中考数学复习：统计与概率

中考数学复习：统计与概率1．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15 B．13，15C．13，20 D．15，15【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，最中间的数是15，则这组数据的中位数是15；15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．故选：D．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．2．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（）A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了随机事件，关键是掌握随机事件定义．3．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图,则下列判断错误的是()A.甲的数学成绩高于班级平均分,且成绩比较稳定B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动,且比丙好C.丙的数学成绩低于班级平均分,但成绩逐次提高D.就甲、乙、丙三个人而言,乙的数学成绩最不稳定【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好【解答】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确；D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．故选：D．【点评】本题是折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题。4．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是．【分析】根据已知条件即可得到结论．【解答】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，∴这三种颜色的球的个数相等，∴添加的球是红球，故答案为：红球．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．5．某8种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，126，120，118，124，则这组数据的众数为．【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数．【解答】解：∵这组数据中120出现次数最多，有3次，∴这组数据的众数为120，故答案为：120．【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据．6．某校征集校运会会徽图案,遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎,随机调查了该校100位学生,其中有60位学生喜欢甲图案.若该校共有学生2000人,根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有．【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数．【解答】解：由题意得：2000×＝1200人，故答案为：1200．【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中喜欢甲图案的频率，难度不大．7．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为____.【分析】直接利用概率公式求解可得．【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．8．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：使用次数012345（含5次以上）累计车费00.50.9ab1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数012345人数51510302515（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．【分析】（Ⅰ）根据收费调整情况列出算式计算即可求解；（Ⅱ）先根据平均数的计算公式求出抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费，再根据用样本估计总体求出5000名师生一天使用共享单车的费用，再与5800比较大小即可求解．【解答】解：（Ⅰ）a=0.9＋0.3=1.2，b=1.2＋0.2=1.4；（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：×（0×5＋0.5×15＋0.9×10＋1.2×30＋1.4×25＋1.5×15）=1.1（元），所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1=5500（元），因为5500＜5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．【点评】考查了样本平均数，用样本估计总体，（Ⅱ）中求得抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费是解题的关键．9．甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资＋揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日搅件数超过40，超过部分每件多提成2元．如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图：（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，井说明理由．【分析】（1）根据概率公式计算可得；（2）分别根据平均数的定义及其意义解答可得．【解答】解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的有4天，所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率为＝；（2）①甲公司各揽件员的日平均件数为＝39件；②甲公司揽件员的日平均工资为70＋39×2＝148元，乙公司揽件员的日平均工资为＝[40＋]×4＋×6＝159.4元，因为159.4＞148，所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比及平均数的定义及其意义．10．某种机器使用期为三年,买方在购进机器时,可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务,每次维修服务费为2000元每台机器在使用期间,如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数,每次实际维修还需向维修人员支付T时费500元;如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数超出部分每次维修需支付维修服务费5000元,但无需支付工时费.某公司计划购买1台该种机器,为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务,搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数,整理得下表:（1）以这100台机器为样本,估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率;（2）试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据,说明购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次还是1次维修服务?【分析】本小题考查概率、加权平均数、统计表等基础知识、考查运算能力、推理能力数据分析观念、应用意识考查统计与概率思想,满分10分【解答】（1）因为“100台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的台数为10＋20＋30=60，所以“100台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的率为：故可估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率为0.6.若每台都购买10次维修服务,则有下表此时这100台机器维修费用的平均数=27300若每台都购买11次维修服务,则有下表此时这100台机器维修费用的平均数=27500因为y1＜y2,所以购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次维修服务【点评】本题考查利用频率估计概率，加权平均数，列表法等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深人农村积极开展“精准扶贫”工作.经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫.现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收人，得到如下图所示的条形图.（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收人低于2000元(不含2000元)的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收人的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收人受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收人的最低值变化情况如下面的折线图所示.为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目.据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收人都将比上一个月增加170元.已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收人4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫.【分析】本小題考查频数和频数分布的意义、加权平均数、条形图、折线图等基础知识,考查运算能力、推理能力、数据分析观念、应用意识,考查统计与概率思想.满分10分.【解答】（1）依题意,可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中,家庭人均年纯收入低于2000元的户数为：.（2）依题意,可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：=2.4（千元）.（3）解法一：依题意,2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500＋300＋150＋200＋300＋450＋620＋790＋960＋1130＋1300＋1470>960＋1130＋1300＋1470>4000所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫.解法二：前6个月数值之和=500＋300＋150＋200＋300＋450=1900(元)4000-1900=2100（元）11月份和12月份的数值之和=1300＋1470=2770（元）>2100（元）所以2020年农民家庭人均年纯收入一定大于4000元，所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫。解法三：前6个月数值之和=500＋300＋150＋200＋300＋450=1900(元)4000-1900=2100（元）后6个月每个月的收入只要大于等于2100÷6=350(元)即可达标；因为7月——12月每个月的数值>450（元）>350（元），所以2020年农民家庭人均年纯收入一定大于4000元，所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫。解法四：依题意得，7月--12月的数值之和=450×6＋170×（1＋2＋3＋4＋5＋6）=6270（元）>4000（元），所以2020年农民家庭人均年纯收入一定大于4000元，所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫.【点评】本题考查了折线统计图、用样本估计总体、条形统计图、加权平均数，考查运算能力、推理能力、考查统计思想．【教学建议】概率是研究随机现象规律的科学，随机现象在日常生活中随处可见，概率为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。对于概率的研究，在教学中多结合实例，让学生亲自经历随机现象的探索过程，亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较。例如在进行频率与概率的关系教学时，要让同学们事先准备好四张不同花色的扑克牌，游戏规则是两个人玩牌，将牌洗匀后，从中任意摸出两张，如果花色相同算第一个人赢，不同算第二个人赢，两个人赢的概率相同吗？如果你认为不相同，哪个概率更大些呢？它们的`概率各是多大呢？开始同学们大多都说概率相同，只有少数几个同学说不同。此时我并没有对他们的结果做出判断，而是开始做游戏，并强调游戏的随机性，把全班分成十二个小组，每个小组做二十次，记录下实验结果并填入表中，根据对实验结果的统计，得到两个人赢的次数，从而得到两个人赢的频率，由统计的结果来判断自己的猜测是否正确。然后再带领学生一起分析所有的等可能结果，用列表法展示出来，这时学生们就明白了它们的概率为何不同。初中统计与概率的学习，不能让学生死记硬背，强化计算，应让学生在活动中去感知、体验，加深对概念的理解，掌握解决问题的方法策略。概率与统计的教学应注重训练学生的阅读能力，在大量的文字中提取有用的信息是关键。此类题目注重表格的作用，表格是整理、分析数据的有效工具，它能够清晰的体现变量的对应关系。新定义1．小明在某次作业中得到如下结果：sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992=0.9945