分段函数在生活中的应用

《分段函数在生活中的应用》研究性学习设计作者姓名陈艳贞任职单位山东省梁山现代高中学科数学年级高中一年级单元标题函数的概念与性质研究性学习名称分段函数在生活中的应用小组成员全班7个小组所有成员所需时间2课时【学习目标】（或概述）通过对分段函数在生活中的应用的调查、研究、交流及总结过程：1.进一步理解分段函数的内涵，理论结合实际。2.通过体会分段函数在生活及社会各领域应用的广泛性，感悟数学的博大精深与应用价值，从而激发学习数学的兴趣，并形成学数学、用数学的思维和意识3.在共同学习、探究中，不断提高合作交流能力、数学思维能力、数据信息处理运用能力及观察分析、归纳总结、抽象概括的能力和语言表达能力，并培养求真务实的科学态度和锲而不舍的钻研精神4.进一步理解数学建模的思想方法，培养提出问题、分析问题和解决问题的能力，进一步体验并能初步运用数学的重要思想方法——数形结合、分类讨论、等价转化等思想。

【情境】

实际上，学生从小学到高中对函数的认识走过了三个阶段：“无意中的直观经历”、“有意中的感性认识”、“思辨中的理性认识”。无意中，学生开始体会着直观的“函数”：买一个本子花五毛钱，买两个本子花1元钱，买三个本子花……本子数和钱数的“依赖关系”埋下了函数的美丽种子；有意中，通过变化过程中的两个变量的关系初步地学习了感性的“函数”：匀速行进的汽车行驶的路程与时间的“动态关系”打开了函数的智慧大门；思辨中，通过探究两个数的对应关系深刻地学习了理性的“函数”：两个集合中的数的“映射关系”开辟了函数的广阔天空。也就是说，学生在学习抽象的函数概念之前已经在无意中或多或少地接触到函数的实际背景，甚至已经在无意中用函数来解决过简单的实际问题——这充分说明了函数与生活的息息相关性是自然的。随着社会的发展，数学的应用变得更加广泛和深入，已经渗透到生活的各个领域……函数是数学的核心和主线，它的内涵恰好能体现不断变换和变化的事物的本质及事物间的内在联系。而分段函数经常作为主角出现在函数的应用中——如通讯话费、计程车计费、银行利率、邮资、个人所得税等问题……很有必要在这些方面开展研究性学习。这样既能体悟数学的应用价值，又能激发学习数学的兴趣，还能形成学数学、用数学的思维和意识。由上面的分析和论述，本次研究性学习选择的情境应该是自然的、有实际意义的，为了体现研究的开放性和互促性，不能只在一个单位进行，也不能太分散，缺乏比较性，可分别到桓台县工商银行、桓台县税务局和桓台县电信局进行实地研究……【任务与预期成果】

通过课上学习交流和课外调查研究、网络资源参考利用和生活实际亲历探究的方式完成下列任务：（1）进入相关行业进行实地调研，尽可能多地列出分段函数在这些领域中的应用情况（2）利用网上资源或到图书馆查阅相关资料分类总结分段函数在生活中的应用情况（3）把实地调研的情况与在网上、图书馆中研究的情况进行交流和整合（4）在小组和班里开展针对性互动交流，对所形成的认识和成果进行调整和完善。（5）不但要形成相应的成果，而且还要在所研究的领域中编制出符合实际的应用问题（6）通过解答编制的问题，进一步体会分段函数的本质和应用价值，写出反思总结

预期成果：（1）分段函数应用情况研究报告（2）分段函数应用案例汇总（3）以分段函数为例总结函数的应用价值（论文或总结）（4）相关的反思总结（5）编制出符合实际的应用问题【过程】（过程要体现研究性学习的主要环节）活动1：按照平时上课所分小组为研究小组进行研究（上课采用“合作探究、分层推进教学法”，每组6—7名同学，根据学生各方面成绩和能力有层次分组，怎样分组曾做过问卷调查）。活动2：各小组策划研究目标和方案（小组之间互相沟通一下，避免一个领域有多个组研究，而另外的领域却没人研究，最多有两个小组在同一行业里进行研究）。活动3：各小组进入相关行业中进行实地调研，了解分段函数的应用情况，并做好记录，经过汇总、整理、总结、提炼，最后形成关于分段函数的数学问题。活动4：到图书馆或利用网络收集相关信息、查阅相关应用问题，结合实际调查的情况，从实际与理论两个方面对分段函数的应用进行全面分析和研究，并用发展的思想方法研究一下分段函数在此领域里的过去的应用情况，与现在进行对比，有了哪些变化和发展，需要不需要改进和完善，未来哪些方面还需要数学应用的支持。并初步写出总结报告或形成论文。活动5：各组分享自己研究的初步成果（各小组把自己的研究思路、过程、结论、成果以及有价值的资源与其它小组共向），进行全面交流，互相学习，取长补短，互相促进，共同进步。并对自己的研究成果进行修改、补充和完善（在这个过程中，对小组的研究成果和研究过程进行评价）。活动6：总结反思，并根据研究成果和经验，编制相关的分段函数应用问题，也可对函数在相关领域的未来中的应用进行展望或论述（在这个过程中，可通过解决提炼或编制的应用问题，锻炼分析问题和解决问题的能力，并进一步体悟所学习的数学知识的深刻内涵和应用价值。这个过程也可进行评价）。【评价设计】设计相应的研究性学习评价量表或评价量规，通过自我评价、小组互评、教师评价相结合进行评价……本研究性学习所设计的评价量表或评价量规如下：评价指标（权重）好【1，0.8】一般（0.8，0.6]需要改进(0.6,0]学生评价教师评价（0.5）

