25届（新教材QG版）数学精练案基础课40空间向量及其运算和空间位置关系

基础课40空间向量及其运算和空间位置关系课时评价·提能基础巩固练1.[2024·孝感模拟]已知点P0,1,0，QA.−2,−1,−1 B.1,−[解析]由题意得，PQ=−2,−1,1逐项分析即可知只有选项C符合要求.故选C.2.若向量a=1,λ,2，b=−2,1A.1 B.3 C.2 D.4[解析]∵a=1∴a⋅b=−2又a，b夹角的余弦值为16∴16=a解得λ=1．故选3.已知直线l的一个方向向量为e=(−1,2,12)，平面α的一个法向量为n=−3A.1 B.2 C.−2 D.[解析]因为l//α，所以e⊥n，所以e⋅n=0，即4.已知平面α内两向量a=1,1,1，b=0,2,−1，且A.−1，2 B.1，−2 C.1，2 D.−[解析]c=ma+nb+4,−4,1=m,m,m+0,5.设u=−2,2,t，v=6,−4A.3 B.4 C.5 D.6[解析]∵α⊥β，∴u⋅v6.已知P是△ABC所在的平面外一点，若AB=−2,1,A.BP//AC B.AP//BC C.[解析]依题意，有BP=AP−对于A，因为43≠−2−3≠0−3，所以BP对于B，因为16≠−2−3≠1−4，所以AP对于C，因为AB⋅AP=−2−2+4=对于D，因为AP⋅BP=1×3+−27.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，EA.BD1⊥平面B1EFC.A1C1//平面B1[解析]分别以DA,DC,DD1的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，设AB=2，则B12,2,2,E2,1,0,F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,C10,2,2,D10,0,2，所以EF=−1,1,0,EB1=0,1,2,BD1=−2,−2,2,DB=2,2,0，A1C1=−2,2,0,DA1=2,0,2.设平面B1EF8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱CA.14 B.13 C.12[解析]如图，以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B1,0,0,E(0,1,1可得BA1=−1设n=x,y,z则n⋅令z=2，则x=2,y由D1C1=1,0又因为B11,0由B1F//平面A1BE，可得n⋅B综合提升练9.（多选题）已知A−4,6,−1,B4A.(−154,1,9) B.(154,1,−9[解析]设平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量则u⋅OA→=0,u⋅OB→=0,即−4x+6y−z=0,4x+3y10.（多选题）已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥ACA.AC//平面A1BD B.CDC.∠ADC的取值范围为(π4,π2][解析]依题作图，如图1，并将其补成正方体，如图2.对于A,因为AC//A1C1，A1C1⊂平面A1BD，AC⊄平面A对于B,如图1，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z则A0,0,0，C0,1,0，B设BD=λBC1，CD=1−λ,当λ=12时，CD⊥AC1，当λ≠12且λ∈0,1对于C,判断以AC为直径的球与C1B如图3，取AC的中点F，且点D平分C1B,连接FB,FC1,FD,则所以以AC为直径的球与C1B没有交点，所以∠ADC<π2对于D,将平面CBC1翻折至与平面ABC1共面，此时点C与E1重合，所以AD+DC的最小值为AE1，且A11.如图,在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD,∠BAD[解析]取空间中一个基底：AB=a,AD=因为BD⊥AN，所以因为BD=AD−所以b−a⋅c+λb12.[2024·河南模拟]已知A−1,2,0，B1,2,1，C2[解析]因为A−1,2,0，B1,2,1，因为PA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面所以AB→⋅PA→=0,所以点P的坐标为1,应用情境练13.如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把四边形AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形.以E为坐标原点，EB,EF,EA的方向分别为x,[解析]由题意得A0,0,2，C2,4,0，D0,2,2，F0,3,014.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.“曲池”的简易图如图所示，上、下底面均为半圆环，AA1⊥平面A1EB1,AA1=3,AB⌢[解析]设AB⌢所在圆的半径为R，则2则R=2,设CD⌢所在圆的半径为r，则2πr2=π，因为AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD以A为原点，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，平面ABCD内垂直于AB的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则A0,0,0,B0,4,0,C0又E为A1B1⌢的中点则B1E=2,−设平面DEB1的一个法向量为则B1令x=1，则y=1,z设直线CE与平面DEB1所成角为θ，则sinθ创新拓展练15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1①A1F③S△以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：若A1F⊥BE，则S△ADF=[解析]如图，建立空间直角坐标系D−则A12,0,2,设Fx,y,0,x∈[S△ADF=A1因为A1所以以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出两个真命题：若A1F⊥BE，则S△ADF=16.已知在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点Q满足D1Q=λD1C10<λ<1，M,N分别为棱（1）用λ和a表示点M，N，Q的坐标；