25届（新教材QG版）数学新考案基础课38空间直线、平面的平行

8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD⎳FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；基础课38空间直线、平面的平行考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养直线与平面平行的判定与性质掌握2023年新高考Ⅰ卷T2023年全国乙卷（理）T2023年全国乙卷（文）T2023年天津卷T★★★直观想象逻辑推理平面与平面平行的判定与性质掌握2022年全国乙卷（理）T★★★直观想象逻辑推理命题分析预测从近几年高考的情况来看，以柱体、锥体为背景的线面平行是高考常考内容，一般以解答题的形式出现，试题较为简单.预计2025年高考命题情况变化不大，但要特别注意应用判定定理和性质定理时条件的完整，这是解题基本规范和要求一、直线与平面平行的定义若直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行，可用数学符号描述为：若l∩α=⌀二、直线与平面平行的判定定理和性质定理判定定理性质定理文字语言如果①平面外一条直线与此②平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面③平行一条直线与一个平面④平行，如果过该直线的平面与此平面⑤相交，那么该直线与⑥交线平行符号语言aa图形语言三、平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，可用数学符号描述为：若α∩β=⌀四、平面与平面平行的判定定理和性质定理判定定理性质定理文字语言如果一个平面内的两条⑦相交直线与另一个平面分别平行，那么这两个平面平行两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线⑧平行符号语言a⊂β，b⊂β，⑨aα//β，α图形语言1.平行关系中的四个重要结论（1）若a⊥α，a⊥（2）若α//β，β//（3）若a⊥α，b⊥（4）若α//β，a⊂2.三种平行关系的转化题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”，错的打“×”）（1）若直线a//平面α，直线a//直线b，则直线b//平面α（2）若直线a//平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点.(√（3）若α//β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.(（4）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面.(×)2.（易错题）已知α，β是空间中不重合的两个平面，a，b，l是空间中不同的三条直线，A，B是空间中不同的两点，则下列结论正确的是(D).A.a//b，b⊂α⇒a//α C.a//α，b//α⇒a//【易错点】本题容易混淆空间中的线面位置关系.[解析]由直线与平面平行的判定定理知A错误（需要加条件a⊄α）；由平面与平面平行的判定定理知B错误（需加条件两直线相交）；直线与平面平行不具备传递性，C错误(a,b可能平行、异面或相交)；由平面基本事实知D题组2走进教材3.（多选题）（人教A版必修②P142·T2改编）平面α与平面β平行的充分条件可以是(CD).A.α内有2025条直线都与β平行B.直线a//α，a//β，且直线a不在C.异面直线a，b，a⊂α，b⊂βD.α内的任何一条直线都与β平行[解析]对于A，α内有2025条直线都与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这2025条直线可以是一组平行线，故A错误；对于B，直线a//α，a//β，且直线a不在α内，也不在β内，直线a可以是平行于平面α与平面β的交线的直线，也不能保证平面α与平面对于C，异面直线a，b，直线a⊂α，b⊂β，且a//β，b//对于D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，故平面α与平面β平行，故D正确.故选CD.4.（多选题）（人教A版必修②P143·T4改编）如图，在长方体ABCD−A'B'A.平面A'B'C'D' B.平面[解析]由于AB//A'B'，AB⊄平面A'B'C'D'，A'B'⊂平面A'B'5.[2023·天津卷改编]如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，若AB=AC=AA1=2,A[解析]如图，连接MN,C1A.由M,N分别是BC,BA的中点，根据中位线性质，得MN//由棱台性质得，A1C1//AC，则MN//A1C1，由MN=A1C1=1考点一直线与平面平行的判定与性质［多维探究］直线与平面平行的判定典例1[2024·海南模拟]如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是正方形ABCD的中心，E，F分别是PC,（1）（中位线定理）PA//平面BDE（2）（构造平行四边形）EF//平面PAD[解析]（1）如图，连接OE，因为O,E分别是AC，PC的中点，所以OE//又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA//（2）如图，取PD的中点G,连接AG,EG,则由中位线定理可知EG//CD,且EG=12CD,即EG//AF,且EG=AF,所以四边形AGEF为平行四边形.又AG⊂直线与平面平行的性质典例2如图所示，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC//AD,AB⊥AD，AB=BC=12AD,PA⊥底面ABCD，过BC的平面交PD[解析]如图，在梯形ABCD中，BC//AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以又BC⊂平面BCMN，平面BCMN∩平面PAD=1.判断或证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理a⊄（3）利用面面平行的性质α//（4）利用面面平行的性质α//2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.（一题练透）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点（1）求证：PA//平面BDE[解析]连接AC交BD于点G，连接GE，如图所示，由底面ABCD为平行四边形，则G为AC的中点，又E为棱PC的中点，所以GE为△PAC的中位线，则GE又GE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，故PA//（2）求证：F为PD的中点.[解析]由题设知，CD//AB，AB⊂平面ABEF，CD⊄平面ABEF，所以CD//平面ABEF，又CD⊂平面所以CD//EF，又E为棱PC的中点，所以EF是△PDC的中位线，所以F（3）在棱AB上是否存在点N，使得FN//平面BDE？若存在，求出AN[解析]存在N使得FN//平面BDE且AN取AB的中点H，连接FH，如图，由题设得，BH=12AB=12所以BH//EF且BH=所以FH//BE，而BE⊂平面BDE，FH所以FH//平面BDE，故所求点N即为点H所以棱AB上存在点N,使得FN//平面BDE，且AN考点二平面与平面平行的判定与性质［师生共研］典例3如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，（1）求证：平面OEF//平面PCD（2）若平面ABCD∩平面OEF=l[解析]（1）因为E，F分别是棱PA,PB的中点，所以EF//AB，因为四边形ABCD为菱形，AB//又CD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF//又O是BD的中点，所以FO//PD，PD⊂平面PCD，FO⊄平面PCD，所以因为FO∩EF=F，FO⊂平面OEF,EF⊂平面（2）由（1）可知平面OEF//平面PCD,又平面ABCD∩平面OEF=l,平面所以CD//l,又因为四边形ABCD为菱形，所以AB//证明面面平行的常用方法1.面面平行的定义．2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行．4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，过BC的平面与上底面A（1）求证：BC//[解析]因为在三棱柱ABC−A1B1又平面BCHG∩平面ABC=BC,且平面BCHG∩平面（2）若E,F,G分别为AB,AC,A1B1的中点,求证:平面EF[解析]因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF//又因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面所以EF//平面BCHG又G，E分别为A1B1,AB的中点，AB所以A1G//EB,则四边形因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,所以又因为A1E∩EF=E,A1所以平面EFA1//考点三平行关系的综合应用［师生共研］典例4如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，D（1）当A1D1D1（2）若平面BC1D//平面[解析]（1）如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时A1D1D1由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以在△A1BC1中，O,D1分别为又因为OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB（2）由已知得，平面BC1D//平面AB1D1，且平面因此BC1//D1O，同理，AD1//DC平行关系综合应用的策略在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系的，并且可以相互转化.要解决平行关系的综合问题，必须灵活转化三种平行关系.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P（1）求证：PQ//平面