cosa<0,不满足.

[答案]C________

(3)y=[sinx—乎的定义域为.

[解析]•・飞仙]2坐,作直线y=坐交单位圆于A、B两点,连接。A、OBf则

OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围,故满足条件的角x

的集合为

[答案]卜卜也+全三工W2也+号,AezJ

[破题技法]1.利用三角函数线可求特殊角的三角函数值

如sinO=MP=O,cosO=OM=l,tan()=0.

717T

sing=MP=l,cos/=OM=0.

sinn=MP=0,cosn=0M=~\.

2.判断三角函数值符号

如:若a在第一象限,sina=M尸与y轴方向一致,为正;cosa=OM与x轴方

向一致,为正;

若a在第二象限,sina=MP与y轴方向一致,为正;

cosa=OM与x轴方向相反,为负.

3.研究三角函数定义域

如sina,cosa不论a终边在何处,MP、。用都有意义,故“WR;

7T元

而tana,当[=±5时,作不出正切线,故(左6Z).

K同源异考重在触类旁通

若。£(0,各,tana、sin。及a的大小如何?

答案:lana>a>sina

第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式

^^_回顾教材-夯实基础课本温故追根来源

授课提示:对应学生用书第53页

[基础梳理]

1.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系:sin2x+cos2%=1.

⑵商数关系:兴三她一.

2.三角函数的诱导公式

组数一二三四五六

2E+aTt

角兀+a—a7i—aa

(MN)2~

正弦sina一sins—sinasinacos。cosc

余弦cosa一cosacosc—cos。sina一sina

正切tanatana-tana一tana

一知识拓展提升思维能力

1.“一个口诀”

诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”与“偶”指的是女卷+。

中的整数人是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若火是

奇数,则正、余弦互变;若Z为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是

TTjr

在6+a中,将a看成锐角时后+a所在的象限.

2.两个注意

(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开方结

果进行讨论.

(2)利用诱导公式化简时要对题中整数A是奇数或偶数进行讨论.

3.两个推广

cosatan(^+a)=cosa

sinasina

[四基自测]

1.(基础点:同角关系)已知sina=坐,则tana=()

A.-2B.2

C,2D.—2

答案:D

2.(基础点:诱导公式内吊210。8$120。的值为()

1-近

2A4dB-4

c-3D电

j24

答案:A

3.(基础点:诱导公式)tan225。=.

答案:1

考点分类-深度剖析名师导悟以例示法

授课提示:对应学生用书第54页

考点一同角三角函数关系的应用

挖掘1公式的直接应用/自主练透

[例1](1)(2020・济南质检)若sina=一卷,且。为第四象限角,则tana=()

——o——

v1212

i12

[解析]cosa=q1—sii?1=在

sina5

(=・

■■tanzcosa=—1i2c

[答案]D

(2)已知cosa=Z,MR,a仁百,,则sina=()

A.—yj1B.J]一»

C.±\]T一官D.yj1-\~lc

[解析]由cosa=R,&£R,兀),可知2V0,设角a终边上一点、P(k,y)(y

>0),OP=1,所以[3+丁=1,得y=y]1一9,由三角函数定义可知sina=yj1—R

[答案]B

”变式训练培养应变能力

在本例(1)中,如果只知sina=一卷,则tana=.

答案:*

挖掘2关于sina、cosa的齐次式问题/互动探究

[例2](1)(2020・平顶山联考)已知:巾"+:85"=5,则高底品2a=()

JCOSasina/

3

AB.

55

C.-3D.3

sina+3cosa

[解析]由~z----------:—=5知tana=2

3cosa-sina

3

cos%+sinacosa1+tana-

cos2a+^sin2a=5

sin2a+cos2a1+tan2a

[答案]A

(2)已知tana=-y求2sin2a+sinacosa—3cos%的值.

[解析]Vsin2a+cos2a=1,cosaWO,

.ZsiMa+sinacosa-3cos2aZtaMa+tana-3

sin2a+cos2a-tan2a+1

挖掘3"sina±cosa”“sinacosa”及"1"之间的转化/自主练透

[例3]⑴已知sin夕+cos夕£(0,;),则sin6—cos8的值为()

A当B.—乎

C.gD.

