专题4-2向量四心及补充定理综合归类 （原卷版）

专题4.2向量四心及补充定理综合归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01“奔驰定理” 1题型02极化恒等式 3题型03极化恒等式求最值范围 4.题型04等和线题型：基础 6题型05等和线题型：型 6题型06等和线题型：型 7题型07等和线题型：分数型 8题型08等和线题型：与数列 9题型09奔驰定理与重心型轨迹 10题型10三角形四心向量：内心 11题型11三角形四心向量：外心 12题型12三角形四心向量：重心 12题型13三角形四心向量：垂心 13题型14向量点域综合 14高考练场 16题型01“奔驰定理”【解题攻略】奔驰定理：为内一点，，则.重要结论：，，.结论1：对于内的任意一点，若、、的面积分别为、、，则：.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.结论3：对于内的任意一点，若，则、、的面积之比为.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.【典例1-1】（2022春·全国·高三模拟）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（）A． B． C． D．四川省三台中学2021-2022学年高三4月质量检测数学试题【变式1-1】如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（）A． B． C． D．【变式1-2】已知是等边三角形，且,那么四边形ABCD的面积为()A． B． C． D．【变式1-3】是所在平面上的一点,满足,若,则的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．8题型02极化恒等式【解题攻略】极化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]【典例1-1】（2023·江苏·高三专题练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（

）A．32 B．-32 C．16 D．-16【典例1-2】如图,在中,已知,点分別在边上,且,若为的中点,则的值为________【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝________．【变式1-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（

）

A． B．C． D．题型03极化恒等式求最值范围【解题攻略】极化恒等式的模型：平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．（1）推导过程：由.三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．【典例1-1】如图,在平面四边形中,,则的最大值为____【典例1-2】已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为_________．【变式1-1】在锐角中，已知，则的取值范围是____________．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为______．【变式1-3】半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．.题型04等和线题型：基础【解题攻略】等和线基础：系数为1型形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得【典例1-1】.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（）A.3B.C.D.2【典例1-2】已知在内，且，，则____．【变式1-1】在△ABC中，∠BAC=，以AB为一边向△ABC外作等边三角形ABD，∠BCD=2∠ACD，则____________．【变式1-2】已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为A． B． C． D．【变式1-3】如图，A、B、C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若，则λ+μ的取值范围是A．(-∞,-1) B．(-1,0) C．(0,1) D．(1,+∞)题型05等和线题型：型【解题攻略】形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值。可构建直角坐标系并设且()，应用平面向量线性关系的坐标表示求得关于参数的函数式求最值.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）O是的外心，，，则（

）A． B． C． D．或【典例1-2】在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为A． B． C． D．【变式1-1】（2022春·江苏无锡·高三江苏省天一中学校考）在中，，，，为的外心，若，、，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为．题型06等和线题型：型【解题攻略】形如，求值或者范围，有如下思维：如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值【典例1-1】如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是A． B．C． D．【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2022·四川·校联考三模）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是A． B． C． D．【变式1-2】（2019·北京·首都师范大学附属中学校考一模）在中，点满足.若存在点，使得，且，则的取值范围是．【变式1-3】（2022秋·山东青岛·高三统考）将两个直角三角形如图拼在一起，当点在线段上移动时，若，当取最大值时，的值是．题型07等和线题型：分数型【解题攻略】形如，求值或者范围，一般情况下，则可以通过等和线或者，然后对采用均值不等式中的“1”的代换技巧。【典例1-1】（2021·辽宁大连·大连八中校考一模）在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为A． B． C． D．【典例1-2】（2023春·江苏南通·高三江苏省南通中学校考阶段练习）在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且，点F为线段BD上的一动点（包含端点），若，则的取值范围为．【变式1-2】（2023春·内蒙古乌兰察布·高三校考）已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且．若不等式恒成立，则实数的取值范围是．【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则；与周长之比的取值范围为．题型08等和线题型：与数列【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，平面四边形中，点D为动点，的面积是面积的3倍，数列满足，，当时，恒有，则数列的前6项和为（

）．A．2020 B．1818 C．911 D．912【典例1-2】（2022秋·安徽合肥·高三阶段练习）如图，点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，若，则（）A． B．C． D．【变式1-1】．（2022秋·河北石家庄·高三正定中学阶段练习）如图，已知点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，其中实数列中，，，则A．46 B．30 C．242 D．161【变式1-2】（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考阶段练习）已知四边形ABCD，为边BC边上一点，连接交BD于，点满足，其中是首项为1的正项数列，，则的前n项.

题型09奔驰定理与重心型轨迹【解题攻略】向量型求动点轨迹：利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.【典例1-1】（2024·全国·高三专题练习）已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【典例1-2】（2022春·重庆·高三统考）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（

）A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心C．△ABC的重心 D．AB边的外心【变式1-2】（2023春·全国·高三专题练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心.题型10三角形四心向量：内心【解题攻略】四心的向量统一形式：设是内一点且；若为内心，则；【典例1-1】（2020春·山西运城·高三临猗县临晋中学校考开学考试）为所在平面上动点，点满足,,则射线过的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【典例1-2】（2022秋·重庆·高三重庆一中校考）已知为的内心，，若，则的最大值为A． B． C． D．【变式1-1】（2021春·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知，，，，则下列结论错误的是（

）A．若是的重心，则 B．若是的内心，则C．若是的垂心，则 D．若是的外心，则【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）设为的内心，，，，则（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则点是的（

）A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心题型11三角形四心向量：外心【解题攻略】设是内一点且；若为外心，则；【典例1-1】（2021春·湖北武汉·高三统考）中，，点为的外心，若，则实数．【典例1-2】（2023春·广东珠海·高三统考）在中，，，为的外心，，，分别为，，的中点，且，则.【变式1-1】（2023春·湖北武汉·高三校联考阶段练习）设的外心为，且满足，，则的面积为.【变式1-2】（2023春·山东青岛·高三统考）记的三个内角的对边分别为，，，且，，若是的外心，则．【变式1-3】（2023春·广东汕头·高三金山中学校考已知为的外心，若，则最小值.题型12三角形四心向量：重心【解题攻略】重心四心的向量统一形式：设是内一点且；若为重心，则；解决该类问题常用如下方法：（1）根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形；（2）利用向量，结合向量的数量积进行求解；（3）建立直角坐标系，利用坐标进行求解.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为A．1 B． C．1 D．【典例1-2】（2022春·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）已知点为的重心，，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2020春·天津·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知中，为的重心，则A． B． C． D．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为A．或 B．或C．或 D．或【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知点是的重心，，若，，则的最小值是A． B． C． D．题型13三角形四心向量：垂心【解题攻略】四心的向量统一形式：设是内一点且；若为垂心，则.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(

)A． B． C． D．【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（

）A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知H为的垂心，若，则（

）A． B．C． D．【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022题型14向量点域综合【典例1-1】如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是A． B．C．4 D．5【典例1-2】如图，A、B分别是射线上的两点，给出下列向量：①;②；③；④；⑤这些向量中以O为起点，终点落在阴影区域内的是________（填序号）．【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（）A． B． C． D．【变式1-2】如图，OM//AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且，当时，y的取值范围是________【变式1-3】在中，，，D是内切圆圆心，设P是外的三角形区域内的动点，若，则点所在区域的面积为______.高考练场1.已知等边边长为4，为其内一点，且，则的面积为（）A． B． C． D．2.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值为________．3.设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，sin∠PAC的值为____．4.如图所示，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，以点C为圆心，CB为半径的圆与C