1.2.2等差数列前n项和(第2课时)（课件）-高二数学（北师大版2019选择性）

1.2.2等差数列前n项和(第二课时)（公式一）（公式二）（二次型）Sn=an2+bn(a,b为实数，常数项为0)特别的：对数列{n}：等差数列前n项和公式的基本形式：温故知新等差数列前n项和公式的函数特征特征：思考：结论：

观察上面的式子,我们可以看出它是关于n的二次函数,从而等差数列的前n项和可以写成形如:

将等差数列的前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和的极值:a1<0,d>0a1>0,d<0极大值

无

有极小值

有

无nsnnsna1<0,d>0,极小值

a1>0,d<0,极大值等差数列前n项和再认识:例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得∴a7+a8=0例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0例2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.

例2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.变式

在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．7

公式1推广：等差数列前n项和公式的推广(1)若

a2+a5+a12+a15=36,则S16=

。例3等差数列{an}中,(2)若

a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,则S10=

。(3)若

a6=20,则S11=

。②应用求和公式时一定弄清项数n.③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用等和性求a1+an的值.应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.探究：若Sn＝n2＋2n＋1，试求an.Sn与an之间的关系问题方法步骤：(1)由Sn构造Sn－1→(2)利用an＝Sn－Sn－1

→(3)验证n＝1→(4)写通项公式an.解：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1.当n＝1时，a1＝1＋2＋1＝4，不适合an＝2n＋1，设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1,求﹛an﹜的通项公式.变式：等差数列连续等长片段和仍成等差数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k

，…等差数列前n项和性质例4：例5：解法三：设a1+a2+……+a10=A，a11+a12+……+a20=B，a21+a22+……+a30=C，则A，B，C成等差数列，且A=10，A+B=30,解得B=20，所以C=30，S30=A+B+C=60.例4：3.

等差数列奇，偶项和问题4.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，则等差数列前n项和性质解：

例5.

已知一个等差数列前12项的和是354，前12项

中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．

方法总结：求等差数列前n项和的最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．解：(1)由已知a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

所以当n＞1时有a1＋3a2＋…＋(2n－3)·an－1＝2(n－1)，

所以两式作差可得：(2n－1)an＝2，与等差数列求和有关的裂项求和问题：解：

例9.已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，数列{|an|}的前n项和问题：分类讨论等差数列前n项和性质为等差数列1．已知数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若a4＝3，a9＝5，则S12＝(

)A．96B．72C．48D．60答案：C

课堂练习2．在等差数列{an}中，若a2＋a10＝－70，则S11等于(

)A．－770B．－385C．770D．385答案：B

3．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝－4，a7＝4，则(

)A．S4>S6B．S4＝S5C．S6>S5D．S6＝S5答案：BC

4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__________.15

5.

(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14等于(

)A．18

B．17C．16D．15

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________．6．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}前n项和Sn的最大值.

1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;等差数列的函数性等差数列前项和的最值问题有两种方法

(1)利用an

(2)利用Snd>