专题08立体几何异面直线所成角线面角面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型归类（原卷版）

专题08立体几何异面直线所成角、线面角、面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型归类立体几何异面直线所成角、线面角、面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型立体几何异面直线所成角、线面角、面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型题型05:线线垂直、线面垂直、面面垂直证明题型06:立体几何的综合性问题题型03:平面与平面所成角问题题型02:直线与平面所成角问题题型04:线线平行、线面平行和面面平行的证明题型01:异面直线所成角问题异面直线所成角问题1．正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，顶点在底面ABC上的射影为的中心，则异面直线AB与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（

）A． B． C． D．24．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．5．如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（

）A． B． C． D．6．已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（

）A． B． C． D．7．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（

）A．1 B． C．1或 D．或直线与平面所成角问题8．（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（

）A．圆台的母线与底面所成的角为B．圆台的侧面积为C．圆台的体积为D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为9．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（

）A． B． C． D．10．（多选）在长方体中，与平面所成的角为，则（

）A．异面直线与所成的角为 B．异面直线与所成的角为C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角的正弦值为11．（多选）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且点到平面的距离为，则（

）A．该圆锥的体积为 B．直线与平面所成的角为C．二面角为 D．直线与所成的角为12．（多选）在正方体中，下列说法正确的是（

）A． B．平面C．直线与平面的夹角为 D．三棱锥是正四面体13．（多选）已知正方体的棱长为1，则（

）A．直线与直线所成的角为B．平面C．点到平面的距离为D．直线与平面所成角的余弦值为14．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为.15．在正三棱柱中，，点为棱的中点，则直线与平面夹角的正弦值为．平面与平面所成角问题16．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（

）A． B． C． D．17．在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（

）A． B． C． D．18．将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．19．在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（

）A．4 B．2 C． D．20．如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（

）

A． B． C． D．21．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则的面积为（

）A． B．2 C． D．22．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，底面半径为2，，是底面圆周上两点，且，则二面角的大小为（

）A． B． C． D．23．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列各选项正确的是（

）A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．过圆锥任意两条母线的截面中面积最大的为线线平行、线面平行和面面平行的证明24．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点．(1)求证：BE∥平面ADP；(2)求异面直线PA与CB所成的角的大小．25．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.26．如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．27．已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：(1)E、F、D、B四点共面(2)平面平面.28．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E､F､G分别为PC､PD､BC的中点.

(1)求证：PA平面EFG；(2)求三棱锥P﹣EFG的体积.29．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，O分别为上、下底的中心，，点是的中点.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求棱柱的侧面积.30．如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点分别是线段的中点．

(1)求证：平面(2)是线段的中点，证明：平面平面．31．如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.

(1)求证：；(2)求证：平面；(3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.线线垂直、线面垂直、面面垂直证明32．如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：；(3)求三棱锥的体积．33．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点.(1)求证：面面；(2)若的大小为，求四棱锥的体积.34．如图，在四棱锥中，平面，，.(1)求证：平面；(2)若，求点C到平面的距离.35．如图，四棱锥中，，，，平面平面.(1)证明：；(2)若，M是的中点，求三棱锥的体积.36．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：

(1)平面；(2)．37．如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.38．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的体积．39．如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面ABD夹角的余弦值．40．如图，在四棱锥中，，，，平面平面．(1)求证：平面；(2)设，，求三棱锥的体积．41．正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点．(1)求三棱柱的全面积；(2)求证：∥平面；(3)求证：平面⊥平面．立体几何的综合性问题42．如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（

）

A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为43．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点为上一点，且，则下列结论中正确的有（

）A．正三棱台的高为B．点P的轨迹长度为C．高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为44．已知正方体的棱长为2，P，Q分别是棱，上的动点（含端点），则（

）

A．四面体的体积是定值B．直线与平面所成角的范围是C．若P，Q分别是棱，的中点，则D．若P，Q分别是棱，的中点，则经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面面积为45．如图，棱长为1的正方体中，E为棱的中点，点F在该正方体的侧面上运动，且满足平面．下列说法正确的是（

）A．点F轨迹是长度为的线段B．三棱锥的体积为定值C．存在一点F，使得D．直线与直线所成角的正弦值的取值范围为46．已知正四棱锥的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球的球面上，则下列说法正确的是（

）A．直线与平面所成角的余弦值为B．平面截球所得的截面面积为C．球的体积为D．球心到平面的距离为47．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（

）A．平面平面B．平面平面C．直线与平面所成角的正弦值是D．平面与平面夹角的余弦值是48．已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，棱的中点为，则（

）A．该三棱台的