IA

[解析]因为(sinO+cosO)2=sin20+cos2O+2sin0・cos0=1+2sinOcos0=豆,所

7

以2sin夕cos9=g,则(sin夕一cos0)2=sin2^+cos2^-2sin6^-cos6=1_2sinBcos0

_2

=9,

又因为。£(0,:),所以sinJvcos。,即sin夕一cos9<0,

所以sinO—cos0=一勺.

[答案1B

(2)sin210+sin22°+…+sin289°=.

[解析]因为sinio=cos89。,所以sin210+sin2890=cos2890+sin289o=1,同理

sin220+sin288o=l,•••,sin244o4-sin246°=1,而sin245o=z.故原式=44+,=

[答案144T

(3)(2018•高考全国卷H)已知sina+cosp=1,cosa+sin£=0,则sin(a+")=

[解析]:sina+cos夕=1,①

cosa+sin£=0,②

.•・©2+②2得1+2(sinacos£+cosasin尸)+1=1.

sinacos£+cosasinP=­g,

/.sin(a+^)=—

[答案]-1

[破题技法]同角三角函数基本关系式的应用技巧

技巧解读适合题型

主要利用公式tanO=鬻化成正弦、余弦,或者

切弦表达式中含有sin仇

互化利用公式舞=lan。化成正切cos。与tan夕

C/

jr

力”的1=sin2^+cos2<9=cos2t?(1+tan20=tan^=(sin表达式中需要利用

变换“1”转化

6^±cos02+2sinJcos0

和积利用(sin出cos6)2=1±2sinOcos。的关系进行变表达式中含有sin

转换形、转化。上cos0或sinOcos9

(1)对于含有根号的,即形如F(其中A是可以转化

为形如片的三角函数式)的式子,常把根号下的式

次¥

子化为完全平方式,根据二次根式的性质化简或求出现根号或高次幕的

值.结构形式

(2)对于含有高次的三角函数式,一般借助于因式

分解、约分、构造sin2e+cos20=l来降低次数

考点二诱导公式的应用

1)已知cos仁一,=宗贝gSin(a-第=________.

[例](

sin(a--sin停-a)

[解析]

兀—6+0)]=-sin停+a)

=­sir

核备。)]=一。竭—)7

=­sir

[答案]-f2

、r2sin(元+a)cosCn-a)-cos(n+«)

(2)设式a)=---------------------z^Z""x--------71""x~~(l+2sina^0).

1d-sin2a4-cos(^~+aj-sin^+aj

①化简Ha);

②若a=一2铲37r,求Az)的值.

…(-2sina)•(—cosa)—(-cosa)

[解析]刨。尸-------1+sin^+sina-cos^------------

2sinacosa+cosacosa(2sina+l)

2sin2ot+sinasina(2sin«+1)

cosa1

sinatana

②当a=一留时,式a)=A—半)=——I

tan

111n

tanl-4元+5^

[破题技法]1.诱导公式的作用是异角化同角:

2.应用诱导公式时,注意:

(1)明确函数名是变,还是不变;

(2)明确函数值符号是正还是负;

(3)明确是否直接用公式;

(4)明确各公式的应用顺序.

3.含2兀整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知,在计算含有2兀的整数倍的三角函数式中可直接将

2兀的整数倍去掉后再进行运算.

L变式训练培养应变能力

若本例⑴中条件不变,求si岛+a)的值.

考点三同角关系的诱导公式的综合应用

挖掘1以化为“同名”函数为主线/自主练透

[例1]⑴己知tana=2,则(;05(兀+好85仔+0()的值为.

[解析]依题意得cos(K+a)cosg+a}=cosasin喙:篙器=i£fc=|・

[答案]f2

(2)已知QW(0,冷,tana=2,求

sina-

——=2

[解析]由题意得cosa

.sin2a+cosza=1

a£(0,

・・sm•a_诟2,cos。__乐L.

Hit...n

=cosacos^+sm«sin^

=%旨如普

挖掘2以化为“同角”函数为主线/互动探究

[例2](1)已知sinfaIT)+COS"=一坐,则cos[-a

)

A-空B空

A.3氏3

1

C.D.

3

[解析1由sin(a+^)+cosa=一坐,展开化简可得sin(a+?=

—I,所以8$e一。)=

n

cos2~a+等=sin(a+]J=—1.故选C.

[答案]c

(2)已知〃是第四象限角,且sin

[解析]因为。是第四象限南,

且碰+:)=|,

7T

所以0+e为第一象限角,

所以cos(0+;)=之,

_J°V+4j_4

sin(0+£)'

4

[答案]-3

(3)在平面直角坐标系x。),中,角。与角夕均以Ox为始边,它们的终边关于y轴

对称,若sina=1,则sin.

