第二章 流体运动的基本方程

第二章流体运动的基本方程2.1系统（质量体）与控制体1、系统：包含某些确定流体质点的集合。系统的边界把系统和外界分开。(1)系统随流体的运动而运动，形状可变；(2)系统与外界无质量交换；(3)系统与外界可以有能量的交换；(4)系统与外界可以有动量的交换。2、控制体：被流体所流经的相对于坐标系固定的空间区域。控制体的边界称为控制面。(1)控制体的形状、大小相对坐标系不变；(2)通过控制面与外界可有质量交换；(3)通过控制面与外界可以有能量的交换；(4)通过控制面与外界可以有动量的交换。2.2物质积分的随体导数

输运定理问题:物理学守恒律仅能对流体系统使用，那么采用Eu法研究流体力学问题时，如何运用守恒律？解案：流体质点的随体导数物质积分的随体导数

:单位质量流体所挟带的某种物理量雷诺输运定理由物质导数的定义

这里下标sys与CV分别表示求N的积分是在系统或控制体内进行的n

1

s1s1

(t)V

n

23s3

s2

(t+

t)n

1dAs1

(t)V

n

23s3

dA

(t+

t)对不可压流体有更一般地*或当△t

0时有

dV，

S

dA得输运公式当△t

0时，有

dV得不可压流体输运式对不可压流体有物理学研究问题时总是首先选用守恒律，在流体力学中使用守恒律时，尚需考虑：（1）L氏变量与Eu变量的选择研究各物理量的空间分布

选Eu变量研究质点运动选L氏变量（2）积分型与微分型方程的选择研究流体的总体运动特性积分方程2.运动流体的守恒律研究各参数的逐点分布特性微分方程

2.3描述粘性流体运动的基本方程1质量守恒

连续性方程由守恒定律流体不可压缩AVun又∴因此，有连续性方程微分型每单位时间通过控制面流出总质量每单位时间控制体内质量的减少积分型2动量守恒

运动方程积分型动量守恒方程对理想流体有微分型动量守恒方程3

能量守恒积分型总能方程微分型总能方程4质量传输

移流扩散方程C：每单位体积流体中所含扩散质的量Ji

V

dA

由守恒律有

由Fick扩散定律

浓度分布不均匀引起的扩散量当扩散质在单位时间单位体积中源强为Fc时，内总扩散质产生量为代回守恒律得到微分型移流扩散方程使用不可压缩流体的输运公式可得再由扩散定律，得积分型移流扩散方程在静止无源流体中，有2.4粘性流体基本方程组及边界条件1流体动力学微分基本方程组2流体动力学积分型基本方程组（质量传输3边界条件初始条件（t＝t0时，流体运动所满足的条件）ui=ui(xi,t0)，p

=p(xi,t0)，T

=T(xi,t0)＝ui1(xi)=p1

(xi)=T1

(xi)这里ui1(xi)，p1

(xi)，T1

(xi)均为给定已知函数。对恒定流，不须给出初始条件。边界条件无穷远处：如飞机在天空中飞行，我们研究的是飞机以外直到无穷远处流体的运动情况，则边界条件可写为运动固体壁面：对理想流体边界条件简化为

静止固体壁面：2.5不可压层流流动的精确解两平行平板间的粘性流动

两无穷大平板间充满粘度系数

为常数的均质不可压缩流体，上板以常速度U沿板面x方向滑动，温度均匀为T1，下板静止不动，温度均匀为T0。沿x方向的压力梯度=常数，即，两板间距为2h。1问题2速度场:方程：xyU,T1y=hy=－hy=0u=0T0边界条件：y＝h：ux=0

uy=0

y＝h：ux=U

uy=0方程化简为满足边界条件的解为很显然，这是两个解的线性叠加：第一项，P＝0，第二项，U＝0，称为简单库埃特流动。速度剖面为y的线性函数。称为二维泊肃叶流动。速度剖面为上下对称的抛物线。一般为：可算出，上下壁面所受到的流体剪应力分别为：2.6不可压恒定一元流方程1连续性方程2元流伯努利方程实际流体元流伯努力方程实际流体运动时，粘滞力对运动为阻力，克服该阻力所做的功为元流的能量损失。实际流体元流伯努力方程为元流伯努力方程的应用——毕托管测速仪

滞止点（驻点）a：速度为零，压力最大。毕托管的工作原理：将动能转换成压能。沿ab流线列理想流体元流能量方程实际流体的流速：式中为经实验校正的流速系数，它与管的构造和加工情况有关，其值近似等于1。3恒定总流伯努利方程恒定流；不可压缩流体；质量力只有重力；渐变流过流断面；无分流和合流；无能量的输入输出。有分流和合流的能量方程有能量输入和输出能量方程4恒定总流动量方程5

有压管路基本计算公式连续方程能量损失能量方程对于气体其中，单位为：kg/m7其中称为管路的阻抗，单位为：s2/m5。串联管路是由许多简单管路首尾相接组合而成。流量关系：能量关系：并联管路流量关系：能量关系：2.7明渠流动1明渠流的特点（1）具有自由液面，p0=0，为无压流（管流为压力流）；（2）湿周是过水断面固体壁面与液体接触部分的周长,不等于过水断面的周长；（3）重力是流体流动的动力，为重力流（管流则是粘滞力流）；（4）渠道的坡度影响水流的流速、水深。坡度增大，则流速增大，水深减小；（5）边界突然变化时，影响范围大。2明渠均匀流的基本公式明渠均匀流水力计算的基本公式连续性方程：谢才公式：谢才系数的计算：（1）曼宁公式：（2）巴甫洛夫斯基公式：3梯形断面渠道的水力计算（1）

校核渠道的输水能力对已成渠道进行校核性的水力计算。已知：求：Q求解：直接用公式（2）

设计渠道底坡已知：求：i求解：（3）

设计渠道断面尺寸已知：求：b和h

求解：①在b和h中已知一个，求另一个。据此式试算出b或h，或者可作或曲线，在曲线上找所对应的b或h。小型渠道，由水力最优条件给出宽深比，大型渠道由技术经济综合比较给出宽深比，再用以下公式计算b和h。②给定宽深比，求

b和h。4

无压圆管均匀流的水力计算充满度

基本公式水力要素：①验算输水能力求：Q已知：求解：直接计算②设计管道底坡求：i已知：求解：计算时要参考有关规定!③计算管径求：d已知：求解：2.8流体平衡1流体平衡微分方程流体平衡微分方程（欧拉平衡微分方程）物理意义：流体处于平衡状态时，单位质量流体所受的表面力与质量力彼此相等。2流体平衡微分方程的一般积分将三式分别乘以dx，dy，dz后相加可得平衡微分方程的综合式：引入力的势函数W（x，y，z），使满足上式的质量力为有势质量力。即只有在有势的质量力作用下，流体才