高考数学第一轮复习导学案(新高考)第26讲同角三角函数的基本关系及诱导公式(原卷版+解析)

第26讲同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：；(2)商数关系：平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．2．诱导公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)sinαcosαtanα3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．4、三角形中的三角函数关系式sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝coseq\f(C,2)；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq\f(C,2).1、【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2、【2021年新高考1卷】若，则（

）A． B． C． D．1、（2022·山东威海·三模）已知，，则___________.2、已知，则（）A． B．6 C． D．3、在△ABC中，下列结论不正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sin

eq\f(B＋C,2)＝cos

eq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC4、化简：eq\f(tan(π－α)cos(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos(－α－π)sin(－π－α))的值为（） A. B. C. D.5、（2022·湖南益阳·一模）若，则A． B． C． D．6、（2022·河北唐山·三模）若，则___________．因此，故答案为：4.考向一三角函数的诱导公式例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝eq\f(sin(π－α)·cos(2π－α)·tan(α＋π),tan(－α－π)·sin(－α－π))．(1)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(2)若α＝－1860°，求f(α)的值．变式1、已知f(α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos(－π－α)tan(π－α))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))的值为．变式2、求值：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝______；方法总结：1、熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．考向二同角函数关系式的运用例2、已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).求：(1)sinx－cosx的值；(2)eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．变式1、(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则sinα＋cosα的值为___．(2)已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，则cosα－sinα的值为____．变式2、（2022鄂尔多斯第一中学月考）化简：(1)cosαeq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋sinαeq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))（α是第二象限角）；(2)sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α.变式3、已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－π)).求：(1)tanα的值；(2)eq\f(sinα＋cosα,2sinα－5cosα)的值．方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．考向三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3、已知cos(75°+α)=eq\f(1,3)，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．变式1、已知cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝.变式2、已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝．变式3、已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则sin（x－eq\f(5π,6)）＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))的值为．方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.1、（2022·广东广州·一模）若，，则___________.2、（2022·湖南·长郡中学一模）已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线垂直，则的值为（

）A． B． C．2 D．33、（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知，则______．4、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．5、（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．6、（2022·福建三明·模拟预测）已知，则（

）A．－ B． C．－ D．7、（2022·湖北·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．8、（2022·辽宁葫芦岛·二模）若，则（

）A． B． C．-3 D．3第26讲同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．2．诱导公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋αsinα－sinα－sinαsin_αcos_αcos_αcosα－cosαcosα－cos_αsin_α－sin_αtanαtanα－tanα－tan_α3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．4、三角形中的三角函数关系式sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝coseq\f(C,2)；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq\f(C,2).1、【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为sin2当sinx=1时，cos当cosx=0时，sin所以当x∈R，sinx=1是cos故选：A.2、【2021年新高考1卷】若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．1、（2022·山东威海·三模）已知，，则___________.【答案】【解析】由题知：，因为，所以.故答案为：2、已知，则（）A． B．6 C． D．【答案】B【解析】化简所以，故选B。3、在△ABC中，下列结论不正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sin

eq\f(B＋C,2)＝cos

eq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC【答案】D【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确．sin