[解析]a与4的终边关于),轴对称,则a+夕=兀+2也,k^Z.

.•・夕=加一a+2E,kwZ.

••sinp=sin(n—a+2kit)=sin

[答案]|

挖掘3以“变式”为主线/互动探究

[例3]⑴已知函数兀c)=asin(心+。)+庆0式心+协且式4)=3,则共2019)的值

为()

A.-1B.1

C.3D.-3

[解析]因为<4)=3,所以“sina+bcos6=3,

故人2019)=tzsin(2019n+a)-|-Z?cos(2019兀+夕)

=—«sina—bcos夕=一(asina+/?cos6)=­3.

[答案]D

,JI

(2)(2020・福州调研)已知a为锐角,且2tan(兀-a)—3cos(5+£)+5=0,tan(7i+a)

+6sin(7i+£)—1=0,则sina=.

[解析]由已知得一2tana+3sin4+5=0①

tana—6sin/一1=0②

tan«=3,

即^^=3,又sii?a+cos2a=1,

“看..35

a为锐用,..sina=Jg.

[答案]嚼

[破题技法]1.先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角。的三角函数,然后

再根据同角三角函数的基本关系求解,用诱导公式时务必先使其符合公式形式:

变其角,合其形,求其值.

2.诱导公式与同角关1式结合起来,进行“三变”,变角、变名、变式

变名:主要是沟通已知与所求函数名之间的联系,进行转化,正弦一余弦,切一

弦.

变角:主要沟通已知角与所求角间的联系:用已知角表示所求角.

第三节三角函数的图像与性质

^^_回顾教材-夯实基础课本温故追根求源

授课提示:对应学生用书第56页

[基础梳理]

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数尸sinx,x£[0,20的图像上,五个关键点是:(0,0),仔1),(兀,

0),僧』(2元,0).

余弦函数旷=85%,2兀]的图像上,五个关键点是:(0,1),住0),(兀,-1),

(竽,0),(271,1).

2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中女WZ)

函数y=sinxy=cosxy=tanx

yy

图像)△2》

\\,7a(可克

{小£R,

定义域RRJr

且xWE十m

值域[T,1][-b1]R

周期性2K2兀7t

奇偶性奇函数偶函数奇函数

(&兀一

2E-2kn+5为增;[2hr,2E+句为

单调性减;[2E—兀,2kx]

E+宫为增

2E+52kit+苧为减为增

(E+去0)僵,0)

对称中心(E,0)

对称轴x=kit

3.周期函数

(1)周期函数:对于函数«r),如果存在一个非零常数7,使得当不取定义域内的

每一个值时,都有yu+7)=/ix),那么函数贝1)就叫作周期函数,非零常数了叫

作这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数/U)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这

个最小正数就叫作用0的最小正周期.

18知识拓展提升思维能力

1.一个易混点

jr7T

正切函数y=tan戈的单调性只能说:在(E一弓,E+5)上女为增函数,不能说

为:在定义域上为增函数.

2.一个易错点

求函数),=Asin(cor+9)的单调区间时,应注意口的符号,只有当8>0时,才能

把GX十夕看作一个整体,代入y=sin,的相应单调区间求解,否则将出现错误.

3.三角函数的对称与周期的关系

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,

相邻的对称中心与对称轴之间的距离是:周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.

4.关于周期的两个结论

函数y=|sinx|,y=|cosx\ty=|tanx|的周期为兀,函数),=sinx],不是周期函数,

y=tan仅|不是周期函数.

[四基自测]

1.(基础点:正弦函数的单调性)函数y=gsinx,兀,兀]的单调性是()

A.在[―兀,0]上是增函数,在[0,%]上是减函数

B.在[一多句上是增函数,在卜加一句和惨可上都是减函数

C.在[0,兀]上是增函数,在[一兀,0]上是减函数

D.在主兀和一兀,节上是增函数,在一会3上是减函数

答案:B

2.(基础点:正切函数的定义域)函数y=lan2x的定义域是()

[71]

A.j.vxNE+w,k^Z:

B.LV与+/,

I2oJ

C.,jxksZ;

D.{x丘苧+£,Awn}

答案:D

3.(易错点:三角函数的值域)/(x)=cos2x一女osx的最大值为.