总分自评（0.2）互评(0.3)目标确定（15分）给出的目标明确，与本次活动所确定的四个方面的总体学习目标内涵相同。给出的目标比较明确，缺少一个方面的目标或一个方面的目标设不明确、不恰当。缺少两个以上方面的目标或对方面目标不明确、不恰当。

方案策划（15分）1.研究方案策划科学合理，操作性强。2.人员分工恰当明确。（分工的全面性与恰当性）1.研究方案策划比较合理，操作性较强。有一个环节不合理。2.分工比较恰当明确，但分工的全面性或个别人员安排的恰当性有不足之处。1.研究方案策划不够合理，操作性也不强。有两个以上环节不合理。2.分工显然不全面，人员分工过于随意。

情感态度（15分）1.态度端正、积极主动、求真务实，各成员同步展开有效工作，效率高。2.在研究过程中，互相尊重，既注意倾听和吸取其他同学的观点。又积极提出自己的思想观点。1.态度比较端正，有一定积极性，但部分成员开展工作存在互相观望的情况，工作效率一般。2.在研究过程中，互相尊重，在倾听和吸取其他同学的观点和积极提出自己的思想观点方面做得不够充分。

1.态度不都端正，不能做到求真务实，部分成员的工作需要经常敦促，效率低。2.在研究过程中，与他人互相独立，不注意倾听和吸取其他同学的观点，发言不积极主动。

研究过程（25分）1.研究步骤紧凑有序，及时详尽地记录下了关于分段函数在该行业应用的情况和相关数据。2.积极且全面地参与了所设计的六个研究活动，并且对每个研究活动都进行总结和反思。3.研究过程中，细心、耐心。尊重相关行业人员，交流沟通科学合理，受到调研方人员的好评。1.研究步骤比较紧凑有序，但关于分段函数在该行业应用的情况和相关数据记录不够详细。

2.有一个研究活动不能积极全面地参与或只是在搞形式，个别研究活动没进行总结和反思。

3.研究过程中，比较细心和耐心，对相关行业人员比较尊重，但部分环节交流沟通方式不够全面合理，没有负面影响。1.研究随意不按步骤进行，关于分段函数在该行业应用的情况和相关数据记录太零散、不详细。2.有两个以上研究活动不能积极全面地参与或只是在搞形式，大部分研究活动没有总结和反思。3.研究过程中，不够细心和耐心，对相关行业人员缺乏尊重，较多环节交流沟通方式不够合理，有一定的负面影响。

研究成果（35分）1.总结出分段函数在该行业应用的案例，写出此方面的研究报告或论文，内容充实、合情合理。2.各组交流活动结束后形成全面的反思总结。3.能够进一步编制出针对分段函数的应用问题。4.文字表述条理性好，逻辑性强，基本上无错别字。1.有分段函数的应用案例、研究报告或论文，但内容不够充实，个别方面存在问题。

2.各组交流活动结束后形成比较全面的反思总结。

3.能够进一步编制出针对分段函数的应用问题，但问题有瑕疵。4.文字表述条理性好，逻辑性较强，有2-3处错别字。1有分段函数的应用案例、研究报告或论文，但理论或结果与实际不符，多数在搞形式。2.各组交流活动结束后没能形成比较全面的反思总结。3.没能够编制出针对分段函数的应用问题。4.文字表述不条理，逻辑性较差，有3处以上错别字。

过程合作（20分）1.调研过程和案例、研究报告或论文是集体合作完成的。2.调研过程和结果有效体现