4.1同角三角函数的基本关系（教学设计）高一数学（北师大版2019）

北师大版必修第二册第四章《三角恒等变换》4.1同角三角函数的基本关系（教学设计）【教学目标】1.能根据三角函数的定义，利用单位圆，推导出三角函数的基本关系式；（逻辑推理）2.能正确利用基本关系式进行三角函数式的求值运算，并且确定符号；（数学运算）3.通过本节的学习,能把方程的思想、代数变换、分类讨论的逻辑方法融入到解题中.（逻辑推理）【教学重点】1.同角三角函数基本关系式的推导及应用；2.已知一个角的一个三角函数值，利用基本关系式求其它的三角函数值.【教学难点】已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它三角函数时符号的确定.【教学过程】一、实例分析，提出问题请同学们复习回归我们是如何在单位圆中定义三角函数的呢？如图，角α的终边与单位圆交于点P(u,v)，则cosα=u,sinα=υ,tanα=υ问题1：若已知sinα=45问题2：请同学们根据特殊角的三角函数值，能否得出同角的三角函数之间存在数量关系？在小组内讨论并且发表自己的看法.α0ππ3π-sin0112-cos130-1tan03不存在-1-第一列：02+12=1；第二列：122+322=1第四列：222+-同学们能否根据以上特殊的结论，得到一般性的结论，并用数学表达式把这个关系写出来？sin2α＋cos2α＝1问题3：如何在直角三角形中证明sin2α+cos如图可得sinα=a根据勾股定理：a2+问题4：类比上述方法，同学们在单位圆中证明sin2证明：如图，过点P作x轴的垂线，交于点M，在Rt∆PMO中Msin因此我们得到了同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2α＋cos2α＝1.问题5：由cosα=u,sinα=υ,tanα=υu，同学们能够推出tanα与商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z).问题6：同角基本关系有什么特征？（1）要在同角的条件下使用，同角可以指终边相同的角；（2）sin2（3）tanα＝eq\f(sinα,cosα)要注意分母不为0问题7：同角基本关系有哪些变形二、抽象概括，得出概念1.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1.（2）商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z).2.同角三角函数的基本关系的变形（1）sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.（2）tanα＝eq\f(sinα,cosα)的变形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα)，cos2α=1tan2【概念辨析】加深对“同角”的理解1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.三、典例剖析，理解概念课本P146例1例1.已知sinα=45，且角的终边在第二象限，求cosα和tanα解：cos角α的终边在第二象限∴cosα<0∴

tan已知正弦值，求余弦值和正切值：（1）先根据平方关系，求出cos2α＝1－sin2α的值；（2）再根据角所在的象限，定cosα的符号，定不了号，就分类讨论.（3）最后根据商数关系求出tanα的值.例2.已知cosα=-1213，求sinα和解：sin2α=1-cos2α=1--当α在第二象限时，sin⁡α

>0，所以sintan当α在第三象限时，sin⁡α

<0，sintan例3已知tanα=m(m≠0)，求sinα和cosα.解：根据题意可得方程组sin解得：cos因为：tanα≠0，故α的终边不在坐标轴上所以cossinα=【方法点拨】同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，作用是“知一求二”，即tanα，cosα，sinα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意确定角α所在的象限，从而判断三角函数值的正负.利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角【当堂训练】课本P148：练习第1题（1）已知sinα=32，且α为第一象限角，求cos⁡α和tan⁡α（2）已知cosα=-45，且α为第三象限角，求sin⁡α和tan⁡α（3）已知tanα=-512，且α为第二象限角，求cos⁡α和sin⁡α（学生演练）四、迁移应用，掌握概念1.若α是锐角，且2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα＝________.2.函数y＝eq\f(\r(1－sin2x),cosx)＋eq\f(\r(1－cos2x),sinx)的值域是()A.{－2，0，2}B.{－2，0}C.{0，2} D.{－2，2}【参考答案】1.由2tanα＋3sinβ＝7，得4tanα＋6sinβ＝14.①又tanα－6sinβ＝1，②①＋②，得5tanα＝15.∴tanα＝3.∴eq\f(sinα,cosα)＝3，即cosα＝eq\f(1,3)sinα.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＝eq\f(1,3)sinα，,sin2α＋cos2α＝1，))解得sin2α＝eq\f(9,10).∵0<α<eq\f(π,2)，∴sinα＝eq\f(3\r(10),10).]2.解：由已知，得y＝eq\f(|cosx|,cosx)＋eq\f(|sinx|,sinx)，又cosx≠0，且sinx≠0，∴x为象限角.当x为第一象限角时，y＝2；当x为第三象限角时，y＝－2；当x为第二、四象限角时，y＝0.选A3.已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，则tanα＝________.解∵sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，①∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(49,169).∴2sinαcosα＝－eq\f(120,169)<0.又α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0.∴α∈(eq\f(π,2)，π)，∴sinα－cosα＞0.故sinα－cosα＝eq\r(（sinα＋cosα）2－4sinαcosα)＝eq\f(17,13).②由①②可得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，∴tanα＝－eq\f(12,5).【方法点拨】(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα进行等价转化，找到解决问题的突破口五、当堂检测，巩固达标1．已知α是第二象限角，且sinα=33，则tanA．-2 B．-22 C．-2．“α+β=π2”是“sin2α+A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件3．已知a=2,1，b=cosα,sinαA．2 B．12 C．-2 D．（多选题）4．已知α∈0,π，且sinα+A．π2<α<πC．cosα-sinα=【参考答案】1．B解：因α是第二象限角，且sinα=33则tanα=sinα2．C解：若α+β=π2，则故“α+β=π2”是“sin若sin2α+sin有sin2故“α+β=π2”不是“sin故“α+β=π