离散数学课件第六章(第3讲)

《定义》设<G,*>是一个群，且SG是一个非空集合。若<S,*>满足下列三个条件，则称<S,*>是<G,*>的子群：

（1）e是<G,*>的幺元，且eS；（保持幺元）

（2）对任一aS一定有a-1S

；（保持逆元）

（3）对任一a,bS一定有a*bS

。（运算的封闭性）注：

任一群<G,*>至少可找到两个子群，即<{e},*>和<G,*>，这两个子群称为平凡子群。§4群与子群例：设<G，*>是一个群，m∈G，N={g∈G|m*g=g*m},证明：<N,*>是<G，*>的子群。

《定理》设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，那么，只要运算*在B上是封闭的，则<B,*>必定是<G,*>的子群。证明：设

bB，已知*在B上封闭，则b*bB，即b2B，b2

*bB，即：b3B，于是b，b2，b3……均在B中。 由于B是有限集，∴必存在正整数i和j，i<j,使得：bi=bj

即：bi=bi*bj-i=bj-i*bi

由此可说明bj-i是<G,*>中的幺元，且这个幺元也在子集B中。如果j-i>1，那么由bj-i=b*bj-i-1=bj-i-1*b可知bj-i-1是b的逆元，且

bj-i-1B；如果j-i=1，那么由bi=bi*b=b*bi可知b就是幺元,且以自身为逆元。因此，<B,*>是<G,*>的一个子群。例：设G4={p=<p1,p2,p3,p4>|pi{0,1}}，是上的二元运算，定义为：

对任意X=<x1,x2,x3,x4>，Y=<y1,y2,y3,y4>G4，XY=<x1y1,x2y2,x3y3,x4y4>，其中的运算表如图所示：证明<{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>},>是群<G4,>的子群。

01001110《定理》:设<G,*>是一个群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a*b-1S，则<S,*>是<G,*>的子群。证明：先证，G中的幺元e也是S中的幺元。 任取aS，a*a-1S，而a*a-1＝e，∴eS

再证，每个元素都有逆元。又e*a-1S，即a-1S。

最后证明，*对S是封闭的。

a,bS，因b-1S，∴(b-1)-1Sa*b=a*(b-1)-1S，而(b-1)-1＝b∴a*bS

∴<S,*>是<G,*>的子群。

例：设<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群，试证明

<H∩K,*>也是<G,*>的子群。§5阿贝尔群和循环群《定义》如果群<G,*>中运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群（或称为交换群）。例：<I,+>为阿贝尔群。

由运算表可知：（1）运算是封闭的；（2）“°”可结合；（3）幺元为f0

；（4）每一个元素均可逆;（5）以主对角线为对称。∴<F,°>为阿贝尔群。

°f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f2例：离散函数代数系统<F,°>是阿贝尔群。F={f0,f1,f2,f3

}《定理》设<G,*>是一个群，<G,*>是阿贝尔群的充分必要条件是对任一a,bG有：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。证明：（1）充分性：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)

<G,*>是阿贝尔群。

对任意a,bG有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)成立，∵*是可结合的，且是可消去的，∴a*(a*b)*b=a*(b*a)*b

则a*b=b*a

∴<G,*>是阿贝尔群。（2）必要性：

<G,*>是阿贝尔群

(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。∵阿贝尔群满足交换律，对任一a,bG有a*b=b*a，∴(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)《推论》在阿贝尔群中，对任一a,bG有

(a*b)–1=b-1*a-1=a-1*b-1《定义》设<S,*>是一个群，I是整数集合，若存在一个元素gS，对于S中每一个元素a都能表示成gn的形式（n

I），则称<S,*>是一个循环群，g称为群<S,*>的生成元。例：设M={0º,60º,120º,240º,300º,180º}表示平面上几何图形顺时针旋转的六种位置，定义一个二元运算*，对M中任一元素a,b有a*b=图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到360º时即为0º，试验证群<M,*>是一个循环群。*0º60º120º180º240º300º0º0º60º120º180º240º300º60º60º120º180º240º300º0º120º120º180º240º300º0º60º180º180º240º300º0º60º120º240º240º300º0º60º120º180º300º300º0º60º120º180º240º证明：60º=60º1120º=60º*60º=60º2180º=120º*60º=60º3240º=180º*60º=60º4300º=240º*60º=60º50º=300º*60º=60º6存在一个元素60ºM，对于M中每一个元素

都能表示成60ºn的形式（n

I），所以<M,*>是一个循环群，60º是循环群<M,*>的生成元。《定理》每一个循环群必然是阿贝尔群。证明：设<S,*>是一循环群，g为生成元，对任意p,qS，一定存在i,j

I（整数集）使得p=gi,q=gj，则p*q=gi*gj=gi+j=gj*gi=q*p。∴<S,*>循环群一定是阿贝尔群。《定理》设<S,*>是由元素gS生成的循环群，若<S,*>是n阶的（即|S|=n），则gn=e，且S={g1,g2,…gn=e}

，而且n是能使gn=e的最小正整数。在上例中，设<M,*>是循环群，60º是循环群<M,*>的生成元。<M,*>是6阶的循环群（即|M|=6），则60º6=0º（幺元），且M={60º1,60º2,…60º6=e}

，

使gn=e成立的最小正整数n为6。例：<S,*>为一循环群,S中元素和*运算见运算表：

c1=c,c2=b,c3=d,c4=a(幺元)d1=d,d2=