答案:4

4.(基础点:三角函数大小比较)cos23°,sin68°,cos97。从小到大的顺序是

答案:cos970<cos230<sin68°

考点分类-深度剖析名师导悟以例示法

授课提示:对应学生用书第57页

考点一有关三角函数的定义域、值域、最值问题

挖掘1有关三角函数的定义域(自主练透

[例1]⑴函数y=lgsinx+yjcos――亨的定义域为.

卜inx>0,

[解析]要使函数有意义,则有《1、八

Icosx2*****。,

sinx>0,

即<

cos.制,

2kn<x<n-^-2knf

解得7i,...i兀[c,("£N),

所以2女兀<工或全+2而,kGZ.

所以函数的定义域为卜2EV启亨+2履,k^Z.

[答案]卜2EVxW+2E,k^z\

⑵函数於)=----上”的定义域为.

tan(x+z)

[解析]要使兀0有意义,则有

•\E-]兀VxVE一亲或左兀一袭VE+?

[答案]{出兀一驴VjcVE一5或E一5VxVE+三,&£N}

[破题技法]求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式,常借助于三

角函数线或三角函数图像来求解.

挖掘2利用单调性求最值/互动探究

[例2]⑴函数Ax)=3sin(2_L5)在区间0,方上的值域为(

)

|,3

B.-

_35

D.2,J

[o,时,

[*,劄sin(2x一"1

e

2r-汪oT1,

故3sin(2x一季卜卜方,3,即此时函数段)的值域是一方,3

[答案]B

⑵已知函数fix)=sin2x+^/§sinxcosx.

若加)在区间[一»〃]上的最大值为去求机的最小值.

[解析]兀0=sin2/+小sinxcos工

I।/3

=2-2C0S标+手sin2x

=sin(2x*)+;,由题意知一

所以一次<一工乏加一工

02%020

要使得7U)在区间一小m上的最大值为方

即sin(2r-1]在区间—^,m上的最大值为1.

IF71TL

所以2/H—U4即相。

7T

即机的最小值为太

挖掘3换元法求三角函数的最值(值域)/互动探究

[例3](2017・高考全国卷II)函数y(x)=sin2x+小cosx一芥£0,牛的最大值是

[解析1段)=1-COS2JV+小cosx­4=_cos2x+V3cosx+^=-l^cos2~l+

1,网为工£0,微,所以cosx£「0,1],所以当cosx=半上,函数取得最大值

1.

[答案]1

[破题技法]1.形如y=4sin(cwx+3^y=Acos(5+e),(A>0)(x£R)其最值都是

当sin(cox+o)=±l或COS(Q)X+S)=±1时取得的士4.

2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型:

⑴形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=4sin(a)x+w)+c的形式,再求值

域(最值);

(2)形如y=asin2x+/?sinx+c的三角函数,可先设sinx=r,化为关于f的二次函

数求值域(最值);

⑶形如y=asinxcosx+仇sinx±cosx)+c的三角函数,可先设f=sinx土cosx,化

为关于t的二次函数求值域(最值).

对于(2)(3)类型,主要采用换元法.

令r=sinx或f=cosx,进而将三角函数转化为关于t的函数.形如y=asii?x+

加inx+c,可设/=sinx,将其转化为二次函数丁=〃"+初十武/仁[-1,1]);形如

y=〃sinxcosx+伙sinx±cos%)+c,可设r=sinx+cosx,贝]?=l±2sinxcosx,即

sinxcosx=±2(l2—1),将其转化为二次函数)=±%(»—1)+4+c(f£[一啦,

啦]).换元时一定要注意新元的取值范围.

考点二三角函数的单调性

挖掘1求三角函数的单调区间/互动探究

[例1]已知函数段)=45cos2L2sin2(x—G),其中OVQV看且心)=一市一

1.

(1)求a的值;

⑵求/U)的最小正周期和单调递减区间.

[解析]⑴由已知得度)=—仍一2sin2(]—a)=一小一2COS2Q=一小一1,

整理得cos2a=2.

因为OVQV会所以cosa=4,a=^.

(2)由⑴知,J(x)=yj3cos2x—2sin2(x-?)=V3coslx—1+cos(2x—5)=V3cos2x+

T4

Tt

sinlx-1=2sin(2x+g)-1.

易知函数J(x)的最小正周期T=7t.

jr

令,=2x+],则函数«r)可转化为y=2sint—\.