eq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cos

eq\f(A,2)，B正确．tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，C正确．cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误．4、化简：eq\f(tan(π－α)cos(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos(－α－π)sin(－π－α))的值为（） A. B. C. D.【答案】：B【解析】：原式＝eq\f(－tanα·cosα·(－cosα),cos(π＋α)·[－sin(π＋α)])＝eq\f(tanα·cosα·cosα,－cosα·sinα)＝eq\f(\f(sinα,cosα)·cosα,－sinα)＝－15、（2022·湖南益阳·一模）若，则A． B． C． D．【答案】C【解析】由可知：∴，∴，又==.故选C.6、（2022·河北唐山·三模）若，则___________．【答案】4【解析】因为，两边同时平方得，即，所以，因此，故答案为：4.考向一三角函数的诱导公式例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝eq\f(sin(π－α)·cos(2π－α)·tan(α＋π),tan(－α－π)·sin(－α－π))．(1)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(2)若α＝－1860°，求f(α)的值．【解析】：f(α)＝eq\f(sinα·cosα·tanα,(－tanα)·sinα)＝－cosα．(1)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝－sinα＝eq\f(1,5)，∴sinα＝－eq\f(1,5)．∵α是第三象限的角，∴cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(2\r(6),5)．∴f(α)＝－cosα＝eq\f(2,5)eq\r(6)．(2)f(α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－eq\f(1,2)．变式1、已知f(α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos(－π－α)tan(π－α))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))的值为．【答案】eq\f(1,2)【解析】因为f(α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos(－π－α)tan(π－α))＝eq\f(－sinα(－cosα),－cosα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(sinα,cosα))))＝cosα，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).变式2、求值：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝______；【答案】1【解析】原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.方法总结：1、熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．考向二同角函数关系式的运用例2、已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).求：(1)sinx－cosx的值；(2)eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．【解析】(1)sinx＋cosx＝eq\f(1,5)两边平方，得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理，得2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).由x∈(－π，0)，知sinx＜0.又sinx＋cosx＞0，所以cosx＞0，则sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).(2)eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinx(cosx＋sinx),1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosx(cosx＋sinx),cosx－sinx)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175)变式1、(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则sinα＋cosα的值为___．(2)已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，则cosα－sinα的值为____．【答案】（1）－eq\f(\r(10),5).（2）eq\f(\r(3),2).【解析】(1)由tanα＝－eq\f(1,3)，得sinα＝－eq\f(1,3)cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，∴cos2α＝eq\f(9,10)，易知cosα＜0，∴cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，故sinα＋cosα＝－eq\f(\r(10),5).(2)∵eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，∴cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2).变式2、（2022鄂尔多斯第一中学月考）化简：(1)cosαeq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋sinαeq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))（α是第二象限角）；(2)sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α.【解析】(1)cosαeq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋sinαeq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝cosα·eq\r(\f((1－sinα)2,1－sin2α))＋sinα·eq\r(\f((1－cosα)2,1－cos2α))＝cosα·eq\f(1－sinα,|cosα|)＋sinα·eq\f(1－cosα,|sinα|)＝cosα·eq\f(1－sinα,－cosα)＋sinα·eq\f(1－cosα,sinα)＝－1＋sinα＋1－cosα＝sinα－cosα.(2)sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝sin2α(sin2α＋cos2α)＋cos2α＝sin2α＋cos2α＝1.变式3、已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－π)).求：(1)tanα的值；(2)eq\f(sinα＋cosα,2sinα－5cosα)的值．【解析】(1)因为2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，且cos2α＋sin2α＝1，所以eq\f(2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α,cos2α＋sin2α)＝1，所以eq\f(2＋3tanα－3tan2α,1＋tan2α)＝1，解得tanα＝－eq\f(1,4)或tanα＝1.又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－π))，所以tanα＝－eq\f(1,4).(2)eq\f(sinα＋cosα,2sinα－5cosα)＝eq\f(tanα＋1,2tanα－5)＝eq\f(－\f(1,4)＋1,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))－5)＝－eq\f(3,22).方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．考向三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3、已知cos(75°+α)=eq\f(1,3)，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．【解析】：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0，所以sin(75°+α)=．因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-，所以cos(15°-α)+sin(α-15°)=变式1、已知cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝.【答案】0【解析】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－eq\f(1,3)，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝eq\f(1,3).所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝0.变式2、已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝．【答案】－eq\f(\r(3),3)【解析】taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝tan[π－（eq\f(π,6)－α）]＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).变式3、已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则sin（x－eq\f(5π,6)）＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))的值为．【答案】eq\f(5,9)【解析】sineq\b\lc\(\