作业03解三角形（4大题型巩固提升练能力培优练拓展突破练仿真考场练）原卷版

完成时间：月日天气：作业03解三角形（4大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练）一、应用正弦、余弦定理解三角形1．这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理解决．常见题型有①一边和两角(如a，B，C)，②两边和夹角(如a，b，C)，③三边(a，b，c)，④两边和其中一边的对角(如a，b，A)．2.应用正弦、余弦定理需注意的三个方面(1)正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一．(2)统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形．(3)求值时注意方程思想的运用．二、判断三角形的形状1．根据所给条件确定三角形的形状，主要的方法是边角互化，常见具体方法有①通过正弦定理进行边角转换，②通过余弦定理进行边角转换，③通过三角变换找出角之间的关系，④b2＋c2－a2>0⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a2<0⇔A为钝角．2.利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法(1)通过边之间的关系判断形状．(2)通过角之间的关系判断形状．合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件统一为边的关系或角的关系．三、正弦、余弦定理在实际中的应用1．余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验．2.解题时需注意的几个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出(或作出)这些角．(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来．(3)发现题目中的隐含条件，才能顺利解题．四、与三角形有关的综合问题1．该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．2.解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法进行求解．(2)解三角形常与平面向量、三角函数及三角恒等变换等知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．一．正弦定理（共4小题）1．（2024春•玄武区校级月考）已知正五边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为，，则A． B． C． D．2．（2024春•徐州期中）中，角，，对边分别为，，，点是所在平面内的动点，满足．射线与边交于点．若，，则角的值为，面积的最小值为．3．（2024春•阜宁县期中）记的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．4．（2024春•启东市校级月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，利用（1）所求的角值求的取值范围．二．余弦定理（共4小题）5．（2023春•兴化市期中）如图，在平面四边形中，，，．（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．6．（2023春•句容市月考）在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角，，所对的边分别为，，，且______．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．7．（2024春•铜山区月考）在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，且．（1）求的大小；（2）若，，点在边上，______，求的长．请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）．8．（2024春•新吴区校级月考）为直角三角形，斜边上一点，满足．（1）若，求；（2）若，，求．三．三角形中的几何计算（共5小题）9．（2024春•鼓楼区校级期中）中，，，，为线段的中点，点，分别在线段，上．若为正三角形，则的面积为A． B． C． D．10．（2024春•新吴区校级月考）如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于，则．11．（2024春•宿迁期中）法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，．（1）求；（2）若△的面积为，求的面积的最大值．12．（2024春•盐城期中）如图，在凸四边形中，已知，．（1）若，，求的值；（2）若，四边形的面积为4，求的值．13．（2024春•泗阳县校级月考）已知，在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，．（1）求的大小；（2）若，求的最小值；（3）若，求，的大小．四．解三角形（共18小题）14．（2024春•邗江区校级月考）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为A． B． C． D．15．（2024春•广陵区校级期中）若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为A． B． C． D．16．（2024春•常熟市期中）已知锐角中，，则边上的高的取值范围为A． B． C． D．17．（2024春•海门区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是A． B． C． D．18．（2024春•赣榆区期中）记的内角，，的对边分别为，，．若，，则A．或 B． C．或 D．或19．（2024春•邗江区校级期中）在中，，，分别是角，，所对的边，的平分线交于点，，，则的最小值为A．16 B．32 C．64 D．12820．（2024春•海陵区校级期中）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台处，到楼地面底部点的距离为，假设电视塔底部为点，塔顶为点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点，且，，三点共处同一水平线，在处测得阳台处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台处测得电视塔顶处的仰角，假设，和点在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为A． B． C． D．21．（2024春•铜山区期中）在中，已知且，则面积的最大值是．22．（2024春•建邺区校级期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得的长为12千米，在点处测得，，在点处测得，．则，两点间的距离为千米．（设，，，四点在同一平面内）23．（2024春•徐州期中）在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为．24．（2024春•徐州期中）圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为．25．（2024春•广陵区校级期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，点是的重心，若，且，则．26．（2024春•溧阳市期末）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．27．（2024春•宿迁期中）在直角三角形中，，点，在边上，且，设，．（1）若，求，的值；（2）若，求的最大值．28．（2024春•扬州月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求角的取值范围；求面积的取值范围．29．（2024春•泗阳县校级月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）证明：为等腰三角形．（2）若是边的中点，，求的面积．30．（2024春•相城区校级月考）记的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求角的大小；（2）若是边的三等分点（靠近点，，设，①用表示，，及；②求实数的取值范围．31．（2024春•玄武区校级月考）在中，、为边上两点，且满足，，，，（1）求证：；（2）求证：为定值；（3）求面积的最大值．一．多选题（共1小题）1．（2024春•建邺区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，，点，，分别是的重心，垂心，外心．若，则以下说法正确的是A． B． C． D．二．填空题（共3小题）2．（2024春•邗江区校级期中）已知是锐角三角形，内角，，所对应的边分别为，，．若，则的取值范围是．3．（2024春•高邮市校级期中）在中，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是．4．（2024春•南京期中）已知的内角，，所对的边为，，，且，，若点是外一点，，，则当四边形面积最大时，．三．解答题（共7小题）5．（2024春•邗江区校级月考）已知中，角，，的对边分别为，，，，．（1）若，求的值；（2）过点作的垂线，为上一点．①若，，求线段的长；②若且点在外部，求线段长的取值范围．6．（2024春•海门区校级期中）在凸四边形中，．（1）若，，，四点共圆，，求四边形的面积；（2）若，求的值．7．（2024春•东海县期中）已知中，角，，的对边为，，，是边上的中点．（1）若．求；若，，求的面积；（2）若，，，试探究存在时，，满足的条件．8．（2024春•常州期中）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．（1）若．求证：①为的面积）；②为等边三角形．（2）若，求证：．9．（2024春•江阴市校级月考）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知在中，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，求△的面积最大值．10．（2024春•建邺区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，，，的面积为．（1）求；（2）若点在内部，满足，求的值；（3）若所在平面内的点满足，求的值．11．（2024春•徐州期中）某居民小区内建有一块矩形草坪，米，米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路、和，考虑到小区整体规划，要求是的中点，点在边上，点在边上，且，如图所示．（1）设，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．一．选择题（共1小题）1．（2024•甲卷）在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则A． B． C． D．二．填空题（共1小题）2．（20