显然函数y=2sint—1与y=sint的单调性相同,

jr37r

当函数y=sint单调递减时,■(女£N),

即2&九+2<2¥+§《2也+爹(左wZ),

7T71E

解得E+五WxWE十五(攵£Z).

所以函数於)的单调递减区间为[E+专,E+赖&£Z).

[破题技法]求三角函数单调区间的方法

就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角〃(或。,

代换法

利用基本三角函数的单调性列不等式求解

图像法画出三角函数的图像,结合图像求它的单调区间

&变式训练培养应变能力

本例题中若求函数段)在[号,争上的单调递减区间呢?

解析:由本题可得,函数寅x)=2sin(2r+^)—1的单调递减区间为伙H+吉E+

J14

奇(左£N).当k=—\时,函数外)的单调递减区间为[一皆,—ff],与给定区

间的交集为[一会—软;当&=0时,函数加)的单调递减区间为哈,居],与给

定区间的交集为信,合.所以函数於)在[一'上的单调递减区间为一居]

和[芨,升

挖掘2利用单调性比较大小/自主练透

[例2]己知函数/(x)=2sin(x+令,设「=若),十=龙),c=启),则■。的

大小关系是()

A.a<c<bB.c<a<b

C.bVa〈cD.b〈c<a

[解析]a=畤)=2sin聚,

,〜兀、_.71

8=«d)=2sin],

因为y=sinx在[0,多上单调通、,所以cVqVb.

[答案]B

[破题技法]利用三角函数的单调性比较两个三角函数值的大小,关键是将这两

个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值.对于正弦函

数来说,一般将两个角转化至十一去引或其用内;对于余弦函数来说,一般将

两个角转化到[一兀,0]或[0,幻内.

〜变式训练培养应变能力

将本例题中函数改为yU)=2cosCr+》,则a,b,c的大小如何?

]3

解析:〃=7弓)=285行兀,

,c兀-兀

b=y(d)=2cos?

nTI

c=_A])=2cosi=0,

挖掘3利用单调性求参数/互动探究

[例3](1)(2018・高考全国卷II)若/(x)=cosx-sinx在[―a,a]是减函数,则。

的最大值是()

.冗B,^

A-4

-3兀_

C.彳D.兀

[解析]/(x)=cosx-sinx

=­V^fsinx-^2

,「兀31c兀「兀兀1,

当问一不利即”一片[一子5」时,

y=sin(x—单调递增,y=一啦sin卜一争单调递减.

:函数/(x)在[―a,a]是减函数,

[~afa]Q

・・・ov〃W,•"的最大值为;.

故选A.

[答案]A

(2)已知口>0,函数贝X)=COS(Q»+;)在修兀)上单调递增,则co的取值范围是

)

一151-

--rl7

•--

A.242

C・

一B.471

一39--

-D.3-

-•-

甲424

[解析]函数y=cosx的单调递增区间为[—兀+2E,2kn],则

等+£2一兀+2々兀,kGZ,

<

①兀+;W2E,keZ,

解得以一|<①又由我一|一3一加0,%£Z且2—(>0"£N,

r37-

d--

l24

-

得D

SI

7r7r7T

⑶若函数外)=sins■(①>0)在[0,上单调递增,在区间中51上单调递减,则

3=.

[解析]法一:由于函数*x)=sincor(切>0)的图像经过坐标原点,由已知并结合

正弦函数的图像可知,三为函数应¥)的周期,故号=与,解得/=,.

JT7T

法二:由题意,得7(X)max=AQ)=SinQ①=1.

由已知并结合正弦函数图像可知,*y=^+2E(&£Z),解得刃=|+6&(&£Z),

3

所以当2=0时,①=,

3

[答案]5

[破题技法已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法

求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不

子集法

等式(组)求解

由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某

反子集法

个单调区间的子集,列不等式(组)求解

周期法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离列不等式(组)求解

考点三三角函数的奇偶性、对称性、周期性

挖掘1三角函数的周期性、奇偶性/互动探究

[例1](1)(2018・高考全国卷III)函数於)=般容的最小正周期为()

11ianx

c兀

B,2

C.itD.2兀

sinxsm%

由已知得/)=常常=COSXCOSX

[解析]-=—2~0=sinx-cosx

2cosXi"sin*x

1+

露)COS2X

sin2xf所以/(x)的最小正周期为7=号=兀

故选C.

[答案]

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